El enfoque clave para resolver desigualdades racionales se basa en encontrar los valores críticos de la expresión racional que dividen la recta numérica en distintos intervalos abiertos.
Los valores críticos son simplemente los ceros tanto del numerador como del denominador. Debe recordar que los ceros del denominador hacen que la expresión racional no esté definida, por lo que deben descartarse o excluirse inmediatamente como una posible solución. Sin embargo, también es necesario verificar los ceros del numerador para su posible inclusión en la solución general.
En esta lección, repasaré cinco (5) ejemplos resueltos con diferentes niveles de dificultad para ilustrar tanto los procedimientos como los conceptos.
Ejemplos de cómo resolver desigualdades racionales
Ejemplo 1: Resuelve la desigualdad racional a continuación.
Empiezo a resolver esta desigualdad racional escribiéndola en forma general. La forma general implica que la expresión racional está ubicada en el lado izquierdo de la desigualdad mientras que el cero permanece a la derecha.
La forma general tiene cuatro (4) tipos.
Es bueno saber que este problema ya está en forma general. Mi siguiente paso es encontrar el ceros tanto del numerador como del denominador.
Puedo encontrar los ceros del numerador factorizándolo por completo y luego establecer por separado cada factor igual a cero y resolver para x. Asimismo, la búsqueda de los ceros del denominador se realiza de la misma manera.
- Ceros del numerador
- Ceros de denominador
Ahora, usaré los ceros para separar o dividir la recta numérica en intervalos. Los ceros del numerador y denominador también se conocen como números críticos. En este caso, los dos números críticos dividen la recta numérica en tres intervalos distintos.
El siguiente paso es elegir un número en cada intervalo y evaluarlo de nuevo en la desigualdad racional original; para determinar si es una declaración verdadera o falsa. Un enunciado verdadero significa que un intervalo es parte de la solución; de lo contrario, no lo es.
Como puede ver, los números que elegí para cada intervalo están resaltados en amarillo.
Observe que el intervalo abierto entre −1 y 3, escrito como left ({- 1,3} right), produce un enunciado verdadero que implica que es parte de la solución.
Entonces, ¿dónde más buscamos posibles soluciones para acabar con esto?
Verifique los ceros o números críticos de los numeradores solo en la ecuación original. Si da una afirmación verdadera, incluya ese número crítico como parte de la solución general.
Los ceros del numerador son 3. Ahora lo verificaré.
El uso de un corchete indica que es parte de la solución, mientras que un corchete abierto (paréntesis) denota que no lo es. Escribiré mi respuesta final como left ({- 1, left. 3 right]} right ..
Ejemplo 2: Resuelve la desigualdad racional a continuación.
En primer lugar, la desigualdad racional dada está en forma general porque la expresión racional está a la izquierda mientras que el cero está a la derecha. ¡Eso es bueno!
A continuación, factorizaré el numerador y el denominador. Después de hacerlo, debería tener algo como esto.
Ahora puedo encontrar los ceros del numerador y denominador.
- Ceros del numerador
- Ceros de denominador
Estos ceros o números críticos dividen la recta numérica en distintos intervalos o particiones.
Seleccione un número de prueba para cada intervalo y reemplácelo por la desigualdad racional original.
Utiliza el forma factorizada de la desigualdad racional original para evaluar los números de prueba para facilitar el cálculo.
Los números en amarillo son los que elegí para probar la validez de cada intervalo.
Los intervalos que producen afirmaciones verdaderas son
Para encontrar el resto de la solución, verifique la validez de la ceros del numerador solamente en la desigualdad racional original.
Si lo ha hecho correctamente, debe aceptar que −4 y 2 son no es válido respuestas porque no dan declaraciones verdaderas después de verificar.
La respuesta final a este problema en notación de intervalo es
Ejemplo 3: Resuelve la desigualdad racional a continuación.
Primero factorizaría el numerador y el denominador para encontrar sus ceros. En forma factorizada, tengo
Luego, determina los ceros de la desigualdad racional estableciendo cada factor igual a cero y luego resolviendo para x.
- Ceros del numerador: –1 y 4
- Ceros del denominador: 4
Utilice los ceros como números críticos para dividir la recta numérica en intervalos distintos. Empiezo a probar la validez de cada intervalo seleccionando el valor de prueba y evaluándolos en la desigualdad racional original. Los que están en amarillo son los números que elegí.
Observe que el único intervalo que da un enunciado verdadero es el izquierdo ({- 1,4} derecho).
Más aún, los ceros del numerador no concuerdan con la desigualdad racional original, por lo que debo ignorarlos.
La respuesta final es simplemente a la izquierda ({- 1,4} derecha).
Ejemplo 4: Resuelve la desigualdad racional a continuación.
Esta desigualdad racional es no en forma general. El lado derecho debe ser cero. El primer paso es deshacerse de la constante en ese lado restando ambos lados por 1. Después de eso, simplifique en una sola expresión racional. Debería tener un paso preliminar similar como este.
Luego, encuentra los ceros del numerador y denominador.
- Ceros del numerador: -7
- Ceros del denominador: -3
Utilice los ceros como números críticos para dividir la recta numérica en secciones o intervalos.
Luego, elija números de prueba para cada intervalo y evalúelos en la forma general para determinar sus valores de verdad. Los que están en amarillo son los valores seleccionados. Puede elegir otros números siempre que estén en el intervalo que se está probando.
Los intervalos que dan afirmaciones verdaderas son
Mientras tanto, después de verificar el cero del numerador en x = -, 7, también da como resultado un enunciado verdadero. Use el corchete para indicar que se incluye como una solución.
La respuesta final en notación de intervalo debe ser
Ejemplo 5: Resuelve la desigualdad racional a continuación.
Necesito hacer que el lado derecho de la desigualdad racional sea cero. Para hacer eso, simultáneamente sumaré xy restaré 5 en ambos lados. Sin embargo, mi objetivo final es expresarlo en una única expresión racional. Aquí es donde sus habilidades sobre cómo sumar y restar expresiones racionales serán útiles. Debería seguir pasos similares a continuación.
Luego, encuentra los ceros del numerador y denominador.
- Ceros del numerador: -3 y 5
- Ceros del denominador: 0
Usa los ceros para dividir la recta numérica en intervalos distintos. Elija números de prueba para cada intervalo para verificar si resulta en afirmaciones verdaderas. Los valores de prueba seleccionados para x están en amarillo.
Los intervalos "verdaderos" son izquierda ({-, infty, - 3} derecha) e izquierda ({0,5} derecha). Más aún, los ceros del numerador también concuerdan con la forma general de la desigualdad racional dada. En consecuencia, tengo que incluir -3 y 5 como parte de la solución con el uso de corchetes.
La respuesta final ahora es
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