🥇 Resolver ecuaciones cúbicas: métodos y ejemplos

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Resolver ecuaciones cúbicas: métodos y ejemplos

Resolver ecuaciones polinomiales de orden superior es una habilidad esencial para cualquiera que estudie ciencias y matemáticas. Sin embargo, comprender cómo resolver este tipo de ecuaciones es bastante desafiante.

Este artículo discutirá cómo resolver las ecuaciones cúbicas utilizando diferentes métodos, como el método de división, el teorema del factor y la factorización por agrupación.

Pero antes de entrar en este tema, analicemos qué es una ecuación polinomial y cúbica.

Un polinomio es una expresión algebraica con uno o más términos en los que un signo de suma o resta separa una constante y una variable.

La forma general de un polinomio es axn + bxn-1 + cxn-2 +…. + kx + l, donde cada variable tiene una constante que la acompaña como su coeficiente. Los diferentes tipos de polinomios incluyen; binomios, trinomios y cuadrinomios. Ejemplos de polinomios son; 3x + 1, x2 + 5xy - ax - 2ay, 6x2 + 3x + 2x + 1 etc.

Una ecuación cúbica es una ecuación algebraica de tercer grado.
La forma general de una función cúbica es: f (x) = ax3 + bx2 + cx1 + d. Y la ecuación cúbica tiene la forma de ax3 + bx2 + cx + d = 0, donde a, byc son los coeficientes yd es la constante.

name="-c-mo-resolver-ecuaciones-c-bicas-">¿Cómo resolver ecuaciones cúbicas?

La forma tradicional de resolver una ecuación cúbica es reducirla a una ecuación cuadrática y luego resolverla mediante factorización o fórmula cuadrática.

Como una ecuación cuadrática tiene dos raíces reales, una ecuación cúbica puede tener posiblemente tres raíces reales. Pero a diferencia de una ecuación cuadrática, que puede no tener una solución real, una ecuación cúbica tiene al menos una raíz real.

Las otras dos raíces pueden ser reales o imaginarias.

Siempre que se le dé una ecuación cúbica o cualquier ecuación, siempre debe organizarla en una forma estándar primero.

Por ejemplo, si te dan algo como esto, 3x2 + x - 3 = 2 / x, lo reorganizarás en la forma estándar y lo escribirás como, 3x3 + x2 - 3x - 2 = 0. Entonces puedes resolver esto por cualquier método adecuado.

Veamos algunos ejemplos a continuación para una mejor comprensión:

ejemplo 1

Determine las raíces de la ecuación cúbica 2x3 + 3x2 - 11x - 6 = 0

Solución

Dado que d = 6, los posibles factores son 1, 2, 3 y 6.

Ahora aplique el Teorema del factor para verificar los posibles valores por ensayo y error.

f (1) = 2 + 3-11-6 ≠ 0
f (–1) = –2 + 3 + 11-6 ≠ 0
f (2) = 16 + 12 - 22 - 6 = 0

Por tanto, x = 2 es la primera raíz.

Podemos obtener las otras raíces de la ecuación usando el método de división sintética.
= (x - 2) (ax2 + bx + c)
= (x - 2) (2x2 + bx + 3)
= (x - 2) (2x2 + 7x + 3)
= (x - 2) (2x + 1) (x + 3)

Por lo tanto, las soluciones son x = 2, x = -1/2 y x = -3.

ejemplo 2

Encuentre las raíces de la ecuación cúbica x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0

Solución

x3 - 6x2 + 11x - 6

(x - 1) es uno de los factores.

Dividiendo x3 - 6x2 + 11x - 6 por (x - 1),

⟹ (x - 1) (x2 - 5x + 6) = 0

⟹ (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0

Esta de las soluciones de la ecuación cúbica son x = 1, x = 2 y x = 3.

ejemplo 3

Resolver x3 - 2x2 - x + 2

Solución

Factoriza la ecuación.

x3 - 2x2 - x + 2 = x2 (x - 2) - (x - 2)

= (x2 - 1) (x - 2)

= (x + 1) (x - 1) (x - 2)

x = 1, -1 y 2.

ejemplo 4

Resuelve la ecuación cúbica x3 - 23x2 + 142x - 120

Solución

Primero factoriza el polinomio.

x3 - 23x2 + 142x - 120 = (x - 1) (x2 - 22x + 120)

Pero x2 - 22x + 120 = x2 - 12x - 10x + 120

= x (x - 12) - 10 (x - 12)
= (x - 12) (x - 10)

Por lo tanto, x3 - 23x2 + 142x - 120 = (x - 1) (x - 10) (x - 12)

Iguala cada factor a cero.

x - 1 = 0

x = 1

x - 10 = 10

x - 12 = 0

x = 12

Las raíces de la ecuación son x = 1, 10 y 12.

ejemplo 5

Resuelve la ecuación cúbica x3 - 6 x2 + 11x - 6 = 0.

Solución

Para resolver este problema usando el método de división, tome cualquier factor de la constante 6;

sea x = 2

Divida el polinomio por x-2 para

(x2 - 4x + 3) = 0.

Ahora resuelva la ecuación cuadrática (x2 - 4x + 3) = 0 para obtener x = 1 o x = 3

Por lo tanto, las soluciones son x = 2, x = 1 y x = 3.

ejemplo 6

Resuelve la ecuación cúbica x3 - 7x2 + 4x + 12 = 0

Solución

Sea f (x) = x3 - 7x2 + 4x + 12

Dado que d = 12, los valores posibles son 1, 2, 3, 4, 6 y 12.

Por ensayo y error, encontramos que f (–1) = –1 - 7 - 4 + 12 = 0

Entonces, (x + 1) es un factor de la función.

x3 - 7x2 + 4x + 12
= (x + 1) (x2 - 8x + 12)
= (x + 1) (x - 2) (x - 6)

Por lo tanto x = –1, 2, 6

ejemplo 7

Resuelve la siguiente ecuación cúbica:

x3 + 3x2 + x + 3 = 0.

Solución

x3 + 3x2 + x + 3
= (x3 + 3x2) + (x + 3)
= x2 (x + 3) + 1 (x + 3)
= (x + 3) (x2 + 1)

Por lo tanto, x = -1, 1-3.

ejemplo 8

Resolver x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0

Solución

Factorizar

x3 - 6x2 + 11x - 6 = 0 ⟹ (x - 1) (x - 2) (x - 3) = 0

Al equiparar cada factor con cero se obtiene;

x = 1, x = 2 y x = 3

ejemplo 9

Resolver x 3 - 4x2 - 9x + 36 = 0

Solución

Factoriza cada conjunto de dos términos.

x2 (x - 4) - 9 (x - 4) = 0

Extrae el factor común (x - 4) para obtener

(x2 - 9) (x - 4) = 0

Ahora factoriza la diferencia de dos cuadrados

(x + 3) (x - 3) (x - 4) = 0

Al igualar cada factor a cero, obtenemos;

x = −3, 3 o 4

ejemplo 10

Resuelva la ecuación 3x3 −16x2 + 23x - 6 = 0

Solución

Divida 3x3 −16x2 + 23x - 6 por x -2 para obtener 3x2 - 1x - 9x + 3

= x (3x - 1) - 3 (3x - 1)

= (x - 3) (3x - 1)

Por lo tanto, 3x3 −16x2 + 23x - 6 = (x- 2) (x - 3) (3x - 1)

Iguale cada factor a cero para obtener,

x = 2, 3 y 1/3

ejemplo 11

Hallar las raíces de 3x3 - 3x2 - 90x = 0

Solución

factorizarlo 3x

3x3 - 3x2 - 90x ⟹3x (x2 - x - 30)

Encuentre un par de factores cuyo producto sea −30 y la suma sea −1.

⟹- 6 * 5 = -30

⟹ −6 + 5 = -1

Vuelva a escribir la ecuación reemplazando el término "bx" con los factores elegidos.

⟹ 3x [(x2 - 6x) + (5x - 30)]

Factoriza la ecuación;

⟹ 3x [(x (x - 6) + 5 (x - 6)]

= 3x (x - 6) (x + 5)

Al igualar cada factor a cero, obtenemos;

x = 0, 6, -5

name="resolver-ecuaciones-c-bicas-usando-el-m-todo-gr-fico">Resolver ecuaciones cúbicas usando el método gráfico

Si no puede resolver la ecuación cúbica mediante ninguno de los métodos anteriores, puede resolverla gráficamente. Para eso, necesita tener un bosquejo preciso de la ecuación cúbica dada.

El punto o los puntos donde su gráfica cruza el eje x es una solución de la ecuación. El número de soluciones reales de las ecuaciones cúbicas es el mismo que el número de veces que su gráfica cruza el eje x.