Una ecuación exponencial involucra una variable desconocida en el exponente. En esta lección, nos centraremos en las ecuaciones exponenciales que no requieren el uso del logaritmo. En álgebra, este tema también se conoce como resolver ecuaciones exponenciales con la misma base. ¿Por qué? La razón es que podemos resolver la ecuación forzando a que ambos lados de la ecuación exponencial tengan la misma base.
Pasos clave para resolver ecuaciones exponenciales sin logaritmos
Haga que la base en ambos lados de la ecuación sea MISMO
de modo que si es grande {b ^ {color {azul} M}} = {b ^ {color {rojo} N}}
luego {color {blue} M} = {color {red} N}
- En otras palabras, si puede expresar las ecuaciones exponenciales para que tengan la misma base en ambos lados, entonces está bien establecer sus potencias o exponentes iguales entre sí.
También debes recordar las propiedades de los exponentes para tener éxito en la resolución de ecuaciones exponenciales.
Propiedades básicas de los exponentes
1) Propiedad cero
2) Propiedad del exponente negativo
3) Regla de producto
4) Regla del cociente
5) Poder de una regla de poder
¡Echemos un vistazo a algunos ejemplos!
Ejemplos de cómo resolver ecuaciones exponenciales sin logaritmos
Ejemplo 1: Resuelve la siguiente ecuación exponencial usando las propiedades básicas de los exponentes.
Solución:
- Dado
- Exprese el denominador del lado derecho con una base de 5. Tenemos 125 = {5 ^ 3}.
Aplicar la propiedad del exponente negativo.
- En este punto, las bases son las mismas, por lo tanto, establezca las potencias iguales entre sí.
- Esta es solo una ecuación lineal simple de un paso.
- Para resolver x, divide ambos lados entre 3. ¡Eso es!
La respuesta final aquí es x = - 1.
Ejemplo 2: Resuelve la siguiente ecuación exponencial usando las propiedades básicas de los exponentes.
Solución:
- Dado
- Exprese todos los números con la base 2. Entonces tenemos: 8 = {2 ^ 3} y 256 = {2 ^ 8}.
Aplique la regla del producto a la izquierda, mientras usa la regla de potencia a una potencia a la derecha.
- Aquí estamos listos para igualar los poderes entre sí, ya que podemos crear bases únicas que son iguales en ambos lados.
- Resuelve la ecuación lineal simple.
- Resta ambos lados por 7x para aislar x. ¡Hecho!
La respuesta final es x = 3.
Ejemplo 3: Resuelve la siguiente ecuación exponencial usando las propiedades básicas de los exponentes.
Solución:
- Dado
- Exprese cada número con una base de 2. Al hacerlo ...
64 = {2 ^ 6} y 16 = {2 ^ 4}
- Aplicar poder a una regla de poder.
En otras palabras, multiplique el exponente interno por el exponente externo. Hágalo tanto para el numerador como para el denominador.
- Aplicar la regla del cociente.
Resta el exponente superior por el exponente inferior.
- Así es como se ve después de restar los exponentes.
Ahora, mirando el lado derecho, ¿podemos expresar 1 como un número exponencial con base 2?
¡La respuesta es sí! Podemos escribirlo como 1 = {2 ^ 0} usando la propiedad cero del exponente.
- Ahora tenemos la configuración que queremos: tener las mismas bases en ambos lados.
- Iguala el exponente del lado izquierdo de la ecuación al exponente del lado derecho, luego resuelve la ecuación para la variable x.
- Para resolver la ecuación, comience sumando ambos lados por 12 para mover la constante al lado derecho.
- Finalmente, divide ambos lados entre 4 para obtener el valor de x.
La respuesta final es x = 3.
ejemplo 4: Resuelve la siguiente ecuación exponencial.
Solución:
- Empiece por escribir la ecuación a resolver.
- Expresa cada fracción como un número exponencial con una base de 6.
36 = {6 ^ 2}
6 = {6 ^ 1}
216 = {6 ^ 3}
Grande {izquierda ({{1 sobre {{6 ^ 2}}}} derecha) ^ {3 - x}} {izquierda ({{1 sobre {{6 ^ 1}}}} derecha) ^ x} = {6 ^ 3}
- Aplica la propiedad del exponente negativo en el lado izquierdo de la ecuación.
- Multiplica los exponentes internos por exponentes externos usando la regla de la potencia a una potencia.
- Como tienen una base común, suma los exponentes usando la regla del producto.
- Es obvio que al tener una base única y la misma en ambos lados, ahora podemos igualar cada potencia entre sí.
- Resuelve la ecuación lineal sumando ambos lados por 6 para obtener x = 9.
Y entonces la solución es x = 9.
Ejemplo 5: Resuelve la siguiente ecuación exponencial usando las propiedades básicas de los exponentes.
Solución:
- Dado
- Utilice 3 como base común.
9={3^2} and 27={3^3}
- Multiplica los exponentes internos y externos aplicando la potencia a una regla de potencia.
- En este punto, podemos sumar los exponentes del lado izquierdo de la ecuación porque ahora tienen bases comunes.
- Aplica la regla del producto sumando exponentes cuando las bases son iguales.
- Claramente, podemos igualar las potencias de ambos lados de la ecuación.
- Esto da como resultado una ecuación simple de varios pasos.
- Entonces agregamos 6x primero en ambos lados. Luego, reste por 4. Y finalmente, divida entre - 1 para aislar completamente x por sí mismo.
La respuesta es x = 7. ¡Fácil!
Ejemplo 6: Resuelve la siguiente ecuación exponencial usando las propiedades básicas de los exponentes.
Solución:
- Dado
- Expresa cada número con una base de 2.
Luego, multiplique los exponentes internos por exponentes externos usando la regla de la potencia a una potencia.
- Para generar una base única en el lado izquierdo, use la regla del producto: copie la base común 2 y agregue los exponentes.
- Aquí es cuando aplicamos la regla del producto.
- Después de la suma de exponentes, tenemos bases simples en cada lado.
Es hora de igualar los poderes entre sí.
- Después de igualar las potencias, llegamos a esta ecuación cuadrática.
Necesitamos mover todos los términos en un lado mientras forzamos el lado opuesto a cero.
- Resuelve la ecuación cuadrática usando el método de factorización. Factoriza 5 en el trinomio y luego factoriza el trinomio simple como un producto de dos binomios.
- Usando la propiedad cero, obtenemos estos valores para x.
Las respuestas correctas son x = 2 y x = - 1.
Ejemplo 7: Resuelve la siguiente ecuación exponencial usando las propiedades básicas de los exponentes.
Solución:
- Dado
- Expresa cada número como el número exponencial con una base de 7.
- Aplica la propiedad del exponente negativo en el lado izquierdo.
Además, el símbolo de la raíz cuadrada se puede reescribir como el exponente de {1 sobre 2} grande.
- Aplicar el poder a una regla de poder en el lado izquierdo.
- Expresa el lado izquierdo con una sola base usando la regla del producto copiando la base común y sumando los exponentes.
- Ahora podemos igualar las potencias entre sí y luego resolver.
- Para resolver x, resta ambos lados por 2.
- Simplificar
- Para terminar, divide ambos lados entre 12.
La solución final es x = - {grande {1 sobre 8}}.
Ejemplo 8: Resuelve la siguiente ecuación exponencial usando las propiedades básicas de los exponentes.
Solución:
- Dado
- Expresa los números usando la base 5.
Luego, multiplique los exponentes internos y externos usando la regla de la potencia a una potencia.
- Parece que podemos usar la regla del cociente porque tenemos las mismas bases en el numerador y denominador.
- Resta el exponente del numerador por el exponente del denominador.
- Simplificar
Ahora está bien igualar las “potencias” o exponentes y luego resolver la ecuación cuadrática.
- Resuelve la ecuación cuadrática factorizando el trinomio en dos binomios. Luego, iguala cada binomio a 0 para resolver x.
- Usando la propiedad del producto cero, obtenemos estos valores de x.
Las respuestas finales son x = - 3 y x = 2.
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