Resolver ecuaciones logarítmicas

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Resolver ecuaciones logarítmicas

Generalmente, hay dos tipos de ecuaciones logarítmicas. Estudie cada caso detenidamente antes de comenzar a ver los ejemplos resueltos a continuación.

Tipos de ecuaciones logarítmicas

  • El primer tipo tiene este aspecto.

Si tiene un solo logaritmo en cada lado de la ecuación que tiene la misma base, entonces puede igualar los argumentos entre sí y resolver. Los argumentos aquí son las expresiones algebraicas representadas por el color {azul} M y el color {rojo} N.



  • El segundo tipo tiene este aspecto.

Si tiene un solo logaritmo en un lado de la ecuación, entonces puedes expresarla como una ecuación exponencial y resolver.



Aprendamos a resolver ecuaciones logarítmicas repasando algunos ejemplos.

Ejemplos de cómo resolver ecuaciones logarítmicas

Ejemplo 1: Resuelve la ecuación logarítmica.

Como queremos transformar el lado izquierdo en una única ecuación logarítmica, entonces deberíamos usar la regla del producto a la inversa para condensarla. Aquí está la regla en caso de que se le haya olvidado.


  • Dado
  • Aplicar la regla de producto de las reglas de registro.
  • Distribuir: izquierda ({x + 2} derecha) izquierda (3 derecha) = 3x + 6
  • Suelta los registros, establece los argumentos (cosas entre paréntesis) iguales entre sí.
  • Luego resuelve la ecuación lineal. ¡Sé que entendiste esta parte!

Solo una gran advertencia. SIEMPRE verifique sus valores resueltos con la ecuación logarítmica original.



Recuerda:

  • Para los propietarios de Istanbul E-pass el Museo de Madame Tussauds de Estambul es BIEN tener valores de x como números positivos, 0 y negativos.
  • Sin embargo lo és NO PERMITIDO tener un logaritmo de un número negativo o un logaritmo de cero, 0, cuando se sustituye o evalúa en la ecuación logarítmica original.

⚠︎ PRECAUCIÓN: El logaritmo de un número negativo y el logaritmo de cero no están definidos.

{log _b} izquierda ({{rm {negativo ,, número}}} derecha) = {rm {indefinido}}

{log _b} izquierda (0 derecha) = {rm {indefinido}}

Ahora, verifiquemos nuestra respuesta si x = 7 es una solución válida. Sustituya nuevamente en la ecuación logarítmica original y verifique si arroja un enunciado verdadero.

¡Sí! Dado que x = 7 verificaciones, tenemos una solución en el color {azul} x = 7.

 Ejemplo 2: Resuelve la ecuación logarítmica.

Comience por condensar las expresiones logarítmicas de la izquierda en un solo logaritmo usando la regla del producto. Lo que queremos es tener una sola expresión logarítmica en cada lado de la ecuación. Sin embargo, prepárate para resolver una ecuación cuadrática, ya que x tendrá una potencia de 2.


  • Dado
  • Aplicar la regla de producto de las reglas de registro
  • Simplificar: izquierda (x derecha) izquierda ({x - 2} derecha) = {x ^ 2} - 2x
  • Suelta los registros, establece los argumentos (cosas entre paréntesis) iguales entre sí
  • Resuelve la ecuación cuadrática usando el método de factorización. Pero necesitas mover todo en un lado mientras fuerzas el lado opuesto a 0.
  • Iguala cada factor a cero y luego resuelve para x.

x - 5 = 0 implica que x = 5

x + 2 = 0 implica que x = - 2

Entonces, las posibles soluciones son x = 5 y x = - 2. Recuerde siempre sustituir las posibles soluciones por la ecuación logarítmica original.

Revisemos nuestras respuestas potenciales x = 5 y x = - 2 si serán soluciones válidas. Sustituya nuevamente en la ecuación logarítmica original y verifique si arroja un enunciado verdadero.

Después de verificar nuestros valores de x, encontramos que x = 5 es definitivamente una solución. Sin embargo, x = -2 genera algunos números negativos dentro del paréntesis (el logaritmo de cero y los números negativos no están definidos) que nos hace eliminar x = -2 como parte de nuestra solución.

Por lo tanto, la solución final es simplemente color {azul} x = 5. Descartamos x = -2 porque es una solución extraña.

Ejemplo 3: Resuelve la ecuación logarítmica.

Este es un problema interesante. Lo que tenemos aquí son diferencias de expresiones logarítmicas en ambos lados de la ecuación. Simplifique o condense los registros en ambos lados utilizando la regla del cociente que se ve así.

  • Dado
  • La diferencia de registros nos dice que usemos la regla del cociente. Convierta la operación de resta de afuera en una operación de división dentro del paréntesis. Hágalo a ambos lados de las ecuaciones.
  • Creo que estamos listos para igualar cada argumento ya que podemos reducir el problema para tener una sola expresión logarítmica en cada lado de la ecuación.
  • Suelta los registros, establece los argumentos (cosas entre paréntesis) iguales entre sí. Tenga en cuenta que esta es una ecuación racional. Una forma de resolverlo es obtener su Producto cruzado.
  • Se ve así después de obtener su producto cruzado.
  • Simplifica ambos lados por la propiedad distributiva. En este punto, nos damos cuenta de que es solo una ecuación cuadrática. Entonces no es gran cosa. Mueva todo a un lado, y eso obliga a que un lado de la ecuación sea igual a cero.
  • Esto se puede factorizar fácilmente. Ahora establezca cada factor en cero y resuelva para x.
  • Entonces, estas son nuestras posibles respuestas.

Dejaré que usted revise nuestras posibles respuestas en la ecuación logarítmica original. Debe verificar que el color {azul} x = 8 es la única solución, mientras que x = -3 no lo es, ya que genera un escenario en el que estamos tratando de obtener el logaritmo de un número negativo. ¡No está bien!

Ejemplo 4: Resuelve la ecuación logarítmica.

Si ve "log" sin una base explícita o escrita, se supone que tiene una base de 10. De hecho, el logaritmo con base 10 se conoce como logaritmo común.

Lo que necesitamos es condensar o comprimir ambos lados de la ecuación en una sola expresión logarítmica. En el lado izquierdo, vemos una diferencia de registros, lo que significa que aplicamos la regla del cociente, mientras que el lado derecho requiere la regla del producto porque son la suma de los registros.

Solo hay una cosa a la que debes prestar atención en el lado izquierdo. ¿Ves ese coeficiente grande {1 sobre 2} ,?

Bueno, tenemos que traerlo como exponente usando la regla de la potencia al revés.

  • Dado
  • Traiga ese coeficiente grande {1 sobre 2} como exponente (consulte el término más a la izquierda)
  • Simplifique el exponente (aún refiriéndose al término más a la izquierda)
  • Luego, condense los registros en ambos lados de la ecuación. Utilice la regla del cociente a la izquierda y la regla del producto a la derecha.
  • Aquí, utilicé diferentes colores para mostrar que dado que tenemos la misma base (si no se muestra explícitamente, se supone que es base 10), está bien establecerlos iguales entre sí.
  • Descartando los registros y simplemente equiparando los argumentos entre paréntesis.
  • En este punto, puede resolver la Ecuación Racional realizando Producto cruzado. Mover todos los términos a un lado de la ecuación, luego factorizar.
  • Iguala cada factor a cero y resuelve para x.

Es hora de comprobar sus posibles respuestas. Cuando vuelva a marcar x = 0 en la ecuación logarítmica original, terminará teniendo una expresión que implica obtener el logaritmo de cero que no está definido, es decir, ¡no es bueno! Por lo tanto, debemos descartar o eliminar el color {rojo} x = 0 como solución.

Al marcar Grande {x = {3 sobre 4}}, confirma que de hecho Grande {color {azul} {x = {3 sobre 4}}} es la única solución.

Ejemplo 5: Resuelve la ecuación logarítmica.

Este problema implica el uso del símbolo ln en lugar de log para significar logaritmo.

Piense en ln como un tipo especial de logaritmo que usa la base e donde e aproximadamente 2.71828.

  • Dado
  • Utilice la regla del producto en el lado derecho
  • Escriba la variable primero y luego la constante para estar listo para el método FOIL.
  • Simplifica los dos binomios multiplicándolos.
  • En este punto, simplemente codifiqué por colores la expresión dentro del paréntesis para implicar que estamos listos para igualarlos entre sí.
  • ¡Sí! Aquí es donde decimos que las cosas dentro del paréntesis izquierdo son iguales a las cosas dentro del paréntesis derecho.
  • Resuelve la ecuación cuadrática usando el método de la raíz cuadrada. Lo haces aislando la variable al cuadrado de un lado y la constante del otro. Luego aplicamos la raíz cuadrada en ambos lados.

No olvide el símbolo pm.

  • Simplificando aún más, deberíamos obtener estas posibles respuestas.

Verifique si las respuestas potenciales encontradas arriba son respuestas posibles sustituyéndolas por las ecuaciones logarítmicas originales.

Debe estar convencido de que la ÚNICA solución válida es {color {blue} x = {1 over 2}} grande, lo que hace que {color {red} x = - {1 over 2}} grande sea una respuesta extraña.

Ejemplo 6: Resuelve la ecuación logarítmica.

Solo hay una expresión logarítmica en esta ecuación. Consideramos este como el segundo caso en el que tenemos

Transformaremos la ecuación de forma logarítmica a forma exponencial, luego la resolveremos.

  • Dado
  • Codifiqué por colores las partes de la ecuación logarítmica para mostrar a dónde van cuando se convierten en forma exponencial.
  • La expresión azul permanece en su ubicación actual, pero el número rojo se convierte en el exponente de la base del logaritmo que es 3.
  • Simplifica el lado derecho, {3 ^ 4} = 81.
  • Termina resolviendo la ecuación lineal de dos pasos que surge.

Debes verificar que el valor color {azul} x = 12 es de hecho la solución a la ecuación logarítmica.

Ejemplo 7: Resuelve la ecuación logarítmica.

Reúna todas las expresiones logarítmicas de un lado de la ecuación (manténgala a la izquierda) y mueva la constante hacia la derecha. Usa la regla del cociente para expresar la diferencia de logaritmos como fracciones dentro del paréntesis del logaritmo.

  • Dado
  • Mueve todas las expresiones logarítmicas a la izquierda de la ecuación y la constante a la derecha.
  • Utilice la regla del cociente para condensar las expresiones logarítmicas del lado izquierdo.
  • Prepárate para escribir la ecuación logarítmica en su forma exponencial.
  • La expresión azul permanece en su ubicación actual, pero la constante roja resulta ser el exponente de la base del registro.
  • Simplifique el lado derecho de la ecuación ya que 5 ^ {color {red} 1} = 5.
  • Esta es una Ecuación Racional debido a la presencia de variables en el numerador y denominador.

Resolvería esta ecuación usando la regla del producto cruzado. Pero primero tengo que expresar el lado derecho de la ecuación con el denominador explícito de 1. Es decir, 5 = {grande {{5 sobre 1}}}

  • Realice la multiplicación cruzada y luego resuelva la ecuación lineal resultante.

Cuando marque x = 1 de nuevo a la ecuación original, debe estar de acuerdo en que el {color {azul} x = 1} grande es la solución a la ecuación logarítmica.

Ejemplo 8: Resuelve la ecuación logarítmica.

Este problema es muy similar al # 7. Juntemos todas las expresiones logarítmicas a la izquierda mientras mantenemos la constante en el lado derecho. Dado que tenemos la diferencia de registros, utilizaremos la regla del cociente.

  • Dado
  • Mueva las expresiones logarítmicas al lado izquierdo y mantenga la constante a la derecha.
  • Aplique la regla del cociente, ya que son la diferencia de los registros.
  • Usé diferentes colores aquí para mostrar a dónde van después de reescribir en forma exponencial.
  • Observe que la expresión dentro del paréntesis permanece en su ubicación actual, mientras que el color {rojo} 5 se convierte en el exponente de la base.
  • Para resolver esta ecuación racional, aplique la regla de productos cruzados.
  • Simplifique el lado derecho por la propiedad distributiva. Parece que estamos tratando con una ecuación cuadrática.
  • Mueva todo al lado izquierdo y haga que el lado derecho sea cero.

Factoriza el trinomio. Iguala cada factor a cero y luego resuelve para x.

  • Cuando resuelves para x, debes obtener estos valores de x como posibles soluciones.

Asegúrese de verificar las posibles respuestas de la ecuación logarítmica original.

Debe aceptar que el color {azul} x = -32 es la única solución. Eso hace que el color {rojo} x = 4 sea una solución extraña, así que ignórelo.

Ejemplo 9: Resuelve la ecuación logarítmica

Espero que ahora tenga la idea principal sobre cómo abordar este tipo de problema. Aquí vemos tres expresiones logarítmicas y una constante. Separemos las expresiones logarítmicas y la constante en los lados opuestos de la ecuación.

  • Mantengamos las expresiones logarítmicas en el lado izquierdo mientras que la constante en el lado derecho.
  • Empiece por condensar las expresiones de registro utilizando la regla del producto para tratar la suma de registros.
  • Luego, condense aún más las expresiones logarítmicas usando la regla del cociente para tratar la diferencia de logaritmos.
  • En este punto, utilicé diferentes colores para ilustrar que estoy listo para expresar la ecuación logarítmica en su forma de ecuación exponencial.
  • Mantenga la expresión dentro del símbolo de agrupación (azul) en la misma ubicación mientras se hace el color constante {rojo} 1 en el lado derecho como exponente de la base 7.
  • Resuelva esta ecuación racional usando producto cruzado. Exprese 7 tan grande como {7 sobre 1}.
  • Multiplicar en cruz.
  • Mover todos los términos del lado izquierdo de la ecuación. Factoriza el trinomio. Luego, iguale cada factor a cero y resuelva para x.
  • Estas son tus posibles respuestas. Siempre verifique sus valores.

Es obvio que cuando volvemos a introducir x = -8 en la ecuación original, el resultado es un logaritmo con un número negativo. Por lo tanto, excluye el color {rojo} x = -8 como parte de su solución.

Por tanto, la única solución es el color {azul} x = 11.

Ejemplo 10: Resuelve la ecuación logarítmica.

  • Mantenga la expresión logarítmica a la izquierda y mueva todas las constantes a la derecha.
  • Simplificar.
  • Creo que estamos listos para transformar esta ecuación logarítmica en la ecuación exponencial.
  • La expresión dentro del paréntesis permanece en su ubicación actual mientras que la constante 3 se convierte en el exponente de la base logarítmica 3.
  • Simplifica el lado derecho ya que {3 ^ 3} = 27. Lo que tenemos aquí es una ecuación radical simple.

Consulte esta lección por separado si necesita un repaso sobre cómo resolver diferentes tipos de ecuaciones radicales.

  • Para deshacerse del símbolo radical en el lado izquierdo, eleve ambos lados de la ecuación al cuadrado.
  • Después de elevar ambos lados al cuadrado, parece que tenemos una ecuación lineal. Solo resuélvelo como de costumbre.

Verifique su respuesta potencial nuevamente en la ecuación original.

Después de hacerlo, debe estar convencido de que, de hecho, el color {azul} x = -104 es una solución válida.

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