Resolver ecuaciones logarítmicas: explicación y ejemplos
Como bien sabes, un logaritmo es una operación matemática que es la inversa de la exponenciación. El logaritmo de un número se abrevia como "log."
Antes de que podamos comenzar a resolver ecuaciones logarítmicas, primero familiaricémonos con las siguientes reglas de los logaritmos:
- La regla del producto:
La regla del producto establece que la suma de dos logaritmos es igual al producto de los logaritmos. La primera ley se representa como;
⟹ log b (x) + log b (y) = log b (xy)
- La regla del cociente:
La diferencia de dos logaritmos xey es igual a la razón de los logaritmos.
⟹ log b (x) - log b (y) = log (x / y)
- La regla del poder:
⟹ log b (x) n = n log b (x)
- Cambio de regla base.
⟹ log bx = (log ax) / (log ab)
- Regla de identidad
El logaritmo de cualquier número positivo en la misma base de ese número es siempre 1.
b1 = b ⟹ log b (b) = 1.
Ejemplo:
- El logaritmo del número 1 en cualquier base distinta de cero es siempre cero.
b0 = 1 ⟹ log b 1 = 0.
¿Cómo resolver ecuaciones logarítmicas?
Una ecuación que contiene variables en los exponentes se conoce como una ecuación exponencial. Por el contrario, una ecuación que implica el logaritmo de una expresión que contiene una variable se denomina ecuación logarítmica.
El propósito de resolver una ecuación logarítmica es encontrar el valor de la variable desconocida.
En este artículo, aprenderemos cómo resolver los dos tipos generales de ecuaciones logarítmicas, a saber:
- Ecuaciones que contienen logaritmos en un lado de la ecuación.
- Ecuaciones con logaritmos en lados opuestos del signo igual.
¿Cómo resolver ecuaciones con logaritmos en un lado?
Las ecuaciones con logaritmos en un lado toman log b M = n ⇒ M = b n.
Para resolver este tipo de ecuaciones, estos son los pasos:
- Simplifique las ecuaciones logarítmicas aplicando las leyes apropiadas de los logaritmos.
- Reescribe la ecuación logarítmica en forma exponencial.
- Ahora simplifique el exponente y resuelva para la variable.
- Verifica tu respuesta sustituyéndola de nuevo en la ecuación logarítmica. Debe tener en cuenta que la respuesta aceptable de una ecuación logarítmica solo produce un argumento positivo.
ejemplo 1
Resolver log 2 (5x + 7) = 5
Solución
Reescribe la ecuación en forma exponencial
registros 2 (5x + 7) = 5 ⇒ 2 5 = 5x + 7
⇒ 32 = 5x + 7
⇒ 5x = 32 - 7
5x = 25
Divide ambos lados entre 5 para obtener
x = 5
ejemplo 2
Resolver para x en log (5x -11) = 2
Solución
Dado que no se da la base de esta ecuación, asumimos la base de 10.
Ahora cambia la escritura del logaritmo en forma exponencial.
⇒ 102 = 5x - 11
⇒ 100 = 5x -11
111 = 5 veces
111/5 = x
Por lo tanto, x = 111/5 es la respuesta.
ejemplo 3
Resolver log 10 (2x + 1) = 3
Solución
Reescribe la ecuación en forma exponencial
log10 (2x + 1) = 3n⇒ 2x + 1 = 103
⇒ 2x + 1 = 1000
2x = 999
Al dividir ambos lados por 2, obtenemos;
x = 499.5
Verifique su respuesta sustituyéndola en la ecuación logarítmica original;
⇒ log10 (2 x 499.5 + 1) = log10 (1000) = 3 ya que 103 = 1000
ejemplo 4
Evalúe ln (4x -1) = 3
Solución
Reescribe la ecuación en forma exponencial como;
ln (4x -1) = 3 ⇒ 4x - 3 = e3
Pero como sabes, e = 2.718281828
4x - 3 = (2.718281828) 3 = 20.085537
x = 5.271384
ejemplo 5
Resuelva la ecuación logarítmica log 2 (x +1) - log 2 (x - 4) = 3
Solución
Primero simplifique los logaritmos aplicando la regla del cociente como se muestra a continuación.
log 2 (x +1) - log 2 (x - 4) = 3 ⇒ log 2 [(x + 1) / (x - 4)] = 3
Ahora, reescribe la ecuación en forma exponencial.
⇒2 3 = [(x + 1) / (x - 4)]
⇒ 8 = [(x + 1) / (x - 4)]
Multiplica la ecuación en cruz
⇒ [(x + 1) = 8 (x - 4)]
⇒ x + 1 = 8x -32
7x = 33 …… (Recopilación de términos similares)
x = 33 / 7
ejemplo 6
Resolver para x si log 4 (x) + log 4 (x -12) = 3
Solución
Simplifique el logaritmo usando la regla del producto de la siguiente manera;
log 4 (x) + log 4 (x -12) = 3 ⇒ log 4 [(x) (x - 12)] = 3
⇒ log 4 (x2 - 12x) = 3
Convierte la ecuación en forma exponencial.
⇒ 43 = x2 - 12x
⇒ 64 = x2 - 12x
Como se trata de una ecuación cuadrática, la resolvemos factorizando.
x2 -12x - 64 ⇒ (x + 4) (x - 16) = 0
x = -4 o 16
Cuando x = -4 se sustituye en la ecuación original, obtenemos una respuesta negativa que es imaginaria. Por tanto, 16 es la única solución aceptable.
¿Cómo resolver ecuaciones con logaritmos en ambos lados de la ecuación?
Las ecuaciones con logaritmos en ambos lados del signo igual toman log M = log N, que es lo mismo que M = N.
El procedimiento de resolución de ecuaciones con logaritmos en ambos lados del signo igual.
- Si los logaritmos tienen una base común, simplifique el problema y luego vuelva a escribirlo sin logaritmos.
- Simplifica recolectando términos semejantes y resuelve la variable en la ecuación.
- Verifica tu respuesta volviéndola a colocar en la ecuación original. Recuerde que una respuesta aceptable producirá un argumento positivo.
ejemplo 7
Resolver log 6 (2x - 4) + log 6 (4) = log 6 (40)
Solución
Primero, simplifica los logaritmos.
log 6 (2x - 4) + log 6 (4) = log 6 (40) ⇒ log 6 [4 (2x - 4)] = log 6 (40)
Ahora suelta los logaritmos
⇒ [4 (2x - 4)] = (40)
⇒ 8x - 16 = 40
⇒ 8x = 40 + 16
8x = 56
x = 7
ejemplo 8
Resuelva la ecuación logarítmica: log 7 (x - 2) + log 7 (x + 3) = log 7 14
Solución
Simplifica la ecuación aplicando la regla del producto.
Log 7 [(x - 2) (x + 3)] = log 7 14
Suelta los logaritmos.
⇒ [(x - 2) (x + 3)] = 14
Distribuya el FOIL para obtener;
⇒ x 2 - x - 6 = 14
⇒ x 2 - x - 20 = 0
⇒ (x + 4) (x - 5) = 0
x = -4 o x = 5
cuando x = -5 y x = 5 se sustituyen en la ecuación original, dan un argumento negativo y positivo respectivamente. Por tanto, x = 5 es la única solución aceptable.
ejemplo 9
Resolver log 3 x + log 3 (x + 3) = log 3 (2x + 6)
Solución
Dada la ecuación; log 3 (x2 + 3x) = log 3 (2x + 6), elimine los logaritmos para obtener;
⇒ x2 + 3x = 2x + 6
⇒ x2 + 3x - 2x - 6 = 0
x2 + x - 6 = 0 ……………… (Ecuación cuadrática)
Factoriza la ecuación cuadrática para obtener;
(x - 2) (x + 3) = 0
x = 2 y x = -3
Al verificar ambos valores de x, obtenemos que x = 2 es la respuesta correcta.
ejemplo 10
Resolver log 5 (30x - 10) - 2 = log 5 (x + 6)
Solución
log 5 (30x - 10) - 2 = log 5 (x + 6)
Esta ecuación se puede reescribir como;
⇒ log 5 (30x - 10) - log 5 (x + 6) = 2
Simplifica los logaritmos
log 5 [(30x - 10) / (x + 6)] = 2
Reescribe el logaritmo en forma exponencial.
⇒ 52 = [(30x - 10) / (x + 6)]
⇒ 25 = [(30x - 10) / (x + 6)]
En la multiplicación cruzada, obtenemos;
⇒ 30x - 10 = 25 (x + 6)
⇒ 30x - 10 = 25x + 150
⇒ 30x - 25x = 150 + 10
⇒ 5x = 160
x = 32
