A "sistema de ecuaciones”Es una colección de dos o más ecuaciones que se resuelven simultáneamente. Anteriormente, he repasado algunos ejemplos que muestran cómo resolver un sistema de ecuaciones lineales usando métodos de sustitución y eliminación. Se considera un sistema lineal porque todas las ecuaciones del conjunto son rectas.
¿Qué es un sistema de ecuaciones no lineal?
Por otro lado, un sistema no lineal es una colección de ecuaciones que pueden contener algunas ecuaciones de una línea, pero no todas. En esta lección, solo trataremos el sistema de ecuaciones no lineales con dos ecuaciones en dos incógnitas, xey.
Hay siete (7) ejemplos en esta lección.
Ejemplos de cómo resolver sistemas de ecuaciones no lineales
Ejemplo 1: Resuelve el sistema de ecuaciones no lineales a continuación.
Este sistema tiene dos ecuaciones de cada tipo: una lineal y una no lineal. Comience con la primera ecuación ya que es lineal. Puede resolver x o y. Para este, despejemos y en términos de x.
Sustituye el valor de y en la segunda ecuación y luego resuelve para x. En este problema, mueva todo a un lado de la ecuación mientras mantiene el lado opuesto igual a cero. Después de hacerlo, factoriza el trinomio simple y luego iguala cada factor a cero para resolver x.
Después de resolver la ecuación, llegamos a dos valores de x. Sustituye estos valores numéricos por cualquiera de las dos ecuaciones originales. Sin embargo, elija la ecuación "más simple" para simplificar el cálculo. ¡Obviamente, la ecuación lineal x + y = 1 es la mejor opción!
- Si x = - 3, resuelva para y.
Respuesta (- 3, 4)
- Si x = 2, resuelva para y.
Respuesta (2, -1)
Por lo tanto, la solución establecida para el sistema dado de ecuaciones no lineales consta de dos puntos que son (- 3, 4) y (2, -1).
Gráficamente, podemos pensar en la solución del sistema como los puntos de intersección entre la función lineal color {rojo} x + y = 1 y la función cuadrática color {azul} y = {x ^ 2} - 5.
Ejemplo 2: Resuelve el sistema de ecuaciones a continuación.
La primera ecuación es un círculo con un radio de 3 ya que la fórmula general de un círculo es {x ^ 2} + {y ^ 2} = {r ^ 2}.
Lo que haré es sustituir la expresión de y que es de color {azul} x + 3 de la ecuación inferior por la y de la ecuación superior. Entonces deberíamos poder resolver para x.
Usa estos valores de x para encontrar los valores correspondientes de y. Elegiría la ecuación más simple (ecuación inferior) y = x + 3 para resolver y.
- Si x = 0, resuelva para y.
Respuesta (0, 3)
- Si x = - 3, resuelva para y.
Respuesta (- 3, 0)
Las respuestas finales son los puntos (0, 3) y (- 3, 0). Estos son los puntos de intersección de la línea y el círculo dados centrados en el origen.
Ejemplo 3: Resuelve el sistema de ecuaciones a continuación.
Este problema es muy similar al problema n. ° 2. Tenemos una línea (ecuación superior) que se cruza con un círculo (ecuación inferior) en dos puntos.
Paso 1:: Resuelve la ecuación superior para y.
Paso 2:: Inserte el valor de y en la ecuación inferior. Se le pedirá que eleve al cuadrado un binomio, combine términos semejantes y factorice un trinomio para obtener los valores de x. Esta es la solucion:
Por tanto, los valores de x son
Paso 3:: Reemplace estos x {rm {- valores}} en la ecuación superior x + y = - 1 para obtener los correspondientes y {rm {- valores}}.
Respuesta (- 3, 2)
Respuesta (2, – 3)
Paso 4:: Aquí está la gráfica de la línea que interseca el círculo en (- 3, 2) y (2, - 3).
Ejemplo 4: Resolver el sistema de ecuaciones no lineales
Sustituye la expresión de y de la ecuación superior por la y de la ecuación inferior. Aplique la propiedad distributiva y luego mueva todo hacia la izquierda. Factoriza el trinomio y luego iguala cada factor a cero para resolver x.
Entonces tenemos,
Dado que ahora tenemos los valores de x, elija cualquiera de las ecuaciones originales para resolver y. La opción obvia es y = x + 3 porque es mucho más simple que la otra.
Respuesta (-1, 2)
Respuesta (- 2, 1)
El gráfico muestra la intersección de la hipérbola oblicua y la línea en los puntos (-1, 2) y (- 2, 1).
Ejemplo 5: Resolver el sistema de ecuaciones no lineales
Observe que la primera ecuación es de un círculo centrado en (-2, 2) con un radio de 1. La segunda ecuación es una parábola en forma estándar con vértice en (-2, 3). Esperamos que las soluciones de este sistema de ecuaciones no lineales sean los puntos donde la parábola (función cuadrática) se cruza con el círculo dado.
Resolveremos esto de dos maneras. Primero por el método de sustitución y luego seguido por el método de eliminación.
I. Usando el método de sustitución
Sería tentador simplemente sustituir el valor de y de la ecuación inferior por la ecuación superior. Puede intentarlo. Pero debe darse cuenta de inmediato de que hace que el problema sea más complicado de resolver. Sin embargo, hay una forma mejor.
Aísle el término {izquierda ({x + 2} derecha) ^ 2} de la segunda ecuación y sustitúyalo en la primera ecuación.
Luego, sustituya esto en la segunda ecuación que nos da una ecuación con una sola variable solo en y.
Estableciendo cada factor igual a cero, y despejando y obtenemos
Ahora, queremos encontrar los valores correspondientes de x cuando y = 2 e y = 3. Usaré la ecuación de un círculo para hacer precisamente eso.
- Si y = 2, resuelva para x.
Respuesta (-1, 2) y (- 3, 2)
- Si y = 3, resuelva para x.
Respuesta (- 2, 3)
Por lo tanto, las soluciones completas son los puntos de intersección de una función cuadrática y un círculo en (-1, 2), (- 3, 2) y (- 2, 3).
II. Usando el método de eliminación
Para resolver por el método de eliminación, mantenga todos los términos con xey en el lado izquierdo y mueva la constante hacia la derecha. Asegúrese de alinear términos similares. En este caso, solo los términos con {left ({x + 2} right) ^ 2} y las constantes deben tener términos similares.
Luego, reste la ecuación superior por la ecuación inferior. No olvide cambiar los signos al restar, es decir, lo positivo se convierte en negativo y viceversa. El término {izquierda ({x + 2} derecha) ^ 2} debe eliminarse después de la resta.
Dado que el término de color {rojo} {izquierda ({x + 2} derecha) ^ 2} se ha ido, nos quedamos con una ecuación cuadrática simple con variable y solo entonces se puede resolver usando factorización.
Comience expandiendo el término binomial, combine términos semejantes, mueva todo hacia la izquierda, factorice el trinomio resultante y establezca cada factor igual a cero para resolver para y.
Estableciendo cada factor igual a cero, y despejando y obtenemos
Observe que llegamos a los mismos valores de y usando el método de sustitución como se muestra arriba. Desde este punto, la solución ahora es la misma que se muestra arriba, por eso no mostraré el resto.
El conjunto de soluciones consta de los puntos de intersección: (-1, 2), (- 3, 2) y (- 2, 3).
Ejemplo 6: Resuelve el siguiente sistema
Dado que los términos y ^ 2 tienen el mismo coeficiente pero de signo opuesto, podemos sumar las dos ecuaciones para eliminar la variable y. Esto debería dejarnos con una ecuación cuadrática simple que se puede resolver fácilmente usando el método de la raíz cuadrada.
Luego, divida ambos lados de la ecuación por el coeficiente del término x ^ 2, y luego aplique la raíz cuadrada en ambos lados para obtener los valores de x. No olvide adjuntar el símbolo más o menos cada vez que obtenga la raíz cuadrada de algo.
Elija cualquiera de las dos ecuaciones originales y encuentre los valores de y cuando el color {azul} x = pm, 3. ¡Usaré la primera ecuación porque es mucho más simple!
- Si x = 3, resuelva para y.
Respuesta (3, 1) y (3, -1)
- Si x = -3, resuelva para y.
Respuesta (- 3, 1) y (–3, –1)
Las soluciones de este sistema de ecuaciones no lineales consisten en los cuatro puntos de intersección:
(3, 1), (3, –1), (- 3, 1) y (- 3, –1)
De hecho, estos son los puntos de intersección de la elipse dada (primera ecuación) y la hipérbola (segunda ecuación).
Gráficamente, se parece al de abajo.
Ejemplo 7: Resuelve el siguiente sistema
También resolveremos esto usando el método de eliminación. Sin embargo, multiplique ambas ecuaciones primero por algún número para que sus constantes sean iguales pero de signo opuesto.
Elimina y ^ 2 multiplicando la primera ecuación por 2, y la segunda ecuación por 3, ¡y finalmente sumándolas!
Ahora, resuelva para x dividiendo ambos lados por el coeficiente del término x ^ 2, y luego realice la operación de raíz cuadrada en ambos lados de la ecuación.
Reemplaza los valores de x en cualquiera de las ecuaciones originales para resolver y. Usemos la primera ecuación.
- Si x = 3, resuelva para y.
Respuesta (3, 2) y (3, – 2)
- Si x = -3, resuelva para y.
Respuesta (- 3, 2) y (- 3, - 2)
Las soluciones de este sistema no lineal son los puntos de intersección de la elipse y la hipérbola dadas.
