Resta de vectores: explicación y ejemplos

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Resta de vectores: explicación y ejemplos

Hay muchos paralelismos entre escalares y vectores, y resta de vectores no es una excepción. Específicamente, la resta de vectores es:

"La adición de un vector con el negativo de otro vector".

De la definición anterior, está claro que la resta de vectores simplemente significa la suma de vectores negativos. Antes de aprender la resta de vectores, por lo tanto, es importante revisar los vectores negativos.


Como sabemos, un vector negativo se obtiene multiplicando un vector dado por -1. Esto invierte la dirección del vector.


Digamos A es un vector que apunta de izquierda a derecha. Multiplicando el vector A por -1 nos da -A, que es el vector A negativo. Aunque la magnitud de los dos vectores A y -A seguirá siendo el mismo, el vector negativo -A apuntará de derecha a izquierda.

En este tema, analizaremos más a fondo los siguientes aspectos de la resta de vectores:

  • Cómo restar vectores
  • Restar vectores gráficamente

Cómo restar vectores

Sabemos que dos vectores, A y B, se pueden sumar usando la suma de vectores, y el vector resultante se puede escribir como R = A + B. De manera similar, si queremos la resta de dos vectores, A y B se expresa matemáticamente como: 

R = A - B

Alternativamente como:

R = A +(- B)

Por lo tanto, restar los dos vectores es lo mismo que sumar el vector A y el vector B es negativo (es decir, B). Los vectores B y -B tendrá la misma magnitud, pero -B 's dirección será opuesta a la del vector B.



La resta de vectores también funciona cuando los dos vectores se dan en forma de componentes o como vectores de columna. Si A = (ax1, ay1) y B = (bx1, by1), entonces la diferencia entre los dos es:

R = A , B

Donde las componentes horizontal y vertical del vector resultante R se puede expresar como:

Rx = ax1 - bx1

y

Ry = ay1 - por1.

Por lo tanto, el vector resultante se puede calcular simplemente calculando la diferencia de las respectivas componentes horizontal y vertical de los dos vectores originales.

Restar vectores gráficamente

Gráficamente, la regla de la cabeza a la cola utilizada en la suma de vectores se puede adaptar para la resta de vectores. Por ejemplo, considere los dos vectores P y Q como se muestra en la imagen de abajo. Tenga en cuenta que el vector -Q se obtiene invirtiendo la dirección de Q.


A continuación, sumamos los vectoresy -Q usando la regla de la cabeza a la cola de la siguiente manera:


Primero, dibuja el vector P, y luego coloque el vector -Q  de modo que su cola esté conectada a la cabeza del vector P. Ahora, para encontrar la suma de P y -Q, dibuja el vector resultante R de modo que conecte la cola del vector P a la cabeza del vector -Q como se muestra en la imagen de abajo.

Matemáticamente, el vector resultante se puede expresar como: 

R = P , Q


Ejemplos

En esta sección, practicaremos la resta de vectores con diferentes ejemplos y sus soluciones paso a paso utilizando los diferentes métodos como se discutió anteriormente.

ejemplo 1

Reste gráficamente los vectores A y B dados que se muestran en la imagen a continuación utilizando el método de la cabeza a la cola.

Solución
Primero dibujamos el negativo del vector B  invirtiendo su dirección, es decir, -B. A continuación, sumamos los vectores A y -B aplicando el método de la cabeza a la cola.


Primero colocamos los vectores dados A y -B tal que la cola del vector -B se conecta a la cabeza del vector A como se muestra en la imagen de abajo. A continuación, para encontrar su suma, dibujamos un vector resultante R de modo que conecte la cola del vector A a la cabeza del vector -B. Matemáticamente, la resultante se puede expresar como:
                                      R = A + (-B)

ejemplo 2

Dados dos vectores AB = (3, 2) y BC = (2, 2), reste algebraicamente los dos vectores. Luego, determine la magnitud y el ángulo del vector resultante dado como:

S  = AB + (-BC)

Solución

Primero, determine el negativo del vector BC multiplicándolo por -1:

-ANTES DE CRISTO = (-2, -2).

A continuación, para encontrar el vector resultante S, sumamos los vectores AB y -BC como sigue:

S = AB + (- BC

S = (3, 2) + (-2, -2)

S = (1, 0).

La magnitud del vector resultante S se puede encontrar usando las siguientes ecuaciones:

|S| = √ (Sx) ^ 2 + (Sy) ^ 2

|S| = √ (1) ^ 2 + (0) ^ 2

|S| = √ 1

|S| = 1 unidad

El ángulo del vector resultante S luego se puede encontrar de la siguiente manera:

Φ = tan-1 (Sy / Sx)

Φ = tan-1 (0/1)

Φ = tan-1 (0)

Φ = 0 grados

ejemplo 3

Dados los dos vectores S = 10 m, Φ = 30 grados y T = 20 m, Φ = 60 grados. Reste los dos vectores, luego calcule la magnitud y el ángulo del vector resultante usando el método de componentes.

Solución

Asegúrate de que R ser el vector resultante igual a la suma de los vectores dados S y - T. Puede expresarse como:

R = S + (-T)

Para usar el método de componentes, primero desglosamos los vectores dados en sus respectivos componentes horizontal y vertical:

Sx = S Cos Φ

Sx = 10 Cuerpo 30

Sx = 8.660 m (aproximadamente)

Del mismo modo, para el componente vertical:

Sy = S Sin Φ

Sy = 10 Sin 30

                                              Sy = 5 m

A continuación, calculamos los componentes del vector T:

Tx = T Cos Φ

Ty = T Sin Φ

Dónde,

Tx = 20 Cos 60

Tx = 10m

Ty = 20 Sin 60

Ty = 17.320 (aproximadamente)

Ahora, podemos calcular el vector de diferencia calculando la diferencia de los componentes xey individuales de la S y -T vector como:

Rx = Sx + (-Tx)

Rx = 8.660 + (-10)

Rx = -1.34 m

Ry = Sy + (-Ty)

Ry = 5 + (-17.32)

Ry = -12.32 m

El vector resultante R se puede expresar como el vector de columna:

R = (-1.34, -12.32).

Finalmente, la magnitud y el ángulo del vector resultante son:

| R | = √ (-1.34) ^ 2 + (-12.32) ^ 2

| R | = 12.392 m

Φ = tan-1 (Ry/Rx)

Φ = tan-1 (-12.32 / -1.34)

Φ = 83.79 grados (aproximadamente)

Por tanto, el vector suma resultante se puede expresar como:

R = 12.392 m, Φ = 83.79 grados

ejemplo 4

Determine el vector suma resultante para los dos vectores A = (-5, -1) y -B = (2, -1).

Solución

Los vectores dados ya están en sus formas componentes, así que primero determinamos sus ángulos.

Para el vector A:

Φ = tan-1 (Ay/Ax)

Φ = tan-1 (-1 / -5)

Φ = 11.309 grados

Para el vector -B:

Φ = tan-1 (By/Bx)

Φ = tan-1 (-1/2)

Φ = -26.56 grados

A continuación, encontramos el vector resultante sumando los componentes individuales:

S = A + (-B)

Sx = Ax + (-Bx)

Sx = -5 + 2

Sx = -3

Sy = Ay + (-Por)

Sy = -1 -1

Sy = -2

El vector resultante S se puede expresar como el vector de columna:

S = (-3, -2).

Finalmente, la magnitud y el ángulo del vector resultante son:

| S | = √ (-3) ^ 2 + (-2) ^ 2

| S | = 3.605 unidades

Φ = tan-1 (Sy/Sx)

Φ = tan-1 (-2 / -3)

Φ = 33.69 grados

Por tanto, el vector suma resultante se puede expresar como:

S = 3.605 unidades, Φ = 33.69 grados

ejemplo 5

Dados los tres vectores A = (-20, -1), X = (5, -4) y Y = (2,6), determina el vector  Z = A , X ,Y.

Solución

Z = A , X ,Y

Z = (-20, -1) - (5, -4) - (2, 6)

Z = (-20-5-2, -1+4-6) 

Z = (-27, -3) 

Preguntas de práctica

  1. Dados dos vectores V = (2, 5) y C = (3, -2), determinar A = V, C . Luego, determina la magnitud y el ángulo del vector resultante A.
  2. Dados dos vectores G = (5, 5) y -H = (4, -10), determine su suma usando la regla de la cabeza a la cola. Luego, determina la magnitud y el ángulo del vector resultante P = G , H.
  3. Considere el vector OA, dónde O = (-1, 3) y A = (5,2), y el vector UV, donde U = (1, -2) y V = (-2, 2). Reste los dos vectores, luego dé la magnitud y el ángulo del vector resultante S.
  4.  M = 10 m recto al este y N = 15 m en línea recta hacia el norte. Reste los dos vectores y luego proporcione la magnitud y el ángulo del vector resultante.

  5. Dados dos vectores A = (10, 2, 5) y M = (5, 0, -4), determina el vector  = M , A.

respuestas

  1. El vector resultante A is A = (-1, 7), la magnitud de A es |A| = 7.079 unidades (aproximadamente), y el ángulo es Φ = -81.86 grados.
  2. El vector resultante P es: P = (9, -5), la magnitud de P es |P| = 10. 30 unidades (aproximadamente) y el ángulo es Φ = -29.05 grados.
  3. Los vectores son OA = (6, -1) y -UV = (3, -4), el vector resultante S is S = (9, -5), la magnitud de S es |S| = 10. 30 unidades (aproximadamente) y el ángulo es Φ = -29.05 grados.
  4.  La resultante de los dos vectores es:

    R = M + (-N)

    | R | = 18.027 m (aproximadamente)

    Y el ángulo es:

    Φ = tan-1 (15/10)

    Φ = 56.30 grados

    Por tanto, el vector resultante R is R = 18.027 m, Φ = 56.30 grados al noreste.

  5. B = M, A 

    B = (10, 2, 5) - (5, 0, -4)

    B = (10-5, 2-0, 5 + 4) 

    B = (5, 2, 9) 

 



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