Simplificación de expresiones racionales: explicación y ejemplos
Ahora que comprende lo que son los números racionales, el siguiente tema a considerar en este artículo es expresiones racionales y cómo simplificarlas. Solo para su propio beneficio, definimos un número racional como un número expresado en la forma de p / q donde no es igual a cero.
En otras palabras, podemos decir que un número racional no es más que una fracción en la que el numerador y el denominador son números enteros. Ejemplos de números racionales son 5/7, 4/9/1/2, 0/3, 0/6, etc.
Por otro lado, una expresión racional es una expresión algebraica de la forma f (x) / g (x) en la que el numerador o denominador son polinomios, o tanto el numerador como el numerador son polinomios.
Ejemplos de expresión racional son 5 / x - 2, 4 / (x + 1), (x + 5) / 5, (x2 + 5x + 4) / (x + 5), (x + 1) / (x + 2), (x2 + x + 1) / 2x etc.
¿Cómo simplificar expresiones racionales?
La simplificación de la expresión racional es el proceso de reducir una expresión racional en sus términos más bajos posibles. Las expresiones racionales se simplifican de la misma manera en que se simplifican los números numéricos o las fracciones.
Para simplificar cualquier expresión racional, aplicamos los siguientes pasos:
- Factoriza tanto el denominador como el numerador de la expresión racional. Recuerda escribir cada expresión en forma estándar.
- Reducir la expresión anulando factores comunes en el numerador y denominador
- Reescribe los factores restantes en el numerador y denominador.
Simplifiquemos un par de ejemplos como se muestra a continuación:
ejemplo 1
Simplificar: (x2 + 5x + 4) (x + 5) / (x2 - 1)
Solución
Factorizar el numerador y el denominador para obtener;
⟹ (x + 1) (x + 4) (x + 5) / (x + 1) (x - 1)
Ahora cancele los términos comunes.
⟹ (x + 4) (x + 5) / (x - 1)
ejemplo 2
Simplificar (x2 - 4) / (x2 + 4x + 4)
Solución
Factoriza tanto el numerador como el denominador para obtener.
⟹ (x + 2) (x - 2) / (x + 2) (x + 2)
Ahora cancele los factores comunes en el numerador y el denominador para obtener.
= (x - 2) / (x + 2)
ejemplo 3
Simplifica la expresión racional x / (x2 - 4x)
Solución
Factoriza x en el denominador para obtener;
⟹x / x (x - 4)
Al cancelar los términos comunes en la parte superior e inferior, obtenemos;
= 1 / (x - 4)
ejemplo 4
Simplifica la expresión racional (5x + 20) / (7x + 28)
Solución
Factoriza el MCD tanto en el numerador como en el denominador;
= (5x + 20) / (7x + 28) ⟹ 5 (x + 4) / 7 (x + 4)
Al cancelar términos comunes, obtenemos;
= 5/7
ejemplo 5
Simplifica la expresión racional (x2 + 7x + 10) / (x2 - 4)
Solución
Factoriza tanto la parte superior como la inferior de la expresión.
= (x2 + 7x + 10) / (x2 - 4) ⟹ (x + 5) (x + 2) / (x2 - 22)
⟹ (x + 5) (x + 2) / (x + 2) (x - 2)
Cancele los términos comunes para obtener;
= (x + 5) / (x - 2)
ejemplo 6
Simplificar (3x + 9) / (3x + 15)
Solución
= (3x + 9) / (3x + 15) ⟹ 3 (x + 3) / 3 (x + 5)
= (x + 3) / (x + 5)
ejemplo 7
Simplifica la expresión racional (64a3 + 125b3) / (4a2b + 5ab2)
Solución
Factoriza el numerador y la parte superior;
= (64a3 + 125b3) / (4a2b + 5ab2) ⟹ [(4a) 3 + (5b) 3] / ab (4a + 5b)
⟹ (4a + 5b) [(4a) 2 - (4a) (5b) + (5b) 2] / ab (4a + 5b)
Cancele los términos comunes para obtener;
= (16a2 - 20ab + 25b2) / ab
ejemplo 8
Simplifica la siguiente expresión racional
(9x2 - 25y2) / (3x2 - 5xy)
Solución
= (9x2 - 25y2) / (3x2 - 5xy) ⟹ [(3x) 2 - (5y) 2] / x (3x - 5y)
= [(3x + 5 años) (3x - 5 años)] / x (3x - 5 años)
= (3x + 5y) / x
ejemplo 9
Simplificar: (6x2 - 54) / (x2 + 7x + 12)
Solución
= (6x2 - 54) / (x2 + 7x + 12)
= 6 (x2 - 9) / (x + 3) (x + 4)
= 6 (x2 - 32) / (x + 3) (x + 4)
= 6 (x + 3) (x - 3) / (x + 3) (x + 4)
= 6 (x - 3) / (x + 4)
Preguntas de práctica
Simplifica las siguientes expresiones racionales:
- 4x3 / 8x2
- (4x3+ 8x2)/2x
- (7x2 + 28x) / (x2 + 8x + 16)
- (4x2 + 4x + 1) / (2x3 + 11x2 + 5x)
- (x2 + 2x - 15) / (x2 + x - 12)
- (x3 + 1) / (x2 + 7x + 6)
- x2 + 10x + 24 / x3 - x2 - 20x
- x + 3 / x2 + 12x + 27
- (x3 + 4x2 - 9x - 36) / (4x2 + 28x + 48)
- (3x2 - 9xy - 12y2) / (6x3 - 6xy2)
- (2x4 + 9x3 -5x2) / (6x3 + x2 - 2x)
- (2x3 + 5x2 + 9) / (2x2– x + 3)
- (x3 + 3x2) / 2x
- (xy + 3x − 2y – 6)/ (y2 + y – 6)
- (5m2 - 57mn + 70n2) / 2m2 - 16mn - 40n2
