Subconjuntos: definición y ejemplos

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Aina Prat
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Subconjuntos - Definición y ejemplos

En nuestra discusión anterior, aprendimos que un conjunto es una colección de elementos distintos. Entonces, ¿qué pasa si sacamos algunos elementos de esta colección y formamos un subgrupo? ¿Es significativo este subgrupo? ¿Tendrá propiedades únicas? ¿Cómo podemos llamarlo? Todas estas preguntas pueden responderse mediante el concepto de Subconjuntos. 

Este artículo intentará abordar estas preguntas de forma individual, así que sigamos adelante.


La división de un conjunto conduce a la formación de conjuntos más pequeños llamados subconjuntos.


Los temas que cubriremos en este artículo son:

  • ¿Qué es un subconjunto?
  • ¿Cómo representar un subconjunto?
  • Propiedades de un subconjunto
  • Ejemplos
  • Problemas de práctica

 

¿Qué es un subconjunto?

Un subconjunto, como su nombre indica, es una subcolección de cualquier conjunto. Supongamos que tenemos dos conjuntos, X e Y. Matemáticamente hablando, X será un subconjunto de Y si y solo si todos los elementos de X están presentes en Y. También podemos decir que X está contenido en Y. Esta relación se llama inclusión o contención de X en Y. 

Para comprenderlo mejor, considere que tiene un conjunto A tal que A incluye los nombres de todas las ciudades de su país. En ese caso, un conjunto B que comprende los nombres de las ciudades de su provincia será un subconjunto de A. Esto se debe a que todas las ciudades de su provincia también deben ser ciudades de su país; por lo tanto, B es un subconjunto de A.

Solo hay un cierto número de subconjuntos distintos o únicos para cualquier conjunto, por lo que el resto son redundantes y repetitivos. 



Un subconjunto se puede clasificar de la siguiente manera:

  1. Subconjunto propio
  2. Subconjunto inadecuado

Resolvamos algunos ejemplos de un subconjunto:

ejemplo 1

Determine si A es un subconjunto de B en lo siguiente:

  1. A = {conjunto de todos los números pares}, B = {conjunto de números enteros}
  2. A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
  3. A = {todo el equipo de escritura en una papelería}, B = {bolígrafos}
  4. A = {sedán}, B = {todos los autos}

Solución

(i) El conjunto de números pares se da como:

     A = {0, 2, 4, 6,…}

    De manera similar, el conjunto de números enteros se da como:

B = {0, 1, 2, 3, ...}

      Está bastante claro que los elementos de A pertenecen al conjunto B. Entonces A es un subconjunto de B

(ii) Al analizar los dos conjuntos A y B, queda claro que los elementos de A pertenecen al conjunto B. Entonces A es un subconjunto de B

(iii) El juego A incluye bolígrafos, lápices, cuadernos, marcadores, etc. Mientras que el juego B solo incluye bolígrafos. Entonces no podemos decir que todos los elementos de A están en B, lo cual es una condición para que A sea un subconjunto de B. En este caso, B es un subconjunto de A, pero A no es un subconjunto de B.


(iv) El conjunto B incluye todos los tipos de automóviles; sedanes, hatchbacks, camionetas, etc. Y, A es un conjunto de sedanes. Entonces, todos los elementos de A están incluidos en B. Por lo tanto, A es un subconjunto de B.


Tipos de subconjuntos

Anteriormente, mencionamos que hay dos tipos de subconjuntos. Entonces, ¿cuáles son estos tipos? Tengamos una descripción general.  

Subconjunto propio

Cualquier conjunto A se considera un subconjunto propio de B si hay al menos un elemento en B, que no está presente en A.

En otras palabras, si A y B son desiguales y todos los elementos de A están presentes en B, entonces A es el subconjunto adecuado de B. 

También se denomina subconjunto estricto. 

Hagamos un ejemplo:

ejemplo 2

  1. ¿Es A un subconjunto propio de B cuando A = {1, 2, 3, 8} y B = {1, 2, 3, 8}?
  2. ¿Es A un subconjunto propio de B cuando A = {1, 2} y B = {1, 5, 6, 7}?

Solución

  1. No, A no es un subconjunto adecuado de B ya que ambos son iguales y B no tiene un elemento único, que no está presente en A.
  2. No, A no es un subconjunto adecuado. Ni siquiera es un subconjunto ya que 2 no está presente en B.

Subconjunto inadecuado

Considere dos conjuntos, A y B; A es un subconjunto inadecuado de B si contiene todos los elementos de B. Cualquier conjunto es un subconjunto inadecuado de sí mismo. 


¿Cómo representar subconjuntos?

Nos hemos familiarizado con lo que es un subconjunto, ahora veamos cómo representarlo. Un subconjunto, como cualquier otro conjunto, se escribe con sus elementos entre corchetes. Pero su representación es un asunto diferente. Como un subconjunto es parte de un conjunto, se escribe usando un símbolo intuitivo ⊆ que se lee como 'es un subconjunto de':


Entonces, considere dos conjuntos, A y B: 

Si A es un subconjunto de B, lo escribimos como:

A ⊆ B

Si A no es un subconjunto de B, lo escribimos como:

A ⊈ B

Algunos matemáticos también usan el símbolo ⊂ para denotar un subconjunto adecuado. Entonces, también podemos escribir las declaraciones anteriores de la siguiente manera:

Si A es un subconjunto propio de B, lo representamos como:

 A ⊂ B. 

Si A no es un subconjunto adecuado de B, lo escribimos como:

 A ⊄ B

Para entender la diferencia entre ⊆ y ⊂, podemos pensar en los signos de desigualdad ≤ y <. Para dos números cualesquiera ayb, si a ≤ b, entonces a puede o no ser igual a b. Por el contrario, si tenemos a <b, entonces a es menor que b. 

Los símbolos ⊆ y ⊂ son similares; para A ⊆ B, A puede ser igual a B, pero para A ⊂ B, A nunca es igual a B; por lo tanto, es un subconjunto adecuado.

Diferencia entre subconjunto adecuado y superconjunto

Una causa común de confusión entre los estudiantes que estudian la teoría de conjuntos por primera vez es la diferencia entre un subconjunto adecuado y un superconjunto. Intentemos abordar esta confusión. 

Como se discutió anteriormente, A es un subconjunto propio de B si B tiene al menos un elemento que no está presente en A. Se denota con el símbolo '⊂', que expresa que A es un subconjunto propio de B. También se le llama un estricto subconjunto. 

Mientras que B será el superconjunto de A si y solo si todos los elementos presentes en A son parte de B, lo que se traduce libremente en que B es mayor en tamaño que A. Si A es el subconjunto propio de B, entonces B es el superconjunto de A. El símbolo utilizado para denotar una relación de superconjunto es '⊇'.

El siguiente ejemplo puede ayudarnos a comprender esto mejor.

ejemplo 3

Explique por qué A = {2, 4, 5, 7, 8} es un superconjunto de B = {2, 4, 5}.

Solución

Para que A sea un superconjunto de B, necesita tener todos los elementos presentes en el conjunto B. Como podemos ver a partir de la información dada, A tiene elementos iguales a B, mientras que B es un subconjunto propio de A; por lo tanto, A es el superconjunto de B. 

Está escrito como:

A ⊇ B

Representación de subconjuntos mediante diagramas de Venn

Para comprender las relaciones entre diferentes conjuntos, el diagrama de Venn es la herramienta más adecuada para visualizar conexiones lógicas entre ciertos conjuntos. Se utilizan abundantemente para la representación de conjuntos, lo que es más importante, conjuntos finitos. Un diagrama de Venn denota los conjuntos como regiones dentro de un objeto circular con los elementos como puntos dentro de la región. 

Como los subconjuntos generalmente incluyen dos conjuntos, podemos usar fácilmente un diagrama de Venn para explicarlos y visualizarlos. La figura es la siguiente:

Considere que hemos establecido A = {1, 5, 9} y establecido B = {1, 5, 9, 12, 15, 2, 3}. 

La representación del diagrama de Venn de los conjuntos A y B es la siguiente:

Como podemos observar en el diagrama A, encerrado por una región denotada por su conjunto, es parte de la región B. Cada región tiene sus elementos denotados como puntos dentro de la región.

Resolvamos otro ejemplo usando el diagrama de Venn.

ejemplo 4

Con la ayuda del diagrama de Venn, demuestre que B = {1, 5, 9, 12, 15, 2, 3} es un superconjunto de A = {1, 5, 9}.

Solución

Como B será un superconjunto de A cuando todos sus elementos presentes sean un subgrupo de B elementos, tenemos que resolverlo usando el Diagrama de Venn.

El diagrama de Venn es el siguiente:

Como podemos ver, hay una región completamente superpuesta de A y B con alguna región de B de sobra, por lo que B es un superconjunto de A.

Propiedades de subconjuntos

Los subconjuntos son uno de los conceptos más fundamentales en el ámbito de los conjuntos. Haciendo hincapié en la importancia de los subconjuntos, es necesario evaluar las propiedades de los subconjuntos. A continuación se presentan algunas de las propiedades más importantes de los subconjuntos. 

Un subconjunto de sí mismo:

Cada conjunto se considera un subconjunto de sí mismo.

O tenemos un conjunto finito o infinito, un conjunto en sí mismo se considerará el subconjunto de sí mismo. Esto sucede incondicionalmente. Siempre que estemos enumerando los subconjuntos de cualquier conjunto dado, siempre incluiremos el conjunto en sí como su subconjunto. 

Pero en el caso de los subconjuntos adecuados, omitiremos el conjunto en sí para hacer que el subconjunto sea igual al conjunto.

Por ejemplo, para un conjunto finito A = {2,5}, todos los subconjuntos posibles son:

 A = Ⲫ, A = {2}, A = {5}, A = {5}, A = {2, 5}

Como puede ver, hemos incluido un subconjunto con los mismos elementos que el conjunto original para satisfacer la propiedad.

Como se mencionó anteriormente, esto no es solo para conjuntos finitos; los conjuntos infinitos siguen la misma propiedad. 

El conjunto vacío es un subconjunto:

El conjunto vacío es el subconjunto de cada conjunto.

Digamos que consideramos un conjunto A, que puede ser finito o infinito. Podemos calcular todos los posibles subconjuntos de A; entre estos subconjuntos, incluiremos un conjunto nulo / vacío. 

Por ejemplo, considere un conjunto finito A = {1, 2}, por lo que todos los posibles subconjuntos de este conjunto son:

A = Ⲫ, A = {1}, A = {2}, A = {1, 2}

Como puede ver, hemos incluido un subconjunto que está vacío entre nuestra lista de subconjuntos para satisfacer la propiedad:

Ⲫ ⊂ A

En el caso de conjuntos infinitos, podemos aplicar el mismo principio. No importa si un conjunto es finito o infinito; un conjunto vacío siempre será un subconjunto del conjunto dado. 

Veamos un ejemplo para aplicar esto mejor.

ejemplo 5

Considere un conjunto X = {2, 5, 8}. Enumere todos sus posibles subconjuntos.

Solución

Para resolver este ejemplo, consideraremos la propiedad anterior. 

La lista de todos los subconjuntos del conjunto X es:

Ⲫ, {2}, {5}, {8}, {2, 5}, {5, 8}, {2, 8}

Un conjunto vacío también es un subconjunto debido a la siguiente relación:

Ⲫ ⊂ X

La intersección de dos conjuntos

El conjunto A será el subconjunto del conjunto B si y solo si la intersección de A y B es igual a A. 

Para un conjunto A finito o infinito dado, para que sea un subconjunto de cualquier conjunto B finito / infinito, su intersección siempre debe ser igual al conjunto A. Esta es una de las condiciones para que el conjunto A sea un subconjunto del conjunto B. Si esta condición no se cumple, entonces podemos decir fácilmente que el conjunto A no es el subconjunto del conjunto B.

Podemos denotar esto como:

A ⊂ B ? A ∩ B = A

Veamos un ejemplo para aplicar esto mejor.

ejemplo 6 

Considere un conjunto X = {2, 5, 8} e ​​Y = {2, 4, 5, 6, 7, 8}. ¿Es X un subconjunto de Y?

Solución

Para resolver este ejemplo, consideraremos la propiedad anterior. 

X∩Y = {2, 5, 8}

Como esto es igual a X, por lo tanto, X es un subconjunto de Y.

Unión de dos conjuntos:

Para que cualquier conjunto A sea el subconjunto del conjunto B, su unión debe ser igual al conjunto B.

Para un conjunto A finito o infinito dado, para que sea un subconjunto de cualquier conjunto B finito / infinito, su unión debe ser siempre igual al conjunto B. Esta es una de las condiciones para que el conjunto A sea un subconjunto del conjunto B. Si esta condición no se cumple, entonces podemos decir fácilmente que el conjunto A no es el subconjunto del conjunto B.

Podemos denotar esto como:

A ⊂ B ? A ∪ B = B

Veamos un ejemplo para aplicar esto mejor.

ejemplo 7

Considere un conjunto X = {2, 8} e ​​Y = {2, 6, 7, 8}. ¿Es X un subconjunto de Y?

Solución

Para resolver este ejemplo, consideraremos la propiedad anterior. 

X ∪ Y = {2, 6, 7, 8}

Como su unión es igual a Y, X es un subconjunto de Y.

Cálculo del número de subconjuntos y subconjuntos adecuados:

Para un conjunto con n número de elementos, usando la siguiente fórmula, podemos calcular el número de subconjuntos:

$ 2 ^ n &

Y usando esta fórmula, podemos calcular el número de subconjuntos adecuados:

$ 2 ^ n - $ 1

Problemas de práctica

  1. Dé un ejemplo de la vida real del subconjunto adecuado.
  2. Encuentre el número de subconjuntos adecuados para el conjunto dado A = {1, 6, 2, 4, 5}.
  3. Para el conjunto dado A = {2, 4, 6, 8, 9}, encuentre el número de subconjuntos que contienen 2 elementos.
  4. ¿Cuál es la relación entre A = {b, q, u, j} y B = {x: x es cualquier letra}?
  5. ¿Cuál es la relación entre A = {x: x es un número par negativo} y B = {x? es el número natural}.

Respuestas:

  1. 31
  2. 10
  3. subconjunto propio
  4. No es un subconjunto



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