Suma de vectores: explicación y ejemplos

Suma de vectores: explicación y ejemplos

Al igual que la suma escalar, la suma de vectores implica poner dos o más vectores juntos. Más específicamente, cuando agrega vectores, está:

"Sumar los dos o más vectores usando la operación de suma para obtener un nuevo vector igual a la suma de los dos o más vectores".

En este tema, discutiremos la suma de vectores de los siguientes aspectos:

• ¿Qué es la suma de vectores?
• Cómo sumar vectores gráficamente
• Cómo sumar dos vectores

 

¿Qué es la suma de vectores?

Dos vectores, A y B, se pueden sumar usando la suma de vectores, y el vector resultante se puede escribir como:

R = A + B

Cómo sumar vectores gráficamente

Tenemos que considerar ambos componentes de un vector, a saber, la dirección y la magnitud cuando se usa la suma de vectores.

Tenga en cuenta que los dos vectores con la misma magnitud y dirección se pueden sumar como escalares.

En este tema, exploraremos métodos gráficos y matemáticos de suma de vectores, que incluyen:

1. Suma de vectores mediante la regla de la cabeza a la cola
2. Suma de vectores mediante el método del paralelogramo
3. Suma de vectores usando los componentes

Suma de vectores mediante la regla de la cabeza a la cola

La suma de vectores se puede realizar utilizando el famoso método de la cabeza a la cola. De acuerdo con esta regla, se pueden sumar dos vectores colocándolos juntos de modo que la cabeza del primer vector se una a la cola del segundo vector. El vector de suma resultante se puede obtener uniendo la cola del primer vector con la cabeza del segundo vector. Esto a veces también se conoce como el método triangular de suma de vectores.

La suma de vectores usando la regla de la cabeza a la cola se ilustra en la imagen a continuación. Los dos vectores P y Q se agregan usando el método de la cabeza a la cola, y podemos ver el triángulo formado por los dos vectores originales y el vector suma.

Primero, los dos vectores P y Q se colocan juntos de modo que la cabeza del vector P conecta la cola del vector Q. Luego, para encontrar la suma, un vector resultante R se dibuja de tal manera que conecta la cola de P a la cabeza de Q.

Matemáticamente, el vector suma o resultante, R, en la imagen de abajo se puede expresar como:

R  = P + Q

Suma de vectores mediante el método del paralelogramo

Para comprender la suma de vectores usando el método del paralelogramo, consideraremos y explicaremos la figura a continuación.

Primero, dibuja los vectores dados, A y B, para tener el mismo punto inicial que se muestra en la imagen de abajo. Luego, dibuja un paralelogramo usando las copias de los vectores dados.

Segundo, dibuja la copia del vector B llamado B ', y colóquelo paralelo al vector B para conectar a la cabeza del primer vector, A. Del mismo modo, dibuja una copia del vector A llamado A', y colóquelo paralelo a A para que su cola se conecte con la cabeza del vector B.

Finalmente, la resultante de los dos vectores, que es igual a la suma de vectores A y B, será la diagonal del paralelogramo. Se puede dibujar uniendo el punto inicial de los dos vectores. A y B a la cabeza de los vectores UNA' y B '.

En resumen, se requieren tres pasos para realizar la suma de vectores utilizando el método del paralelogramo:

Paso 1: coloque los dos vectores de modo que tengan un punto de partida común

Paso 2: Dibuja y completa el paralelogramo usando copias de los dos vectores originales

Paso 3: la diagonal del paralelogramo es igual a la suma de los dos vectores

Suma de vectores usando los componentes

Como sabemos, los vectores dados en coordenadas cartesianas se pueden descomponer en sus componentes horizontal y vertical. Por ejemplo, un vector P en un ángulo Φ, como se muestra en la imagen a continuación, se puede descomponer en sus componentes como:

Px, que representa el componente del vector P a lo largo del eje horizontal (eje x), y

Py, que representa el componente del vector P a lo largo del eje vertical (eje y).

Se puede ver que los tres vectores forman un triángulo rectángulo y que el vector P se puede expresar como:

P =  Px + Py

Matemáticamente, los componentes de un vector también se pueden calcular usando la magnitud y el ángulo del vector dado.

Px = P cos Φ

Py = P pecado Φ

Además, también podemos determinar el vector resultante si se dan sus componentes horizontal y vertical. Por ejemplo, si los valores de Px  y Py  se dan, entonces podemos calcular la magnitud y el ángulo del vector P de la siguiente manera:

| P | =  √ (Px) ^ 2 + (Py) ^ 2

Y el ángulo se puede encontrar como:

Φ = tan-1 (Py / Px)

Por tanto, en resumen, podemos determinar un vector resultante si se dan sus componentes. Alternativamente, si se da el vector en sí, podemos determinar los componentes usando las ecuaciones anteriores.

De manera similar, si los vectores se expresan en pares ordenados (vectores columna), podemos realizar la operación de suma en los vectores usando sus componentes. Por ejemplo, considere los dos vectores M y N dado como:

M = (m1, m2)

N = (n1, n2)

Realizar la suma de vectores en los dos vectores es equivalente a sumar los componentes xey respectivos de los dos vectores. Esto produce el vector resultante S:

S = M + N

S = (m1 + n1, m2 + n2).

Puede escribirse explícitamente como:

Sx = m1 + n1

Sy = m2 + n2.

La magnitud del vector resultante S se puede calcular como:

| S | =  √ (Sx) ^ 2 + (Sy) ^ 2

Y el ángulo se puede calcular como:

Φ = tan-1 (Sy / Sx).

Cómo sumar dos vectores

Esta sección discutirá ejemplos de adición de vectores y sus soluciones paso a paso para practicar el uso de los diferentes métodos discutidos anteriormente.

Ejemplos

ejemplo 1

Dado que los dos vectores, A y B, como se muestra en la imagen a continuación, determinan gráficamente su suma utilizando el método de la cabeza a la cola.

Solución

El primer paso del método de la cabeza a la cola es colocar los vectores dados A y B tal que la cola del vector B se conecta a la cabeza del vector A, como se muestra en la imagen de abajo. A continuación, para encontrar su suma, dibujamos un vector resultante R para que conecte la cola del vector A a la cabeza del vector B. Matemáticamente, la resultante se puede expresar como:

R = A + B

ejemplo 2

Dados los dos vectores, AB = (3, 2) y BC = (2, 2), determine su suma usando la regla de la cabeza a la cola.

Solución

AB + BC = (3, 2) + (2, 2)

AB + BC = (3 + 2, 2 + 2)

AB + BC = (5, 4).

O como se muestra en la imagen a continuación, el vector resultante se puede escribir como:

AC = (5, 4)

Nota: Para usar la regla del triángulo / regla de la cabeza a la cola, la letra intermedia de los dos vectores que se agregan debe ser la misma:

AC = AB + BC

En este ejemplo, la letra intermedia es B.

La magnitud del vector resultante AC se puede encontrar de la siguiente manera:

|AC| = √ (ACx) ^ 2 + (ACY) ^ 2

|AC| = √ (5) ^ 2 + (4) ^ 2

|AC| = √ 25 + 16

|AC| = 6.403 unidades (aproximadamente).

El ángulo del vector resultante AC se puede encontrar de la siguiente manera:

Φ = tan-1 (ACy / ACx)

Φ = tan-1 (4/5)

Φ = tan-1 (4/5)

Φ = 38.66 grados

ejemplo 3

Dados dos vectores, S = 10 m, Φ = 30 grados y T = 20 m, Φ = 60 grados, determine su suma. Luego, calcule la magnitud y el ángulo del vector resultante usando el método de componentes.

Solución

Sea R el vector resultante igual a la suma de los vectores dados, que se puede expresar como:

R = S + T

Para usar el método de componentes, primero miramos las partes componentes de los vectores dados. El componente horizontal de S es:

Sx = S Cos Φ

Sx = 10 Cos 30

Sx = 8.660 m (aproximadamente)

Del mismo modo, para el componente vertical:

Sy = S Sin Φ

Sy = 10 Sin 30

                                              Sy = 5 m

A continuación, calculamos los componentes del vector T:

Tx = T Cuerpo Φ

Ty = T Sin Φ

Dónde,

Tx = 20 Cos 60

Tx = 10m

Ty = 20 Sin 60

Ty = 17.320 (aproximadamente)

Ahora, podemos calcular el vector de suma sumando los componentes xey individuales de la S y T vector de la siguiente manera:

Rx = Sx + Tx

Rx = 8.660 + 10

Rx = 16.660 m

Ry = Sy + Ty

Ry = 5 + 17.32

Ry = 22.320 m

El vector resultante R se puede expresar en forma de columna como:

R = (16.66, 22.32).

Finalmente, la magnitud y el ángulo del vector resultante se pueden encontrar como:

| R | = √ (16.66) ^ 2 + (22.32) ^ 2

| R | = 23.292 m (aproximadamente)

Φ = tan-1 (Ry / Rx)

Φ = tan-1 (22.32/16.66)

Φ = 53.26 grados (aproximadamente)

Por tanto, el vector suma resultante es:

R = 23.292 m, Φ = 53.26 grados.

ejemplo 4

Un viajero camina P = 20 m recto al oeste y luego Q = 10 m en línea recta hacia el norte. Determine qué tan lejos está el viajero del punto de partida. Además, proporcione la magnitud y el ángulo del vector resultante.

Solución

Primero, representamos gráficamente los vectores de desplazamiento dados P y Q y luego dibujamos su vector resultante usando la regla de la cabeza a la cola, como se muestra en la imagen a continuación. Es obvio por la imagen que el viajero recorrió una distancia igual a la magnitud del vector R desde el punto de partida.

Ahora, para calcular matemáticamente el vector resultante, usamos las siguientes fórmulas:

R = P + Q

| R | = √ (20) ^ 2 + (10) ^ 2

| R | = 22.36 m (aproximadamente)

Y el ángulo se puede calcular como:

Φ = tan-1 (10/20)

Φ = 26.57 grados

Así, el viajero recorrió una distancia de 22.36 m desde el punto de partida en un ángulo de 26.57 grados hacia el noroeste.

ejemplo 5

Determine el vector suma resultante para los dos vectores A = (-5, -1) y B = (2, -1).

Solución

Los vectores dados ya están en su forma componente, por lo que primero determinamos sus ángulos.

Para el vector A:

Φ = tan-1 (Ay / Ax)

Φ = tan-1 (-1 / -5)

Φ = 11.31 grados.

Para el vector B:

Φ = tan-1 (Por / Bx)

Φ = tan-1 (-1/2)

Φ = -26.57 grados.

A continuación, encontramos el vector resultante sumando los componentes individuales:

S = A + B

Sx = Hacha + Bx

Sx = -5 + 2

Sx = -3

Sy = Ay + By

Sy = -1 -1

Sy = -2

El vector resultante S se puede expresar como el vector de columna:

S = (-3, -2).

Finalmente, la magnitud y el ángulo del vector resultante son:

| S | = √ (-3) ^ 2 + (-2) ^ 2

| S | = 3.605 unidades (aproximadamente)

Φ = tan-1 (Sy / Sx)

Φ = tan-1 (-2 / -3)

Φ = 33.69 grados

Por tanto, el vector suma resultante es:

S = 3.605 unidades, Φ = 33.69 grados.

ejemplo 6

Dados los dos vectores PQ  y QR, como se muestra en la imagen de abajo, calcule el valor de su suma, el vector PR.

Solución

A partir de la imagen dada, el vector resultante se puede dar como:

PQ + QR = (2, 3) + (2, -2)

PQ + QR = (4, 1).

También se puede escribir como:

PR = (4, 1)

La magnitud del vector resultante PR se puede encontrar usando las siguientes ecuaciones:

|PR| = √ (4) ^ 2 + (1) ^ 2

|PR| = √ 17

|PR| = 4.123 unidades (aproximadamente)

El ángulo del vector resultante PR se puede encontrar de la siguiente manera:

Φ = tan-1 (1/4)

Φ = 14.04 grados

Preguntas de práctica

1. Dados dos vectores, V = (2, 5) y C = (3, -2), determine su suma usando la regla de la cabeza a la cola. Además, determine la magnitud y el ángulo del vector resultante, R.
2. Dados los dos vectores G = (5, 5) y H = (4, -10), determina su suma usando la regla cabeza-yo-cola. Además, determine la magnitud y el ángulo del vector resultante, P.
3. Dados los vectores OA, dónde O = (-1, 3) y A = (5,2), y el vector UV, donde U = (1, -2) y V = (-2,2), determine el vector suma resultante S. Luego, encuentra su magnitud y ángulo.
4. Dado el cuadrilátero ABCD, determine lo siguiente:

• DC + CA =?
• BD + DC =?
• AD + DC =?

1. M = 10 m Este y N = 15 m norte. Determine la suma de los dos vectores, luego encuentre la magnitud y el ángulo del vector resultante.

respuestas

1. El vector resultante R is R = (5, 3), la magnitud de R es |R| = 5.830 unidades y el ángulo es Φ = 30.96 grados.
2. El vector resultante P is P = (9, 5), la magnitud de P es |P| = 10. 30 unidades y el ángulo es Φ = 29.05 grados.
3. Los vectores son OA = (6, -1) y UV = (-3, 4), el vector suma resultante S se da como S = (3, 3), magnitud de S es |S| = 4.242 unidades y el ángulo es Φ = 45 grados.
4. En el cuadrilátero dado, la suma se calcula como:

   DC + CA = DA

   BD + DC = BC

  AD + DC = AC

1. La resultante de los dos vectores es:

R = M + N

| R | = 18.027 m,

Y el ángulo se puede calcular como:

Φ = tan-1 (15/10)

Φ = 56.30 grados.

Por tanto, el vector resultante es R = 18.027 m, Φ = 56.30 grados noreste.