🥇 Sumar y restar matrices

Sumar y restar matrices

En esta lección, he preparado siete (7) ejemplos prácticos para ilustrar el enfoque básico sobre cómo sumar o restar matrices fácilmente.

Si sabe cómo sumar y restar números reales, este tema debería ser muy sencillo. Lo único que se requiere para realizar "legalmente" las operaciones de suma o resta en el "mundo" de las matrices es asegurarse de que las matrices dadas deben tener el mismo tamaño o dimensión.

¿Qué significa que una matriz dada tenga el mismo tamaño o dimensión?

Supongamos que se nos dan las matrices A y B. Tienen el mismo tamaño o dimensión porque su número de filas y columnas es el mismo.

Podemos describir el tamaño o dimensión de una matriz utilizando el siguiente formato estándar:

número de filas x número de columnas

Déjame mostrarte algunos ejemplos ...

La última matriz con una dimensión de 5 x 5 también se considera una “matriz cuadrada” porque el número de filas y el número de columnas son iguales. Es importante saber que para que una matriz dada tenga una inversa, debe ser una matriz cuadrada. No estoy diciendo que todas las matrices cuadradas tengan inversas, pero el primer requisito para que una matriz tenga una inversa es que primero debe ser una matriz cuadrada.

Consulte mi tutorial separado sobre cómo encontrar la inversa de una matriz de 2 × 2.

Debo enfatizar que para sumar o restar dos matrices dadas, deben tener el mismo tamaño o dimensión. De lo contrario, concluimos que la suma (suma) o diferencia (resta) de dos matrices que tienen diferentes tamaños o dimensiones no está definida.

Ahora echemos un vistazo a la regla general sobre cómo sumar y restar matrices cuyos tamaños o dimensiones son iguales.

Reglas para sumar y restar matrices con el mismo tamaño o dimensión

Supongamos que las matrices A y B tienen dos filas y dos columnas (2 × 2) con algunos elementos o entradas arbitrarios ...

Las "fórmulas" para sumar y restar matrices se muestran a continuación ...

Agregar matrices agregando sus entradas correspondientes

Restar matrices restando sus entradas correspondientes

Trabajemos en algunos problemas.

Ejemplos de cómo sumar y restar matrices

ejemplo 1: Realice la operación indicada para A + C.

Observe que las matrices A y C tienen el mismo "tamaño" o "dimensión" porque su número de filas y columnas es el mismo. Ambos pueden describirse como un Matriz 3 x 3. Esto me dice que está bien encontrar su suma.

Agregaré sus entradas correspondientes y simplificaré.

¡Así de simple es!

ejemplo 2: Realice la operación indicada para B + F.

Observe que la matriz B tiene una dimensión de 2 × 3 mientras que la matriz F tiene un dimensión de 2 × 2.

Dado que el número de filas y columnas no coincide, entonces la suma de las matrices B y F no existe o no está definida. Me detendré aquí. Esa es nuestra respuesta, lo crea o no.

ejemplo 3: Realice la operación indicada para EB.

Los dos últimos ejemplos le mostraron cómo sumar matrices. Esta vez, hablaremos de la resta de matrices. Recuerde que el proceso involucrado tanto en sumar como en restar matrices es extremadamente similar. Revise la "fórmula" anterior en caso de que se le haya olvidado.

En este ejemplo, necesitamos encontrar la diferencia entre la matriz E y la matriz B.

Sin embargo, parece que no es posible ya que tienen diferentes tamaños o dimensiones. La matriz E es 3 × 2, mientras que la matriz B es 2 × 3.

Como no puedo restar entradas, debido a que las entradas de las dos matrices no tienen correspondencia directa, debo afirmar que es Imposible para encontrar su diferencia. Por tanto, nuestra respuesta es indefinido.

Esta no es una pregunta capciosa. Los profesores a veces “agregan” esto a la mezcla para probar si usted comprende el concepto de que solo se pueden sumar o restar matrices con los mismos tamaños o dimensiones. No te sientas mal, yo mismo caí en esta “trampa”. Con suerte, ahora que lo sabe, tendrá cuidado la próxima vez que se encuentre con un problema como este.

ejemplo 4: Realice la operación indicada para FD.

Mediante una inspección rápida, puedo ver que es posible encontrar la diferencia entre las matrices F y D porque ambas tienen el mismo número de filas y columnas. ¡Estupendo!

Para empezar, restaré las entradas correspondientes de F y D. Mi única advertencia es tener mucho cuidado al restar números reales. Aquí es donde suelen producirse errores habituales. Recuerde que dos signos negativos adyacentes resultan positivos.

No está mal, ¿verdad?

ejemplo 5: Realice la operación indicada para CA.

Las dos matrices C y A dadas tienen los mismos tamaños o dimensiones (ambas matrices de 3 × 3). Esto nos permite poder realizar la operación de resta.

Restando en cuanto a la entrada, obtuve ...

ejemplo 6: Realice la operación indicada para (A + C) + (CA).

Este es un gran ejemplo de un problema de “múltiples pasos” que involucra la suma y resta de matrices. El objetivo es realizar la operación indicada en cada paréntesis y luego AGREGARlos.

Para omitir algunos pasos, revise cómo resolvimos (A + C) en el Ejemplo 1 y CA en el Ejemplo 5.

Tenemos estas respuestas parciales hasta ahora ...

Entonces, el paso final es sumarlos para obtener la respuesta requerida.

Como puede ver, la suma y resta de matrices es realmente fácil. Espero que haya ganado algo de confianza y conocimiento sobre cómo solucionar esto.

ejemplo 7: Realice la operación indicada para (A + C) + (CA).

Este es el mismo problema que en el Ejemplo 6. Pero quiero resolver esto de manera un poco diferente para demostrar el hecho de que hay otras formas de abordar un determinado problema. Aunque el método aplicado en el Ejemplo 6 es perfectamente aceptable, este enfoque "alternativo" tiene mucho más sentido porque es muy sencillo.

Aquí vamos…

Si considera la expresión (A + C) + (CA) como combinando términos semejantes o similares problema de tipo, entonces tiene sentido que podamos simplificar rápidamente el problema original sin siquiera ocuparnos de la suma y resta de matrices.

Observe que puedo combinar los términos C como 2C.

Ahora, los términos A deberían anularse porque tienen signos opuestos.

Nuestro problema original se reduce a 2C, que es dos o el doble de la matriz C.

Esto significa que voy a multiplicar cada entrada de la matriz C por 2. Este es en realidad el tema de mi otro tutorial de álgebra sobre la multiplicación escalar de matrices.

Como