Teorema de compresión: definición, demostración y ejemplos

Quien soy
Judit Llordes
@juditllordes
Autor y referencias
Teorema de compresión: definición, demostración y ejemplos

El teorema de compresión nos ayuda a evaluar funciones complicadas cuando no se aplican todas nuestras técnicas fundamentales. Las funciones oscilantes (que normalmente contienen expresiones trigonométricas), por ejemplo, necesitarán otro enfoque si queremos predecir su comportamiento final en diferentes puntos. Aquí es cuando el Teorema de contracción puede resultar más útil.

El teorema de compresión nos ayuda a encontrar el límite de funciones complicadas comprimiendo esta función entre dos funciones con formas más simples.


En este artículo, cubriremos ampliamente el Teorema de compresión y aprenderemos lo siguiente:


  • La derivación del teorema de la compresión.
  • Entender cuándo se aplica.
  • Aplicación del teorema de la compresión en diferentes ejemplos.

Este teorema es especialmente importante cuando trabajamos con funciones que resultan de multiplicar diferentes tipos de expresiones (como el producto de un polinomio y una expresión trigonométrica).

También aplicaremos el teorema de Squeeze en clases avanzadas de precálculo y cálculo, por lo que debemos comenzar temprano y dominar nuestro conocimiento sobre el teorema de Squeeze.

¿Por qué no empezamos por comprender el razonamiento detrás del nombre de este importante teorema?

¿Qué es el teorema de la compresión?

Entraremos en la definición más técnica de Squeeze Theorem en la siguiente sección, pero por ahora, intentemos entender el concepto detrás de su nombre.

El teorema de compresión (o también conocido como el teorema del sándwich) usa dos funciones para encontrar el límite de la función real en la que estamos trabajando.

Digamos que queremos encontrar el límite de $ f (x) $ cuando $ x $ se acerca a $ a $, pero las técnicas algebraicas que aprendimos en el pasado no son aplicables.


Lo que podemos hacer en su lugar es "apretar" $ f (x) $ entre otras dos funciones más simples, $ g (x) $ y $ h (x) $.


El gráfico, por ejemplo, nos muestra cómo $ f (x) = x ^ 2 sinleft (dfrac {1} {x} right) $ puede intercalarse entre dos funciones más simples como $ g (x) = x ^ 2 $ y $ h (x) = -x ^ 2 $.

¿Por qué las llamamos "funciones más simples"? Eso es porque encontrar los límites de $ g (x) $ y $ h (x) $ es mucho más fácil ya que podemos aplicar las técnicas que hemos aprendido en el pasado. En las siguientes secciones, aprenderemos sobre las condiciones importantes al elegir las mejores funciones para emparejar la función original.

Pero centrándonos en lo que sabemos hasta ahora, podemos ver que el Teorema de contracción en realidad hace honor a su nombre: estamos exprimiendo nuestra función original entre otras dos funciones.

Definición del teorema formal de la compresión

Hemos discutido la idea conceptual del Teorema de contracción, pero ¿cómo definimos matemáticamente el Teorema de contracción?

Dadas las tres funciones, $ f (x) $, $ g (x) $ y $ h (x) $ de modo que $ g (x) leq f (x) leq h (x) $,

y además, cuando $ lim_ {x flecha derecha a} g (x) = lim_ {x flecha derecha a} h (x) = L $,

también tenemos $ lim_ {x flecha derecha a} f (x) = L $.

Esto significa que cuando $ f (x) $ se intercala entre $ g (x) $ y $ h (x) $, y si el límite de $ g (x) $ y $ h (x) $ a medida que $ x $ se aproxima $ a $ son ambos iguales a un valor, $ L $, entonces el límite de $ f (x) $ cuando $ x $ se acerca a $ a $ también será igual a $ L $.


Digamos que tenemos $ -x ^ 2 leq f (x) leq x ^ 2 $ y $ lim_ {x rightarrow 0} -x ^ 2 = lim_ {x rightarrow 0} x ^ 2 = 0 $, podemos aplicar Squeeze Teorema para concluir que $ lim_ {x flecha derecha 0} f (x) = 0 $.

No te preocupes. También aprenderemos sobre esto en la sección posterior.

¿Cuándo utilizar el teorema de la compresión?

Tenga en cuenta que usamos el Teorema de compresión cuando parece imposible evaluar el límite de la función usando las técnicas algebraicas que hemos discutido en este artículo.


  • El teorema de compresión es más útil para encontrar el límite de funciones que oscilan (diferencia significativa en los valores de $ f (x) $ cuando $ x $ varía y se acerca al infinito).
  • Esto significa que el Teorema de compresión es útil cuando se trabaja con límites de funciones trigonométricas complejas.
  • El teorema de compresión también se puede utilizar cuando nos resulta fácil pensar en dos funciones en las que podemos intercalar la función.

Estas son solo algunas de las funciones que pueden requerir que apliquemos el Teorema de compresión para encontrar sus límites: $ lim_ {x flecha derecha 0} x ^ 2 sin left (dfrac {1} {x} right) $ y $ lim_ {x flecha derecha 0 } x ^ 2 cos izquierda (dfrac {1} {x} derecha) $.

¿Cómo utilizar el teorema de la compresión?

Cuando tenemos una función complicada, $ f (x) $, lo que podemos hacer es pensar inteligentemente en dos funciones, $ g (x) $ y $ h (x) $ que satisfagan las siguientes condiciones:


  • La función $ f (x) $ también debe estar entre las dos funciones, $ g (x) leq f (x) leq h (x) $.
  • Tanto $ lim_ {x rightarrow a} g (x) $ como $ lim_ {x rightarrow a} g (x) $ son fáciles de evaluar.
  • Confirme que $ lim_ {x flecha derecha a} g (x) $ = $ lim_ {x flecha derecha a} h (x) $.

Una vez que podamos confirmarlos, podemos igualar el límite de $ g (x) $ o $ h (x) $ a $ lim_ {x flecha derecha a} f (x) $. Ayuda si $ f (x) $ o partes de él se pueden unir entre los valores, por lo que encontrar $ g (x) $ y $ h (x) $ es mucho más fácil.

Aquí hay algunos pasos para recordar al evaluar límites usando el Teorema de contracción.

  1. Comience con una desigualdad inicial en la que pueda trabajar.
  2. Modifica esta desigualdad para que la expresión del medio represente la función que necesitamos.
  3. Evalúe los límites de los extremos derecho e izquierdo de las desigualdades.
  4. Si son iguales, aplique el teorema de la compresión.

Usemos la guía y el Teorema de compresión para evaluar $ lim_ {x rightarrow 0} x ^ 2 cos left (dfrac {1} {x} right) $.


  • Recuerde que el valor de $ cos left (dfrac {1} {x} right) $ varía entre $ -1 $ y $ 1 $, excepto cuando $ x = 0 $.
  • Límite $ cos left (dfrac {1} {x} right) $ entre estos dos valores.
  • Para que tengamos nuestra expresión original en el medio de la desigualdad, multipliquemos ambos lados de la desigualdad por $ x ^ 2 $.

$ begin {align} -1 & leq cosleft (dfrac {1} {x} right) leq 1 -1 cdot {color {azul} x ^ 2} & leq {color {blue} x ^ 2} cdot cosleft (dfrac {1 } {x} derecha) leq 1cdot {color {azul} x ^ 2} - x ^ 2 & leq x ^ 2 cosleft (dfrac {1} {x} derecha) leq x ^ 2 end {alineado} $

Ahora hemos intercalado nuestra función entre $ -x ^ 2 $ y $ x ^ 2 $. Sigamos adelante y evaluemos $ lim_ {x rightarrow 0} -x ^ 2 $ y $ lim_ {x rightarrow 0} x ^ 2 $.

Esta vez, será más fácil para nosotros evaluar sus límites ya que simplemente podemos sustituir $ x = 0 $ en cada una de las expresiones.

Dado que ambos límites son iguales a 0, por el teorema de compresión, podemos concluir que $ lim_ {x flecha derecha 0} x ^ 2 cos izquierda (dfrac {1} {x} derecha) = 0 $.

Este gráfico también confirma dos cosas:

  1. La función $ x ^ 2 cos left (dfrac {1} {x} right) $ está intercalada entre las gráficas de $ x ^ 2 $ y $ -x ^ 2 $
  2. Todos comparten el mismo valor cuando $ x $ se acerca a $ 0 $. Por lo tanto, $ lim_ {x rightarrow 0} -x ^ 2 = lim_ {x rightarrow 0} x ^ 2 = lim_ {x rightarrow 0} x ^ 2 cos left (dfrac {1} {x} right) = 0 $.

En este ejemplo, también podemos ver cómo las técnicas algebraicas en la evaluación de límites siguen siendo importantes incluso para los límites que requieren el Teorema de compresión. Asegúrese de revisar también todas estas técnicas.

Resumen de la definición y propiedades del teorema de compresión

Antes de concluir esta discusión, repasemos todo lo que hemos aprendido hasta ahora.

  • Podemos evaluar $ lim_ {x flecha derecha a} f (x) $ mediante el teorema de compresión solo cuando $ g (x) leq f (x) leq h (x) $ y $ lim_ {x flecha derecha a} g (x) = lim_ {x flecha derecha a} h (x) = L $.
  • Cuando esto sucede, $ lim_ {x flecha derecha a} f (x) = L $.
  • Es útil unir la expresión de $ f (x) $ o partes de $ f (x) $ por un rango o expresión razonable y luego manipular las expresiones para terminar con las expresiones acotadas que comparten el mismo límite.

Use la guía útil que hemos preparado en la sección anterior cuando evalúe los límites usando el Teorema de contracción.

Asegúrese de actualizar también su conocimiento al evaluar los límites, ya que necesitamos nuestro conocimiento previo para el tercer paso.

Eso es todo, pero si tiene curiosidad sobre cómo se derivó el teorema de Squeeze, aquí hay una prueba del teorema para que podamos entenderlo mejor.

Conocimientos adicionales: prueba del teorema de Squeeze

Podemos probar el teorema de la compresión utilizando la definición técnica de límites.

Nuestras suposiciones son $ lim_ {x flecha derecha a} g (x) = L $ y $ lim_ {x flecha derecha a} h (x) = L $ y que $ g (x) leq f (x) leq h (x) $ .

Sea $ epsilon> 0 $ y si queremos que $ lim_ {x flecha derecha a} g (x) $ también sea igual a $ L $, debería existir un $ delta_g $ que satisfaga la siguiente condición. Si $ 0 <| x - a | <delta_g $, $ | g (x) - L | <epsilon $ también debe ser cierto. Sacando la expresión absoluta, ahora tendremos $ -epsilon <g (x) - L <epsilon $.

De manera similar, para $ lim_ {x flecha derecha a} h (x) $, dado que esta expresión debe ser igual a $ L $, existe un $ delta_h $ de modo que cuando $ 0 <| x - a | <delta_h $, $ | h (x) - L | <épsilon $. Eliminando el valor absoluto de esta desigualdad, también tenemos $ -epsilon <h (x) - L <epsilon $.

Sea $ delta $ el menor entre los dos: $ delta_g $ y $ delta_h $. Se puede demostrar que cuando $ 0 <| x - a | <delta $, la desigualdad $ | f (x) - L | <epsilon $ también debe ser cierto.

Sabemos que $ -epsilon <g (x) - L <epsilon $ y dado que $ g (x) leq f (x) $, tenemos lo siguiente:

$ inicio {alineado} g (x) & leq f (x) g (x) -L & leq f (x) - L -epsilon <g (x) -L & leq f (x) - L final {alineado} $

Extendiendo este mismo proceso de pensamiento a $ h (x) $ y sabiendo que $ g (x) leq h (x) $, tenemos

$ comenzar {alineado} -epsilon & <g (x) -L leq f (x) - L -epsilon & <g (x) -L leq f (x) - L leq h (x) - L

Esto significa que $ f (x) - L $ está dentro del rango de $ -epsilon $ y $ epsilon $: $ -epsilon <f (x) - L <epsilon $. En consecuencia, $ | f (x) - L | <épsilon $ y así, hemos demostrado que $ lim_ {x flecha derecha a} f (x) = L $.

Esta prueba es importante cuando intentas probar los límites usando su definición formal. Por ahora, intentemos algunos problemas más, para que podamos practicar lo que acabamos de aprender y aplicar el teorema de Squeeze para evaluar diferentes funciones.

ejemplo 1

Evalúe $ lim_ {x rightarrow 0} 2 + 2x ^ 2 sin left (dfrac {1} {x} right) $ usando el Teorema de compresión.

Solución

Podemos comenzar con el hecho de que el valor de $ sin left (dfrac {1} {x} right) $ oscila entre $ -1 $ y $ 1 $.

$ -1leq sin izquierda (dfrac {1} {x} derecha) leq 1 $

De modo que terminamos con $ 2 + 2x ^ 2 sin a la izquierda (dfrac {1} {x} derecha) $ en el medio de la desigualdad, multiplicamos ambos lados por 2 y luego sumamos 2 en ambos lados.

$ begin {align} -1 & leq sin left (dfrac {1} {x} right) leq 1 -1 cdot {color {blue} 2x ^ 2} & leq {color {blue} 2x ^ 2} cdot sin left (dfrac { 1} {x} derecha) leq 1cdot {color {azul} 2x ^ 2} - 2x ^ 2 + {color {azul} 2} & leq {color {azul} 2} + 2x ^ 2sin izquierda (dfrac {1} { x} derecha) leq 2x ^ 2 + {color {azul} 2} - 2x ^ 2 +2 & leq2 + 2x ^ 2sin izquierda (dfrac {1} {x} derecha) leq 2x ^ 2 + 2end {alineado} $

Podemos ver que $ -2x ^ 2 +2 leq 2 + 2x ^ 2sin left (dfrac {1} {x} right) leq 2x ^ 2 + 2 $, por lo que podemos evaluar el límite de ambos lados de la desigualdad y comparar los resultados.

Podemos ver que ambos límites de la expresión son iguales. Si tenemos $ f (x) = 2 + 2x ^ 2 sin left (dfrac {1} {x} right) $, podemos usar $ g (x) = -2x ^ 2 + 2 $ y $ h (x) = 2x ^ 2 + 2 $ como funciones de delimitación.

Como, $ lim_ {x flecha derecha 0} g (x) = lim_ {x flecha derecha 0} h (x) = 2 $, y $ f (x) $ está intercalado entre los dos, por el teorema de compresión, tenemos $ lim_ { x flecha derecha 0} f (x) = 2 $.

Esto significa que $ lim_ {x rightarrow 0} 2 + 2x ^ 2 sin left (dfrac {1} {x} right) $ es igual a $ símbolo en negrita {2} $.

ejemplo 2

Evalúe $ lim_ {x rightarrow 0} x ^ 2 e ^ {sin frac {1} {x}} $ usando el Teorema de compresión.

Solución

Una vez más, podemos comenzar con el hecho de que el valor de $ sin left (dfrac {1} {x} right) $ oscila entre $ -1 $ y $ 1 $.

$ -1leq sin izquierda (dfrac {1} {x} derecha) leq 1 $

Entonces podemos elevar ambos lados de la desigualdad en $ e $.

$ {color {azul} e} ^ {- 1} leq {color {azul} e} ^ {sin frac {1} {x}} leq {color {azul} e} ^ 1 $

Multiplica ambos lados de la desigualdad por $ x ^ 2 $ después.

$ {color {azul} x ^ 2} e ^ {- 1} leq {color {azul} x ^ 2} e ^ {sin frac {1} {x}} leq {color {azul} x ^ 2} e ^ 1 $

Ahora tenemos nuestra expresión deseada para la expresión en medio de la desigualdad.

Ahora que hemos acotado nuestra función original con dos funciones, $ x ^ 2 e ^ {- 1} $ y $ x ^ 2 e ^ {1} $, podemos evaluar los límites de cada expresión a medida que $ x $ se acerca a $ 0 $ .

Dado que ambos límites son iguales, podemos usar su límite para encontrar $ lim_ {x flecha derecha 0} x ^ 2 e ^ {sin frac {1} {x}} $.

Recuerde que cuando una función se intercala entre dos funciones, si los límites de las dos funciones son iguales, entonces la función intercalada tendrá el mismo límite.

Por lo tanto, tenemos $ lim_ {x rightarrow 0} x ^ 2 e ^ {- 1} = lim_ {x rightarrow 0} x ^ 2 e ^ {1} = lim_ {x rightarrow 0} x ^ 2 e ^ {sin frac {1} {x}} = símbolo en negrita {0} $.

ejemplo 3

Evalúe $ lim_ {x flecha derecha infty} dfrac {2x (cos x + sin ^ 3x)} {(x ^ 4 + 1) (x - 6)} $ usando el Teorema de contracción.

Solución

Podemos comenzar con la desigualdad, $ -1 leq sin x leq 1 $ y luego modificar esto para terminar con $ dfrac {2x (cos x + sin ^ 3x)} {(x ^ 4 + 1) (x - 6) } $ en medio de la desigualdad.

Lo que podemos hacer es reducir al cubo ambos lados de la desigualdad.

$ -1 leq sen ^ 3 x leq 1 $

Tenga en cuenta que podemos sumar $ -1 leq cos x leq 1 $ a nuestra desigualdad. Por lo tanto, ahora tenemos la desigualdad que se muestra a continuación.

$-2 leq cos x + sin^3 x leq 2$

Estamos cerca de nuestra expresión ideal para la expresión en el centro de la desigualdad. Sigamos adelante y dividamos ambos extremos de la desigualdad por $ (x ^ 4 + 1) (x - 6) $.

$ inicio {alineado} -2 & leq cos x + sin ^ 3 x leq 2 dfrac {-2} {(x ^ 4 + 1) (x - 6)} & leq dfrac {cos x + sin ^ 3 x} {( x ^ 4 + 1) (x - 6)} leq dfrac {2} {(x ^ 4 + 1) (x - 6)} final {alineado} $

Ahora hemos manipulado con éxito la desigualdad para que tengamos $ dfrac {2x (cos x + sin ^ 3x)} {(x ^ 4 + 1) (x - 6)} $ acotado entre dos funciones: $ dfrac {-2} {(x ^ 4 + 1) (x - 6)} $ y $ dfrac {2} {(x ^ 4 + 1) (x - 6)} $.

Sigamos adelante y evaluemos los límites de estos dos extremos y veamos si son iguales. Al evaluar los límites de una función como $ x rightarrow infty $, intentemos usar $ lim_ {x rightarrow infty} dfrac {1} {x ^ n} = 0 $ siempre que sea posible.

Para aplicar esto en nuestra expresión, divida tanto el numerador como el denominador por $ x ^ 4 $.

$ begin {alineado} lim_ {x flecha derecha infty} dfrac {-2} {(x ^ 4 + 1) (x - 6)} & = lim_ {x flecha derecha infty} dfrac {dfrac {-2} {color {azul} x ^ 4}} {izquierda (dfrac {x ^ 4} {{color {azul} x ^ 4}} + dfrac {1} {{color {azul} x ^ 4}} derecha) izquierda (dfrac {x} { {color {azul} x ^ 4}} - dfrac {6} {{color {azul} x ^ 4}} derecha)} & = lim_ {x flecha derecha infty} dfrac {-dfrac {2} {x ^ 4} } {left (1+ dfrac {1} {x ^ 4} right) left (1- dfrac {6} {x ^ 4} right)} & = dfrac {lim_ {x rightarrow infty} -dfrac {2} { x ^ 4}} {lim_ {x rightarrow infty} izquierda (1+ dfrac {1} {x ^ 4} derecha) izquierda (1- dfrac {6} {x ^ 4} derecha)} & = dfrac {color { blue} 0} {(1+ {color {blue} 0}) (1- {color {blue} 0})} & = 0end {alineado} $

Podemos aplicar el mismo proceso para la expresión de la derecha, $ dfrac {2} {(x ^ 4 + 1) (x - 6)} $.

$ begin {align} lim_ {x rightarrow infty} dfrac {2} {(x ^ 4 + 1) (x - 6)} & = lim_ {x rightarrow infty} dfrac {dfrac {2} {color {blue} x ^ 4}} {izquierda (dfrac {x ^ 4} {{color {azul} x ^ 4}} + dfrac {1} {{color {azul} x ^ 4}} derecha) izquierda (dfrac {x} {{color {blue} x ^ 4}} - dfrac {6} {{color {blue} x ^ 4}} right)} & = lim_ {x rightarrow infty} dfrac {dfrac {2} {x ^ 4}} {left (1+ dfrac {1} {x ^ 4} derecha) izquierda (1- dfrac {6} {x ^ 4} derecha)} & = 0end {alineado} $

A partir de esto, podemos ver que $ dfrac {-2} {(x ^ 4 + 1) (x - 6)} = dfrac {2} {(x ^ 4 + 1) (x - 6)} = 0 $.

Dado que estas son las dos expresiones que limitan $ dfrac {2x (cos x + sin ^ 3x)} {(x ^ 4 + 1) (x - 6)} $ y los límites de los límites son iguales, podemos aplicar el Teorema de compresión .

Por tanto, tenemos $ lim_ {x rightarrow infty} dfrac {2x (cos x + sin ^ 3x)} {(x ^ 4 + 1) (x - 6)} $ es igual a $ boldsymbol {0} $.

Preguntas de práctica

1. Evalúe $ lim_ {x rightarrow 0} 3 - 3x ^ 2 cos left (dfrac {1} {x} right) $ usando el Teorema de contracción.
2. Evalúe $ lim_ {x rightarrow 0} 3 - 2x ^ 2 e ^ {cos frac {1} {x}} $ usando el Teorema de contracción.
3. Evalúe $ lim_ {x flecha derecha infty} dfrac {3x (sen x + cos ^ 3x)} {(x ^ 4 + 4) (x - 8)} $ usando el Teorema de contracción.
4. Si $ lim_ {x flecha derecha 0} x ^ 3 = 0 $ y $ lim_ {x flecha derecha 0} x ^ 7 = 0 $, use el Teorema de compresión para demostrar que $ lim_ {x flecha derecha 0} x ^ 5 = 0 PS

clave de respuestas

1. $3$

2. $3$

3. $0$

4.

$ comenzar {alineado} x ^ 3 leq x ^ 5 leq x ^ 7 lim_ {xrightarrow 0} x ^ 3 = lim_ {xrightarrow 0} x ^ 7 = 0 Rightarrow lim_ {xrightarrow 0} x ^ 5 = 0end {alineado PS

Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.



Añade un comentario de Teorema de compresión: definición, demostración y ejemplos
¡Comentario enviado con éxito! Lo revisaremos en las próximas horas.