En este artículo, aprenderemos sobre el teorema de la pierna hipotenusa (HL). Como, SAS, SSS, ASA y AAS, también es uno de los postulados de congruencia de un triángulo.
La diferencia es que los otros 4 postulados se aplican a todos los triángulos. Simultáneamente, el El teorema de hipotenusa de la pierna es cierto solo para los triángulos rectángulos porque, obviamente, la hipotenusa es uno de los catetos de un triángulo rectángulo.
¿Qué es el teorema de hipotenusa de la pierna?
El teorema del cateto de la hipotenusa es un criterio que se utiliza para demostrar si un conjunto dado de triángulos rectángulos es congruente.
El teorema del cateto de la hipotenusa (HL) establece que; un conjunto dado de triángulos es congruente si las longitudes correspondientes de su hipotenusa y un cateto son iguales.
A diferencia de otros postulados de congruencia como; SSS, SAS, ASA y AAS, se prueban tres cantidades, con el teorema del cateto de hipotenusa (HL), solo se consideran dos lados de un triángulo rectángulo.
ilustración:
Prueba del teorema de hipotenusa de la pierna
En el diagrama de arriba, los triángulos ABC y PQR son triángulos rectángulos con AB = RQ, AC = PQ.
Según el teorema de Pitágoras,
AC2 = AB2 + BC2 y PQ2 = RQ2 + RP2
Dado que AC = PQ, sustituya por obtener;
AB2 + BC2 = RQ2 + RP2
Pero, AB = RQ,
Por sustitución;
RQ2 + BC2 = RQ2 + RP2
Recopile términos similares para obtener;
BC2 = RP2
Por lo tanto, △ ABC ≅ △ PQR
ejemplo 1
Si PR ⊥ QS, demuestre que PQR y PRS son congruentes
Solución
Los triángulos PQR y PRS son triángulos rectángulos porque ambos tienen un ángulo de 90 grados en el punto R.
Dado;
- PQ = PS (hipotenusa)
- PR = PR (lado común)
- Por lo tanto, según el teorema de hipotenusa - pierna (HL), △ PQR ≅ △ PR.
ejemplo 2
Si FB = DB, BA = BC, FB ⊥ AE y DB ⊥ CE, demuestre que AE = CE.
Solución
Por la regla Hipotenuse Leg,
- BA = BC (hipotenusa)
- FB = DB (lado igual)
- Dado que, ∆ AFB≅ ∆ BDC, entonces ∠A = ∠ Por lo tanto, AE = CE
Por lo tanto probado.
ejemplo 3
Dado que ∆ABC es un triángulo isósceles y ∠ BAM = ∠MAD. Demuestre que M es el punto medio de BD.
Solución
Dado ∠ BAM = ∠MAD, entonces la línea AM es la bisectriz de ∠ BAD.
- AB = AD (hipotenusa)
- AM = AM (tramo común)
- ∠ CON = ∠AMD (right ángulo)
- Por tanto, BM = MD.
ejemplo 4
Compruebe si ∆XYZ y ∆STR son congruentes.
Solución
- Tanto ∆XYZ como ∆STR son triángulos rectángulos (presencia de un ángulo de 90 grados)
- XZ = TR (igual hipotenusa).
- XY = SR (pierna igual)
- Por lo tanto, por el teorema de Hipotenusa-Leg (HL), ∆XYZ ≅∆STR.
ejemplo 5
Dado: ∠A = ∠C = 90 grados, AB = BC. Muestre que △ ABD ≅ △ DBC.
Solución
Dado,
- AB = BC (pierna igual)
- ∠A = ∠C (ángulo recto)
- BD = DB (lado común, hipotenusa)
- Por, por el teorema de Hipotenusa-Leg (HL), △ ABD ≅ △ DBC
ejemplo 6
Suponga que ∠W = ∠ Z = 90 grados y M es el punto medio de WZ y XY. Muestre que los dos triángulos WMX y YMZ son congruentes.
Solución
- △ WMX y △ YMZ son triángulos rectángulos porque ambos tienen un ángulo de 900 (ángulos rectos)
- WM = MZ (pierna)
- XM = MY (hipotenusa)
- Por lo tanto, según el teorema de Hipotenusa-Leg (HL), △ WMX ≅ △ YMZ.
ejemplo 7
Calcula el valor de x en los siguientes triángulos congruentes.
Solución
Dados los dos triángulos son congruentes, entonces;
⇒ 2x + 2 = 5x - 19
⇒2x - 5x = -19-2
⇒ -3x = - 21
x = - 21 / -3
x = 7.
Por lo tanto, el valor de x = 7
Prueba:
⇒ 2x + 2 = 2 (7) + 2
⇒ 14 + 2 = 16
⇒ 5x -19 = 5 (7) - 19
⇒ 35 - 19 = 16
¡Sí, funcionó!
ejemplo 8
Si ∠ A = ∠ C = 90 grados y AB = BC. Encuentra el valor de xey que hará que los dos triángulos ABD y DBC sean congruentes.
Solución
Dado,
△ EE. UU. ≅ △ DBC
Calcule el valor de x
⇒ 6x - 7 = 4x + 2
⇒ 6x - 4x = 2 + 7
⇒ 2x = 9
⇒ x = 9/2
x = 4.5
Calcula el valor de y.
⇒ 4y + 25 = 7y - 5
⇒ 4y - 7y = - 5 - 25
⇒ -11y = -30
y = 30/11 =2.73
Por lo tanto, △ ABD ≅ △ DBC, cuando x = 4.5 e y = 2.72.
