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    Teorema de la suma del triángulo: explicación y ejemplos

    Quien soy
    Valery Aloyants
    @valeryaloyants

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    Teorema de la suma del triángulo: explicación y ejemplos

    Sabemos que diferentes triángulos tienen diferentes ángulos y longitudes de lados, pero una cosa es fija: que cada triángulo se compone de tres ángulos interiores y tres lados que pueden tener la misma longitud o longitudes diferentes.


    Por ejemplo, un triángulo rectángulo tiene un ángulo de exactamente 90 grados y dos ángulos agudos.

    Triángulos isósceles tienen dos ángulos iguales y dos lados iguales. Triángulos equiláteros tienen los mismos ángulos y las mismas longitudes de lado. Triángulos escalenos tienen diferentes ángulos y diferentes longitudes de lado.


    Aunque todos estos triángulos difieren en ángulos o longitudes de lado, todos siguen las mismas reglas y propiedades.

    En este art├şculo, aprender├í sobre:

    • El teorema de la suma del tri├íngulo,
    • ├üngulos interiores de un tri├íngulo, y
    • ┬┐C├│mo usar el teorema de la suma del tri├íngulo para encontrar los ├íngulos interiores de un tri├íngulo?

    ¿Cuál es el ángulo interior de un triángulo?

    En geometr├şa, los ├íngulos interiores de un tri├íngulo son los ├íngulos que se forman dentro de un tri├íngulo.

    Los ángulos interiores tienen las siguientes propiedades:

    • La suma de los ├íngulos interiores es 180 grados (Teorema de la suma de los ├íngulos del tri├íngulo).
    • Todos los ├íngulos interiores de un tri├íngulo son m├ís de 0 ┬░ pero menos de 180 ┬░.
    • Las bisectrices de los tres ├íngulos interiores se cruzan dentro de un tri├íngulo en un punto llamado centro, que es el centro del c├şrculo interior del tri├íngulo.
    • La suma de cada ├íngulo interior y exterior es igual a 180 ┬░ (l├şnea recta).

    ┬┐Qu├ę es el teorema de la suma de los ├íngulos del tri├íngulo?

    Una propiedad com├║n de los tri├íngulos es que los tres ├íngulos interiores suman 180 grados. Esto ahora nos lleva a un teorema importante en geometr├şa conocido como Teorema de la suma de los ├íngulos del tri├íngulo.



    Según el Teorema de la suma de los ángulos del triángulo, la suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es siempre 180 °.

    Podemos esto como:

    Ôłáa + Ôłáb + Ôłác = 180 ┬░

    ¿Cómo encontrar los ángulos interiores de un triángulo?

    Cuando se conocen dos ángulos interiores de un triángulo, es posible determinar el tercer ángulo usando el Teorema de la suma de los ángulos del triángulo. Para encontrar el tercer ángulo desconocido de un triángulo, reste la suma de los dos ángulos conocidos de 180 grados.

    Echemos un vistazo a algunos problemas de ejemplo:

    ejemplo 1

    El tri├íngulo ABC es tal que, ÔłáA = 38 ┬░ y ÔłáB = 134 ┬░. Calcule ÔłáC.

    Soluci├│n

    Según el Teorema de la suma de los ángulos del triángulo, tenemos;

    ÔłáA + ÔłáB + ÔłáC = 180 ┬░

    Ôçĺ 38 ┬░ + 134 ┬░ + ÔłáZ = 180 ┬░

    Ôçĺ 172 ┬░ + ÔłáC = 180 ┬░

    Restar ambos lados por 172 ┬░

    Ôçĺ 172 ┬░ - 172 ┬░ + ÔłáC = 180 ┬░ - 172 ┬░

    Por lo tanto, ÔłáC = 8 ┬░

    ejemplo 2

    Encuentra los ángulos faltantes x en el triángulo que se muestra a continuación.

    Soluci├│n

    Por el teorema de la suma de los ángulos del triángulo (suma de los ángulos interiores = 180 °)

    Ôçĺ x + x + 18 ┬░ = 180 ┬░


    Simplifique combinando t├ęrminos semejantes.

    Ôçĺ 2x + 18 ┬░ = 180 ┬░

    Restar ambos lados por 18 ┬░

    Ôçĺ 2x + 18 ┬░ - 18 ┬░ = 180 ┬░ - 18 ┬░

    Ôçĺ 2x = 162 ┬░

    Divide ambos lados entre 2

    Ôçĺ 2x / 2 = 162 ┬░ / 2

    x = 81 ┬░

    ejemplo 3


    Encuentra los ángulos que faltan dentro del triángulo de abajo.

    Soluci├│n

    Este es un triángulo rectángulo isósceles; por lo tanto, un ángulo es de 90 °

    Ôçĺ x + x + 90 ┬░ = 180 ┬░

    Ôçĺ 2x + 90 ┬░ = 180 ┬░

    Restar ambos lados por 90 ┬░

    Ôçĺ 2x + 90 ┬░ - 90 ┬░ = 180 ┬░ - 90 ┬░

    Ôçĺ 2x = 90 ┬░

    Ôçĺ 2x / 2 = 90 ┬░ / 2

    x = 45 ┬░

    ejemplo 4

    Encuentra los ángulos de un triángulo cuyo segundo ángulo excede al primer ángulo en 15 ° y el tercer ángulo es 66 ° más que el segundo ángulo.

    Soluci├│n

    Dejar;

    1er ángulo = x °

    2ND ángulo = (x + 15) °

    3er ángulo = (x + 15 + 66) °

    Según el teorema de la suma de los ángulos del triángulo,

    x ┬░ + (x + 15) ┬░ + (x + 15 + 66) ┬░ = 180 ┬░


    Recoge los t├ęrminos similares.

    Ôçĺ 3x + 81 ┬░ = 180 ┬░

    Ôçĺ 3x = 180 ┬░ - 81 ┬░

    Ôçĺ 3x = 99

    x = 33 ┬░

    Ahora sustituya x = 33 ┬░ en las tres ecuaciones.

    1er ángulo = x ° = 33 °

    2 ° ángulo = (x + 15) ° = 33 ° + 15 ° = 48 °

    3er ángulo = (x + 15 + 66) ° = 33 ° + 15 ° + 66 ° = 81 °

    Por lo tanto, los tres ángulos de un triángulo son 33 °, 48 ° y 81 °.

    ejemplo 5

    Encuentra los ángulos interiores que faltan del siguiente diagrama.

    Soluci├│n

    El ángulo y ° y (2x + 10) ° son ángulos suplementarios (la suma es 180 °)


    Por lo tanto,

    Ôçĺ y ┬░ + (2x + 10) ┬░ = 180┬░

    Ôçĺ y + 2x = 170 ┬░ ÔÇŽÔÇŽÔÇŽÔÇŽÔÇŽÔÇŽ (i)

    Además, según el Teorema de la suma de los ángulos del triángulo,

    Ôçĺ x + y + 65┬░ = 180┬░

    Ôçĺ x + y = 115 ┬░ ÔÇŽÔÇŽÔÇŽÔÇŽÔÇŽÔÇŽÔÇŽ (ii)

    Resuelve las dos ecuaciones simultáneas por sustitución

    Ôçĺ y = 170┬░ ÔÇô 2x

    Ôçĺ x + 170 ┬░ - 2x = 115 ┬░

    Ôçĺ -x = 115 ┬░ -170 ┬░

    x = 55 ┬░

    Objetivo, y = 170 ┬░ - 2x

    = 170 ┬░ - 2 (55) ┬░

    Ôçĺ 170 ┬░ - 110 ┬░

    y = 60┬░

    Por lo tanto, los ángulos que faltan son 60 ° y 55 °

    ejemplo 6

    Calcula el valor de x para un triángulo cuyos ángulos son; x °, (x + 20) ° y (2x + 40) °.

    Soluci├│n

    Suma de ángulos interiores = 180 °

    x ┬░ + (x + 20) ┬░ + (2x + 40) ┬░ = 180 ┬░

    Simplificar.

    x + x + 2x + 20 ┬░ + 40 ┬░ = 180 ┬░

    4x + 60 ┬░ = 180 ┬░

    Resta 60 de ambos lados.

    4x + 60 ┬░ - 60 ┬░ = 180 ┬░ - 60 ┬░

    4x = 120 ┬░

    Ahora divide ambos lados por 4.

    4x / 4 = 120 ┬░ / 4

    x = 30 ┬░

    Por lo tanto, los ángulos del triángulo son 30 °, 50 ° y 100 °.

    ejemplo 7

    Encuentra los ángulos que faltan en el siguiente diagrama.

    Soluci├│n

    El triángulo ADB y BDC son triángulos isósceles.

    DBC = DCB = 50 ┬░

    Ôłá MALO = Ôłá DBA = x ┬░

    Por lo tanto,

    50 ┬░ + 50 ┬░ + ÔłáBDC = 180 ┬░

    ÔłáBDC = 180 ┬░ - 100 ┬░

    ÔłáBDC = 80 ┬░

    Pero, z ┬░ + 80 ┬░ = 180 ┬░ (├íngulos en l├şnea recta)

    Por tanto, z = 100 ┬░

    En el triángulo ADB:

    z ┬░ + x + x = 180 ┬░

    100 ┬░ + 2x = 180 ┬░

    2x = 180 ┬░ - 100 ┬░

    2x = 80 ┬░

    x = 40 ┬░



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