Teorema de los factores: métodos y ejemplos

Un polinomio es una expresión algebraica con uno o más términos en los que un signo de suma o resta separa una constante y una variable.

La forma general de un polinomio es axn + bxn-1 + cxn-2 +…. + kx + l, donde cada variable tiene una constante que la acompaña como su coeficiente.

Ahora que comprende cómo usar el teorema del resto para encontrar el resto de polinomios sin división real, el siguiente teorema que debe observar en este artículo se llama Teorema del factor.

Estudiaremos cómo se relaciona el teorema del factor con el teorema del resto y cómo usar el teorema para factorizar y encontrar las raíces de una ecuación polinomial. Pero, antes de saltar a este tema, revisemos qué son los factores.

A el factor es un número o expresión que divide a otro número o expresión para obtener un número entero sin resto en matemáticas. En otras palabras, un factor divide otro número o expresión dejando cero como resto.

Por ejemplo, 5 es un factor de 30 porque cuando 30 se divide por 5, el cociente es 6, que es un número entero y el resto es cero. Considere otro caso en el que 30 se divide por 4 para obtener 7.5. En este caso, 4 no es un factor de 30 porque cuando 30 se divide entre 4, obtenemos un número que no es un número entero. 7.5 es lo mismo que decir 7 y un resto de 0.5.

name="-qu--es-un-teorema-de-factores-">¿Qué es un teorema de factores?

Considere un polinomio f (x) de grado n ≥ 1. Si el término 'a' es cualquier número real, entonces podemos afirmar que;

(x - a) es un factor de f (x), si f (a) = 0.

Prueba del teorema del factor

Dado que f (x) es un polinomio dividido por (x - c), si f (c) = 0 entonces,

⟹ f (x) = (x - c) q (x) + f (c)

⟹ f (x) = (x - c) q (x) + 0

⟹ f (x) = (x - c) q (x)

Por tanto, (x - c) es un factor del polinomio f (x).

Por lo tanto, el Teorema del factor es un caso especial del Teorema del resto, que establece que un polinomio f (x) tiene un factor x - a, si y solo si, a es una raíz, es decir, f (a) = 0.

name="-c-mo-utilizar-el-teorema-del-factor-">¿Cómo utilizar el teorema del factor?

Veamos algunos ejemplos a continuación para aprender a usar el teorema del factor.

ejemplo 1

Hallar las raíces del polinomio f (x) = x2 + 2x - 15

Solución

f (x) = 0

x2 + 2x - 15 = 0

(x + 5) (x - 3) = 0

(x + 5) = 0 o (x - 3) = 0

x = -5 o x = 3

Podemos comprobar si (x - 3) y (x + 5) son factores del polinomio x2 + 2x - 15, aplicando el Teorema del factor de la siguiente manera:

Si x = 3

Sustituye x = 3 en la ecuación polinomial /.

f (x) = x2 + 2x - 15

⟹ 32 + 2 (3) - 15

⟹ 9 + 6 - 15

⟹ 15 - 15

f (3) = 0

Y si x = -5

Sustituye los valores de x en la ecuación f (x) = x2 + 2x - 15

⟹ (-5) 2 + 2 (-5) - 15

⟹ 25 - 10 - 15

⟹ 25 - 25

f (-5) = 0

Dado que los residuos son cero en los dos casos, por lo tanto (x - 3) y (x + 5) son factores del polinomio x2 + 2x -15

ejemplo 2

Encuentra las raíces del polinomio 2x2 - 7x + 6 = 0.

Solución

Primero factoriza la ecuación.

2x2 - 7x + 6 = 0 ⟹ 2x2 - 4x - 3x + 6 = 0

⟹ 2x (x - 2) - 3 (x - 2) = 0

⟹ (x - 2) (2x - 3) = 0

⟹ x - 2 = 0 o 2x - 3 = 0

⟹ x = 2 o x = 3/2

Por tanto, las raíces son x = 2, 3/2.

ejemplo 3

Compruebe si x + 5 es un factor de 2x2 + 7x - 15.

Solución

x + 5 = 0

x = -5

Ahora sustituya x = -5 en la ecuación polinomial.

f (-5) = 2 (-5) 2 + 7 (-5) - 15

= 50 - 35 - 15

= 0

Por tanto, x + 5 es un factor de 2x2 + 7x - 15.

ejemplo 4

Determina si x + 1 es un factor del polinomio 3x4 + x3 - x2 + 3x + 2

Solución

Dado x + 1;

x + 1 = 0

x = -1

Sustituye x = -1 en la ecuación; 3x4 + x3 - x2 + 3x + 2.
⟹ 3 (–1) 4 + (–1) 3 - (–1) 2 +3 (–1) + 2
= 3 (1) + (-1) - 1-3 + 2 = 0
Por lo tanto, x + 1 es un factor de 3x4 + x3 - x2 + 3x + 2

ejemplo 5

Comprueba si 2x + 1 es un factor del polinomio 4x3 + 4x2 - x - 1

Solución

⟹ 2x + 1 = 0

∴ x = -1/2

Sustituye x = -1/2 en la ecuación 4x3 + 4x2 - x - 1.

⟹ 4 (-1/2) 3 + 4 (-1/2) 2 - (-1/2) - 1

= -1/2 + 1 + ½ - 1

= 0

Dado que, el resto = 0, entonces 2x + 1 es un factor de 4x3 + 4x2 - x - 1

ejemplo 6

Compruebe si x + 1 es un factor de x6 + 2x (x - 1) - 4

Solución

x + 1 = 0

x = -1

Ahora sustituya x = -1 en la ecuación polinomial x6 + 2x (x - 1) - 4
⟹ (–1) 6 + 2 (–1) (–2) –4 = 1
Por lo tanto, x + 1 no es un factor de x6 + 2x (x - 1) - 4

Preguntas de práctica

1. Utilice el teorema del factor para comprobar si (x – 4) es un factor de x 3 - 9 x 2 + 35 x - 60.
2. Encuentre los ceros del polinomio x2 - 8 x - 9.
3. Usa el teorema del factor para demostrar que x + 2 es un factor de x3 + 4x2 + x - 6.
4. ¿Es x + 4 un factor de 2x3 - 3x2 - 39x + 20.
5. Encuentra el valor de k dado que x + 2 es un factor de la ecuación 2x3 -5x2 + kx + k.