Teorema de Thales: explicación y ejemplos

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Teorema de Thales: explicación y ejemplos

Después de haber pasado por el teorema del ángulo inscrito, es hora de estudiar otro teorema relacionado, que es un caso especial de Teoría de los ángulos inscritosm, llamado Teorema de Thales. Al igual que el Teorema de los ángulos inscritos, su definición también se basa en el diámetro y los ángulos dentro de un círculo.

En este artículo, aprenderá:

  • El teorema de Tales,
  • Cómo resolver el teorema de Tales; y
  • Cómo resolver el teorema de Tales con un solo lado

 

¿Qué es el Teorema de Thales?

El teorema de Tales establece que:



Si tres puntos A, B y C se encuentran en la circunferencia de un círculo, por lo que la línea AC es el diámetro del círculo, entonces el ángulo ∠abecedario es un ángulo recto (90 °).

Alternativamente, podemos enunciar el teorema de Thales como:

El diámetro de un círculo siempre subtiende un ángulo recto con cualquier punto del círculo.

Notaste que el El teorema de Thales es un caso especial del teorema del ángulo inscrito (el ángulo central = el doble del ángulo inscrito).

El teorema de Tales se atribuye a Thales, un matemático griego y filósofo afincado en Mileto. Thales inició y formuló por primera vez el estudio teórico de la geometría para hacer de la astronomía una ciencia más exacta.

Existen múltiples formas de demostrar el teorema de Thales. Podemos usar técnicas de geometría y álgebra para probar este teorema. Dado que este es un tema de geometría, veamos el método más básico a continuación.


¿Cómo resolver el teorema de Thales?

  • Para demostrar el teorema de Tales, dibuja una bisectriz perpendicular de ∠
  • Sea el punto M el punto medio de la línea AC.
  • También sea ∠MBA = ∠BAM = β y ∠MBC = ∠BCM = α
  • Línea AM = MB = MC = el radio del círculo.
  • ΔAMB y ΔMCB son triángulos isósceles.

Por el teorema de la suma del triángulo,

∠BAC + ∠ACB + ∠CBA = 180 °

β + β + α + α = 180 °

Factoriza la ecuación.

2 β + 2 α = 180 °

2 (β + α) = 180 °

Divide ambos lados entre 2.

β + α = 90 °. 

Por lo tanto, ∠ABC = 90 °, por lo que se demostró

Resolvamos algunos problemas de ejemplo relacionados con el teorema de Thales.

ejemplo 1

Dado que el punto O es el centro del círculo que se muestra a continuación, encuentre el valor de x.


Solución


Dado que la recta XY es el diámetro del círculo, por el teorema de Thales

∠XYZ = 90 °.

Suma de los ángulos interiores de un triángulo = 180 °

90 ° + 50 ° + x = 180 °

Simplificar.

140 ° + x = 180 °

Resta 140 ° en ambos lados.

x = 180 ° - 140 °

x = 40 °.

Entonces, el valor de x es 40 grados.

ejemplo 2

Si el punto D es el centro del círculo que se muestra a continuación, calcule el diámetro del círculo.

Solución

Según el teorema de Thales, el triángulo ABC es un triángulo rectángulo donde ∠ACB = 90 °.

Para encontrar el diámetro del círculo, aplique el teorema de Pitágoras.

CB2 + AC2 = AB2

82 + 62 = AB2

64 + 36 = AB2

100 = AB2

AB = 10

Por lo tanto, el diámetro del círculo es de 10 cm.

ejemplo 3

Encuentre la medida del ángulo PQR en el círculo que se muestra a continuación. Suponga que el punto R es el centro del círculo.


Solución


El triángulo RQS y PQR son triángulos isósceles.

∠RQS = ∠RSQ = 64 °

Según el teorema de Thales, ∠PQS = 90 °

Entonces, ∠PQR = 90 ° - 64 °

= 26 °

Por tanto, la medida del ángulo PQR es 26 °.

ejemplo 4

¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera sobre la definición del teorema de Tales?

A. El ángulo central es el doble de la medida del ángulo inscrito

B. Un ángulo inscrito en un semicírculo será un ángulo recto.

C. El diámetro de un círculo es la cuerda más larga.

D. El diámetro de un círculo es el doble de la longitud del radio.

Solución

La respuesta correcta es:

B. Un ángulo inscrito en un semicírculo será un ángulo recto.

ejemplo 5

En el círculo que se muestra a continuación, la línea AB es el diámetro del círculo con el centro C.

  1. Encuentre la medida de ∠ BCE.
  2. ∠ DCA
  3. ∠ ACE
  4. ∠ DCB

Solución

Dado que el triángulo ACE es un triángulo isósceles,

∠ CEA = ∠ CAE = 33 °

Entonces, ∠ ACE = 180 ° - (33 ° + 33 °)

∠ ACE = 114 °

Pero ángulos en una recta = 180 °

Por lo tanto, ∠ BCE = 180 ° - 114 °

= 66 °

El triángulo ADC es un triángulo isósceles, por lo tanto, ∠ DAC = 20 °

Por el teorema de la suma de triángulos, ∠DCA = 180 ° - (20 ° + 20 °)

∠ DCA = 140 °

∠ DCB = 180 ° - 140 °

= 40 °

ejemplo 6

¿Cuál es la medida de ∠ABC?

Solución

El teorema de Thales establece que BAC = 90 °

Y por el teorema de la suma del triángulo,

∠ABC + 40 ° + 90 ° = 180 °

∠ABC = 180 ° - 130 °

= 50 °

ejemplo 7

Encuentra la longitud de AB en el círculo que se muestra a continuación.

Solución

El triángulo ABC es un triángulo rectángulo.

Aplica el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud AB.

AB2 + 122 = 182

AB2 + 144 = 324

AB2 = 324 - 144

AB2 = 180

AB = 13.4

Por tanto, la longitud de AB es 13.4 cm.

Aplicaciones del teorema de Thales

En geometría, ninguno de los temas está exento de uso en la vida real. Por tanto, el Teorema de Thales también tiene algunas aplicaciones:

  • Podemos dibujar con precisión una tangente a un círculo usando el Teorema de Thales. Puede utilizar una escuadra para este propósito.
  • Podemos encontrar con precisión el centro del círculo usando el Teorema de Thales. Las herramientas utilizadas para esta aplicación son un cuadrado y una hoja de papel. En primer lugar, debe colocar el ángulo en la circunferencia; las intersecciones de dos puntos con la circunferencia indican el diámetro. Puede repetir esto usando diferentes pares de puntos, lo que le dará otro diámetro. La intersección de diámetros le dará el centro del círculo.



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