Teorema del ángulo exterior: explicación y ejemplos

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Judit Llordes
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Teorema del ángulo exterior: explicación y ejemplos

Entonces, todos sabemos que un triángulo es una figura de 3 lados con tres ángulos interiores. Pero existen otros ángulos fuera del triángulo, que llamamos ángulos exteriores.


Sabemos que la suma de los tres ángulos interiores siempre es igual a 180 grados en un triángulo.

Del mismo modo, esta propiedad tambi├ęn se aplica a los ├íngulos exteriores. Adem├ís, cada ├íngulo interior de un tri├íngulo tiene m├ís de cero grados pero menos de 180 grados. Lo mismo ocurre con los ├íngulos exteriores.


En este art├şculo, aprenderemos sobre:

  • Teorema del ├íngulo exterior del tri├íngulo,
  • ├íngulos exteriores de un tri├íngulo, y
  • c├│mo encontrar el ├íngulo exterior desconocido de un tri├íngulo.

¿Cuál es el ángulo exterior de un triángulo?

El ángulo exterior de un triángulo es el ángulo formado entre un lado de un triángulo y la extensión de su lado adyacente.

En la ilustración anterior, los ángulos interiores del triángulo ABC son a, b, c, y los ángulos exteriores son d, e y f. Los ángulos interiores y exteriores adyacentes son ángulos suplementarios.

En otras palabras, la suma de cada ├íngulo interior y su ├íngulo exterior adyacente es igual a 180 grados (l├şnea recta).


Teorema del ángulo exterior del triángulo

El teorema del ángulo exterior establece que la medida de cada ángulo exterior de un triángulo es igual a la suma de los ángulos interiores opuestos y no adyacentes.

Recuerde que los dos ángulos interiores no adyacentes opuestos al ángulo exterior a veces se denominan ángulos interiores remotos.

Por ejemplo, en el triángulo ABC anterior;

Ôçĺ d = b + a


Ôçĺ e = a + c

Ôçĺ f = b + c

Propiedades de los ángulos exteriores

  • Un ├íngulo exterior de un tri├íngulo es igual a la suma de los dos ├íngulos interiores opuestos.
  • La suma del ├íngulo exterior y el ├íngulo interior es igual a 180 grados.

Ôçĺ c + d = 180 ┬░

Ôçĺ a + f = 180 ┬░

Ôçĺ b + e = 180 ┬░

  • Todos los ├íngulos exteriores de un tri├íngulo suman 360 ┬░.

Prueba: 

Ôçĺ d + e + f = b + a + a + c + b + c

Ôçĺ d + e + f = 2a + 2b + 2c

= 2 (a + b + c)

Pero, de acuerdo con el teorema de la suma de los ángulos del triángulo,

a + b + c = 180 grados

Por lo tanto, Ôçĺ d + e + f = 2 (180 ┬░)


= 360 ┬░

¿Cómo encontrar los ángulos exteriores de un triángulo?

Las reglas para encontrar los ├íngulos exteriores de un tri├íngulo son bastante similares a las reglas para encontrar los ├íngulos interiores. Es porque donde hay un ├íngulo exterior, hay un ├íngulo interior con ├ęl.y ambos suman 180 grados.

Echemos un vistazo a algunos problemas de ejemplo.

ejemplo 1

Dado que para un triángulo, los dos ángulos interiores 25 ° y (x + 15) ° no son adyacentes a un ángulo exterior (3x - 10) °, encuentre el valor de x.

Soluci├│n

Aplicar el teorema del ángulo exterior del triángulo:

Ôçĺ (3x - 10) = (25) + (x + 15)


Ôçĺ (3x - 10) = (25) + (x +15)

Ôçĺ 3x Ôłĺ10 = x + 40

Ôçĺ 3x - 10 = x + 40

Ôçĺ 3x = x + 50

Ôçĺ 3x = x + 50

Ôçĺ 2x = 50

x = 25

Por tanto, x = 25 ┬░

Sustituye el valor de x en las tres ecuaciones.

Ôçĺ (3x - 10) = 3 (25 ┬░) - 10 ┬░

= (75-10) ┬░ = 65 ┬░

Ôçĺ (x + 15) = (25 + 15) ┬░ = 40 ┬░

Por lo tanto, los ángulos son 25 °, 40 ° y 65 °.

ejemplo 2

Calcula los valores de xey en el siguiente triángulo.


Soluci├│n

De la figura se desprende claramente que y es un ángulo interior yx es un ángulo exterior.

Por el teorema del ángulo exterior del triángulo.

Ôçĺ x = 60 ┬░ + 80 ┬░

x = 140 ┬░

La suma del ángulo exterior y el ángulo interior es igual a 180 grados (propiedad de los ángulos exteriores). Entonces tenemos;

Ôçĺ y + x = 180┬░

Ôçĺ 140┬░ + y = 180┬░

reste 140 ┬░ de ambos lados.

Ôçĺ y = 180┬░ ÔÇô 140┬░

y = 40┬░

Por lo tanto, los valores de xey son 140 ┬░ y 40 ┬░, respectivamente.

ejemplo 3

El ángulo exterior de un triángulo es de 120 °. Encuentre el valor de x si los ángulos interiores no adyacentes opuestos son (4x + 40) ° y 60 °.

Soluci├│n

Ángulo exterior = suma de dos ángulos interiores opuestos no adyacentes.


Ôçĺ 120 ┬░ = 4x + 40 + 60

Simplificar.

Ôçĺ 120 ┬░ = 4x + 100 ┬░

Resta 120 ┬░ de ambos lados.

Ôçĺ 120 ┬░ - 100 ┬░ = 4x + 100 ┬░ - 100 ┬░

Ôçĺ 20 ┬░ = 4x

Divide ambos lados para obtener,

x = 5 ┬░

Por tanto, el valor de x es de 5 grados.

Verifique la respuesta por sustituci├│n.

120 ┬░ = 4x + 40 + 60

120 ┬░ = 4 ┬░ (5) + 40 ┬░ + 60 ┬░

120 ┬░ = 120 ┬░ (RHS = LHS)

ejemplo 4

Determine el valor de xey en la figura siguiente.

Soluci├│n

Suma de ángulos interiores = 180 grados

y + 41┬░ + 92┬░ = 180┬░

Simplificar.

y + 133┬░ = 180┬░

reste 133 ┬░ de ambos lados.

y = 180┬░ ÔÇô 133┬░

y = 47┬░

Aplicar el teorema del ángulo exterior del triángulo.

x = 41 ┬░ + 47 ┬░

x = 88 ┬░

Por tanto, el valor de xey es 88 ┬░ y 47 ┬░, respectivamente.



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