Teorema del binomio: explicación y ejemplos

Un polinomio es una expresión algebraica formada por dos o más términos restados, sumados o multiplicados. Un polinomio puede contener coeficientes, variables, exponentes, constantes y operadores como suma y resta. Hay tres tipos de polinomios, a saber, monomio, binomio y trinomio.

Un monomio es una expresión algebraica con un solo término, mientras que un trinomio es una expresión que contiene exactamente tres términos.

name="-qu--es-una-expresi-n-binomial-">¿Qué es una expresión binomial?

En álgebra, una expresión binomial contiene dos términos unidos por un signo de suma o resta. Por ejemplo, (x + y) y (2 - x) son ejemplos de expresiones binomiales.

A veces, es posible que necesitemos expandir expresiones binomiales como se muestra a continuación.

(a + b) 0 = 1

(a + b) 1 = a + b

(a + b) 2 = a2 + 2ab + b2

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4

(a + b)5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Se dio cuenta de que expandir una expresión binomial por multiplicación directa como se muestra arriba es bastante engorroso e inaplicable para exponentes más grandes.

En este artículo, aprenderemos cómo usar el teorema del binomio para expandir la expresión binomial sin tener que multiplicar todo por completo.

name="-qu--es-el-teorema-del-binomio-">¿Qué es el teorema del binomio?

Las huellas del teorema del binomio eran conocidas por los seres humanos desde el siglo IV a. C. El binomio de cubos se utilizó en el siglo VI d.C. Un matemático indio, Halayudha, explica este método utilizando el triángulo de Pascal en el siglo X d.C.

La declaración clara de este teorema se estableció en el siglo XII. Los matemáticos llevan estos hallazgos a las siguientes etapas hasta que Sir Isaac Newton generalizó el teorema del binomio para todos los exponentes en 12.

El teorema del binomio establece la expansión algebraica de exponentes de un binomio, lo que significa que es posible expandir un polinomio (a + b) n en términos múltiples.

Matemáticamente, este teorema se establece como:

(a + b) n = an + (n 1) an - 1b1 + (n 2) an - 2b2 + (n 3) an - 3b3 + ……… + bn

donde (n 1), (n 2),… ​​son los coeficientes binomiales.

Con base en las propiedades anteriores del teorema del binomio, podemos derivar la fórmula del binomio como:

(a + b) n = an + nan - 1b1 + [n (n - 1) / 2!] an - 2b2 + [n (n - 1) (n - 2) / 3!] an - 3b3 + …… … + Bn

Alternativamente, podemos expresar la fórmula binomial como:

(a + b) n = nC0 an + nC1 an - 1b + nC2 an - 2b2 + nC3 an - 3b3 + ………. + n C nbn

Donde (nr) = n Cr = n! / {r! (n - r)!} y (C) y (!) son las combinaciones y factorial respectivamente.

Por ejemplo:

• 3! = (3) (2) (1) = 6
• 5! = (5)(4)(3)(2)(1) =120
• 4! /2! = (4)(3)(2)(1)/(2)(1) =12
• 10C6 = 10! / (10 - 6)! 6! = 10! / 4! 6! = (1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10) / 1 x 2 x 3 x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 = 7 x 8 x 9 x 10 / 1 x 2 x 3 x 4 = 7 x 3 x 10 = 210

name="-c-mo-utilizar-el-teorema-del-binomio-">¿Cómo utilizar el teorema del binomio?

Hay algunas cosas que debe recordar al aplicar el teorema del binomio.

Estos son:

• Los exponentes del primer término (a) disminuyen de n a cero
• Los exponentes del segundo término (b) aumentan de cero an
• La suma de los exponentes de ayb es igual an.
• Los coeficientes del primer y último término son ambos 1.

Usemos el teorema del binomio en ciertas expresiones para entender prácticamente el teorema.

ejemplo 1

Expandir (a + b) 5

Solución

⟹ (a + b) 5 = an + (51) a5– 1b1 + (5 2) a5– 2b2 + (53) a5– 3b3 + (54) a5– 4b4 + b5

= a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

ejemplo 2

Expande (x + 2) 6 usando el teorema del binomio.

Solución

Dado a = x;

b = 2 y n = 6

Sustituye los valores en la fórmula binomial

(a + b) n = an + nan - 1b1 + [n (n - 1) / 2!] an - 2b2 + [n (n - 1) (n - 2) / 3!] an - 3b3 + …… … + Bn

⟹ (x + 2) 6 = x6 + 6x5 (2) 1 + [(6) (5) / 2!] (X4) (22) + [(6) (5) (4) / 3!] (X3 ) (23) + [(6) (5) (4) (3) / 4!] (X2) (24) + [(6) (5) (4) (3) (2) / 5!] ( x) (25) + (2) 6

= x6 + 12x5 + 60x4 + 160x3 + 240x2 + 192x + 64

ejemplo 3

Usa el teorema del binomio para expandir (2x + 3) 4

Solución

Al comparar con la fórmula binomial, obtenemos,

a = 2x, b = 3 y n = 4.

Sustituye los valores en la fórmula binomial.

⟹ (2x + 3) 4 = x4 + 4 (2x) 3 (3) + [(4) (3) / 2!] (2x) 2 (3) 2 + [(4) (3) (2) / 4!] (2x) (3) 3 + (3) 4

= 16 x 4 + 96 x 3 + 216 x 2 + 216 x + 81

ejemplo 4

Encuentre la expansión de (2x - y) 4

Solución

(2x − y)4 = (2x) + (−y)4 = (2x)4 + 4(2x)3 (−y) + 6(2x)2(−y)2 + 4(2x) (−y)3+ (−y)4

= 16x4 - 32x3y + 24x2y2 - 8xy3 + y4

ejemplo 5

Usa el teorema del binomio para expandir (2 + 3x) 3

Solución

Comparando con la fórmula Binomial,

a = 2; b = 3x y n = 3

⟹ (2 + 3x) 3 = 23 + (31) 22 (3x) 1 + (32) 2 (3x) 2 + (3x) 3

= 8 + 36x + 54x2 + 27x3

ejemplo 6

Expandir (x2 + 2) 6

Solución
(x2 +2)6 = 6C0 (x2)6(2)0 + 6C1(x2)5(2)1 + 6C2(x2)4(2)2 + 6C3 (x2)3(2)3 + 6C4 (x2)2(2)4 + 6C5 (x2)1(2)5 + 6C6 (x2)0(2)6

= (1) (x12) (1) + (6) (x10) (2) + (15) (x8) (4) + (20) (x6) (8) + (15) (x4) (16) + (6) (x2) (32) + (1) (1) (64)

= x12 + 12 x10 + 60 x8 + 160 x6 + 240 x4 + 192 x2 + 64

ejemplo 7

Expande la expresión (√2 + 1) 5 + (√2 - 1) 5 usando la fórmula binomial.

Solución

(x + y) 5 + (x - y) 5 = 2 [5C0 x5 + 5C2 x3 y2 + 5C4 xy4]

= 2 (x5 + 10 x3 y2 + 5xy4)

= (√2 + 1) 5 + (√2 - 1) 5 = 2 [(√2) 5 + 10 (√2) 3 (1) 2 + 5 (√2) (1) 4]

= 58√2