Teorema del resto

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Aina Prat
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Teorema del resto

Para encontrar la recordatorio de un polinomio dividido por algún factor lineal, usualmente usamos el método de Polinomio División Larga o División Sintética. Sin embargo, el concepto del teorema del resto nos proporciona una forma sencilla de calcular el resto sin entrar en problemas. ¿Por qué? Eche un vistazo al resumen a continuación.

Teorema del resto en pocas palabras

Cuando el polinomio Pleft (x derecha) se divide por algún factor lineal en la forma de x - c, entonces el resto es simplemente el valor de Pleft (x derecha) evaluado en c.



En símbolo,

Para mostrar cómo funciona esto, repasemos algunos ejemplos.


Ejemplos de uso del teorema del resto

ejemplo 1: Use la división larga polinomial para encontrar el resto del problema a continuación. Verifique usando el teorema del resto.

Divida la expresión superior por la expresión inferior. Si necesita un repaso sobre cómo dividir polinomios usando el método largo, consulte mi tutorial separado: División larga polinomial. El patrón es bastante simple.


Estos son los pasos clave:

  • Divida el primer término del dividendo por el primer término del divisor. Coloca el cociente parcial encima.
  • Luego, baja multiplicando ese cociente parcial que soportaste con los términos del divisor. Coloque el producto a continuación.
  • Realiza una resta. Asegúrese de cambiar (alternar) los signos de la fila inferior. Vea el cambio de letreros en rojo.
  • Trasladar el siguiente término "no utilizado" del dividendo.
  • Repite el proceso realizando la división cuando subes, la multiplicación cuando bajas, la resta y la transferencia de términos no utilizados hasta llegar al resto.

Encontrar el resto usando el método de división larga


La división larga de este problema se muestra a continuación. El resto es igual a 3.

Encontrar el resto usando el teorema del resto

Ahora, verifiquemos si el resto que encontramos usando el método de división larga es realmente correcto. Para hacer eso, necesitaremos sustituir el valor de "c" en el polinomio Pleft (x derecha) y simplificar. El valor de “c” se obtiene cuando el factor lineal se expresa en la forma x - c. Dado que el divisor es x + 2, tenemos x - izquierda ({- 2} derecha) por lo tanto c = -, 2.



Evaluando c = -, 2 en el polinomio Pleft (x derecha)…

Es genial ver que el resto obtenido usando el método de división larga resultó ser igual al resto encontrado usando el método del teorema del resto.

ejemplo 2: Utilice División sintética para encontrar el resto del problema a continuación. Verifique usando el teorema del resto.

Lo que queremos esta vez es mostrar que el resto encontrado usando división sintética coincide con el resto obtenido usando el teorema.

Estos son los pasos clave involucrados en la división sintética:

  • Eche un vistazo al polinomio que se divide (dividendo). Asegúrese de que esté escrito en forma estándar, lo que significa que los exponentes están en orden decreciente. Escriba solo los coeficientes y la constante del polinomio en la fila superior. No olvide incluir ceros para los términos faltantes del polinomio.
  • A continuación, eche un vistazo al divisor. Cambie el signo de la constante y colóquelo en el "cuadro" directamente a la izquierda de la lista de coeficientes encontrados en el paso anterior. Por ejemplo, si el divisor está a la izquierda ({x + 2} a la derecha), entonces escribe -, 2. Si el divisor está a la izquierda ({x - 5} derecha), entonces tienes + 5.
  • Ahora, podemos comenzar con el proceso real de división sintética. Baja el primer coeficiente por debajo de la línea horizontal. Multiplique eso por el número en el "cuadro". Justo encima de la línea horizontal, coloque el producto debajo del siguiente coeficiente de la lista.
  • Suma la columna de constantes y coloca la suma debajo de la línea horizontal.
  • Repita el proceso de multiplicar el número debajo de la horizontal con el número en el “cuadro” y sumar las columnas de constantes hasta que llegue a la última columna.
  • ¡El último número en la fila inferior (debajo de la línea horizontal) es el resto!

Los pasos pueden parecer "confusos", pero espere hasta que vea un ejemplo. ¡Debería estar de acuerdo en que es muy simple! Es hora de realizar la división sintética del ejemplo anterior.


La división sintética de este problema nos da un resto de -, 2.

Verificando nuestra respuesta usando el teorema del resto:

Como nuestro divisor está a la izquierda ({x - 3} derecha), tenemos x - izquierda ({+, 3} derecha) y por lo tanto c = +, 3.

Ahora evaluamos c = +, 3 en el polinomio dado para obtener el resto usando el teorema.

Nuevamente, los valores restantes de dos métodos diferentes son iguales.

ejemplo 3: Busque el resto del problema a continuación. Elija el método más conveniente.

Hay problemas en los que se le pedirá que busque el resto sin que se le indique específicamente qué método utilizar. Esta es una gran oportunidad para que use sus conocimientos previos y los aplique de manera apropiada.

Opción 1: Usar división larga polinomial

Espero que se dé cuenta rápidamente de lo tedioso que puede resultar este problema al utilizar el método de división larga porque el exponente del término principal es relativamente "grande". Puede resolver esto usando este método para practicar más.

Opción 2: Usar división sintética

Encuentro que la división sintética es apropiada en este problema. El gran valor del exponente en {7 {x ^ {12}}} no me molesta porque habrá muchos ceros ya que faltan muchos términos x. Estos ceros deberían hacer que la aritmética en la división sintética sea muy manejable.

De hecho, déjame mostrarte lo que quiero decir.

Entonces, el resto que usa la división sintética es igual a 10. No está mal.

Opción 3: Usar el teorema del resto

El mejor método para encontrar el resto de este problema es el teorema del resto. El número que se sustituirá en el polinomio es {- 1}. El valor de {- 1}, cuando se eleva a alguna potencia, simplemente alternará entre 1 positivo o 1 negativo.

Darse cuenta de

y

¡Esto simplifica enormemente el cálculo!

Dado que el divisor es x + 1, entonces tenemos x - left ({- 1} right) lo que nos da c = - 1 para ser sustituido en el polinomio dado.

Como puede ver, el resto que salió usando el teorema del resto es igual al resto encontrado por división sintética. ¡Es bueno ver la conexión!

ejemplo 4: Determine si x - 1 es un factor de

Para responder a esta pregunta, recuerde que cuando un número se divide por otro y el resto es cero, eso significa que el número que divide al otro es un factor de ese número. Este concepto también debería aplicarse aquí.

Para que x - 1 sea un factor implica que el resto de

es igual a cero.

En otras palabras, aplicando el teorema del resto debemos obtener Pleft (c derecha) = 0.

Debido a que el divisor es x - 1, tenemos x - left ({+ 1} right) lo que nos da el valor de "c" como c = + 1.

Evaluando c = + 1 en el polinomio dado…

Al obtener una respuesta de cero, esto muestra que x - 1 es de hecho un factor de

.



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