Teorema del resto: métodos y ejemplos
Un polinomio es una expresión algebraica con uno o más términos en los que un signo de suma o resta separa una constante y una variable.
El forma general de un polinomio es axn + bxn-1 + cxn-2 +…. + kx + l, donde cada variable tiene una constante que la acompaña como su coeficiente. Los diferentes tipos de polinomios incluyen; binomios, trinomios y cuadrinomios.
Ejemplos de polinomios son; 3x + 1, x2 + 5xy - ax - 2ay, 6x2 + 3x + 2x + 1 etc.
El procedimiento de dividir un polinomio por otro polinomio puede ser largo y engorroso. Por ejemplo, el método de división larga polinomial y la división sintética implican varios pasos en los que uno puede equivocarse fácilmente y, por lo tanto, terminar obteniendo una respuesta incorrecta.
Echemos un vistazo brevemente a un ejemplo del método de división larga polinomial y división sintética.
- Dividir 10x⁴ + 17x³ - 62x² + 30x - 3 entre (2x² + 7x - 1) usando el método de división larga de polinomios;
Solución
- Divida 2x3 + 5x2 + 9 entre x + 3 usando el método sintético.
Solución
Invierta el signo de la constante en el divisor x + 3 de 3 a -3 y bájelo.
_____________________
x + 3 | 2x3 + 5x2 + 0x + 9
-3 | 2 5 0 9
Reducir el coeficiente del primer término en dividendos. Este será nuestro primer cociente.
-3 | 2 5 0 9
________________________
2
Multiplica -3 por 2 y suma 5 al producto para obtener -1. Bajar -1;
-3 | 2 5 0 9
-6
________________________
2-1
Multiplique -3 por -1 y agregue 0 al resultado para obtener 3. Baje 3.
-3 | 2 5 0 9
-6 3
________________________
2-1 3
Multiplica -3 por 3 y suma -9 al resultado para obtener 0.
-3 | 2 5 0 9
-6 3-9
________________________
2 -1 3 0
Por lo tanto, (2x3 + 5x2 + 9) ÷ (x + 3) = 2x2– x + 3
Para evitar todas estas dificultades al dividir polinomios mediante el método de división larga o sintético, se aplica el teorema del resto.
El teorema del resto es útil porque nos ayuda a encontrar el resto sin la división de polinomios real.
Considere, por ejemplo, que un número 20 se divide entre 5; 20 ÷ 5 = 4. En este caso, no hay resto o el resto es cero, 2o es el dividendo cuando 5 y 4 son el divisor y el cociente, respectivamente. Esto se puede expresar como:
Dividendo = (Divisor × Cociente) + Resto
es decir, 20 = (5 x 4) + 0
Considere otro caso en el que un polinomio x2 + x - 1 se divide entre x + 1 para obtener 4x-3 como cociente y 2 como resto. Esto también se puede expresar como:
4x2 + x - 1 = (x + 1) * (4x-3) + 2
¿Qué es el teorema del resto?
Dados dos polinomios p (x) y g (x), donde p (x)> g (x) en términos de grado y g (x) ≠ 0, si p (x) se divide por g (x) para obtener q (x) como cociente y r (x) como resto, entonces podemos representar este enunciado como:
Dividendo = (Divisor × Cociente) + Resto
p (x) = g (x) * q (x) + r (x)
p (x) = (x - a) * q (x) + r (x),
Pero si r (x) = r
p (x) = (x - a) * q (x) + r
Entonces;
p (una) = (una - una) * q (una) + r
p (a) = (0) * q (a) + r
p (a) = r
Según el Teorema del resto, cuando un polinomio, f (x), se divide por un polinomio lineal, x - a, el resto del proceso de división es equivalente af (a).
¿Cómo utilizar el teorema del resto?
Veamos algunos ejemplos a continuación para aprender a usar el teorema del resto.
ejemplo 1
Encuentre el resto cuando el polinomio x3 - 2x2 + x + 1 se divide por x - 1.
Solución
p (x) = x3 - 2x2 + x + 1
Iguale el divisor a 0 para obtener;
x - 1 = 0
x = 1
Sustituye el valor de x en el polinomio.
⟹ p (1) = (1) 3 - 2 (1) 2 + 1 + 1
= 2
Por tanto, el resto es 2.
ejemplo 2
¿Cuál es el resto cuando 2x2 - 5x −1 se divide por x - 3?
Solución
Dado el divisor = x-3
∴ x - 3 = 0
x = 3
Sustituye el valor de x en el dividendo.
⟹ 2 (3) 2-5 (3) −1
= 2 x 9 - 5 x 3 - 1
= 18 - 15 - 1
= 2
ejemplo 3
Encuentre el resto cuando 2x2 - 5x - 1 se divide por x - 5.
Solución
x - 5 = 0
∴ x = 5
Sustituye el valor x = 5 en el dividendo.
⟹ 2 (5) 2-5 (5) - 1 = 2 x 25-5 x 5-1
= 50 - 25 −1
= 24
ejemplo 4
¿Qué es un residuo cuando (x3 - ax2 + 6x - a) se divide por (x - a)?
Solución
Dado el dividendo; p (x) = x3 - ax2 + 6x - a
Divisor = x - a
∴ x - a = a
x = a
Sustituye x = a en el dividendo
⟹ p (a) = (a) 3 - a (a) 2 + 6a - a
= a3 - a3 + 6a - a
= 5a
ejemplo 5
¿Cuál es el resto de (x4 + x3 - 2x2 + x + 1) ÷ (x - 1).
Solución
Dado el dividendo = p (x) = x4 + x3 - 2x2 + x + 1
Divisor = x - 1
∴ x - 1 = 0
x = 1.
Ahora sustituya x = 1 en el dividendo.
⟹ p (1) = (1) 4 + (1) 3 - 2 (1) 2 + 1 + 1 = 1 + 1-2 + 1 + 1 = 2.
Por tanto, 2 es el resto.
ejemplo 6
Encuentre el resto de (3x2 - 7x + 11) / (x - 2).
Solución
Dado el dividendo = p (x) = 3x2 - 7x + 11;
Divisor = x - 2
∴x - 2 = 0
x = 2
Sustituye x = 2 en el dividendo
p (x) = 3 (2) 2-7 (2) + 11
= 12 - 14 + 11
= 9
ejemplo 7
Averigüe si 3x3 + 7x es múltiplo de 7 + 3x
Solución
Tome p (x) = 3x3 + 7x como dividendo y 7 + 3x como divisor.
Ahora aplique el teorema del resto;
⟹ 7 + 3x = 0
x = -7/3
Sustituye x = -7/3 en el dividendo.
⟹ p (x) = 3x3 + 7x = 3 (-7/3) 3 + 7 (-7/3)
⟹-3(343/27) – 49/3
⟹ - (345-147) / 9
= -490/9
Dado que el resto - 490/9 ≠ 0, por lo tanto, 3x3 + 7x NO es un múltiplo de 7 + 3x
ejemplo 8
Utilice el teorema del resto para comprobar si 2x + 1 es un factor de 4x3 + 4x2 - x - 1
Solución
Sea el dividendo 4x3 + 4x2 - x - 1 y el divisor 2x + 1.
Ahora, aplique el teorema;
⟹ 2x + 1 = 0
∴ x = -1/2
Sustituye x = -1/2 en el dividendo.
= 4x3 + 4x2 - x - 1 ⟹ 4 (-1/2) 3 + 4 (-1/202 - (-1/2) - 1
= -1/2 + 1 + ½ - 1
= 0
Dado que, el resto = 0, entonces 2x + 1 es un factor de 4x3 + 4x2 - x - 1
Preguntas de práctica
- ¿Qué se debe sumar al polinomio x2 + 5 para que deje 3 como resto cuando se divide por x + 3?
- Encuentre el resto cuando el polinomio 4x3– 3x2 + 2x - 4 se divide por x + 1.
- Comprueba si x- 2 es un factor del polinomio x6 + 3x2 + 10.
- ¿Cuál es el valor de y cuando yx3 + 8x2 - 4x + 10 se divide por x +1, deja un resto de -3?
- Usa el teorema del resto para comprobar si x4 - 3x2 + 4x -12 es un múltiplo de x - 3.
