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    Transformaciones de funciones: explicación y ejemplos

    Quien soy
    Lluís Enric Mayans
    @lluísenricmayans

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    Transformaciones de funciones: explicación y ejemplos

    Al graficar funciones, se le pedirá que transformar y traducir funciones de varias maneras. ¿Alguna vez se preguntó cómo los gráficos pueden transformarse repentinamente en uno diferente para que represente una función diferente? Todo es gracias a las diversas formas de transformaciones que podemos realizar en el gráfico de una función.

    Las transformaciones de funciones son las diferentes formas en que podemos cambiar la forma de la gráfica de una función para que se convierta en una función diferente.



    Increíble, ¿verdad? Si desea ahorrar tiempo al graficar diferentes funciones, ¡ha llegado al artículo correcto! Aprenderemos sobre transformaciones realizadas en funciones y centrarse en las traducciones.

    Sin embargo, antes de comenzar, dado que estamos trabajando en transformaciones de gráficos, le recomendamos que revise sus recursos sobre las funciones principales. Consulte también nuestro artículo sobre funciones para padres si desea actualizar.

    ¿Qué son las transformaciones de funciones?

    Hemos aprendido sobre las funciones de los padres y cómo una familia de funciones comparte una forma similar. Podemos ampliar este conocimiento aprendiendo sobre las transformaciones de funciones.

    Las transformaciones de funciones son los procesos que se pueden realizar en un gráfico existente de una función para devolver un gráfico modificado. Normalmente nos referimos a las funciones padre para describir las transformaciones realizadas en un gráfico.


    Como se puede ver en el ejemplo, las transformaciones en una función pueden presentarse en diferentes formas y afectar los gráficos de diferentes maneras. Este artículo y los cuatro siguientes se centrarán en las diferentes transformaciones que podemos realizar en una función determinada.


    A continuación se muestra una lista de las transformaciones comunes realizadas en un gráfico:

    • Transformaciones (o traslaciones) horizontales y verticales
    • Estiramientos horizontales y verticales
    • Compresiones horizontales y verticales
    • Reflexiones y rotaciones

    Nuestro artículo se centrará en las transformaciones horizontales y verticales que podemos aplicar a una función.

    ¿Cómo hacer transformaciones de funciones?                  

    Podemos realizar transformaciones en función de la regla que se nos proporciona para la transformación. Algunas transformaciones requerirán que volteemos el gráfico sobre el eje y o lo reflejemos sobre el origen.

    Por ahora, nos centraremos en dos transformaciones: vertical y horizontal.

    Transformación o traslación horizontal en una función

    Cuando transformamos o traducimos un gráfico horizontalmente, o bien desplazar el gráfico a ciertas unidades a la derecha oa la izquierda. Esta será una transformación rígida, lo que significa que la forma del gráfico sigue siendo la misma.

    Intentemos traducir la función padre y = x3 tres unidades a la derecha y tres unidades a la izquierda.


    Cuando trasladamos una gráfica tres unidades a la derecha, restamos 3 de la variable de entrada, x. De manera similar, sumamos 3 ax cuando trasladamos tres unidades a la izquierda.


    La siguiente tabla generaliza las transformaciones horizontales para todos los tipos de función f (x).

    Transformación o traslación vertical en una función

    Ahora bien, ¿qué sucede si traducimos tres unidades hacia arriba o hacia abajo? A esto lo llamamos transformación vertical. Este tipo de transformación también conserva la forma del gráfico pero lo desplaza hacia arriba o hacia abajo.

    Vamos a ver qué sucede si desplazamos y = x2 dos unidades hacia arriba y hacia abajo.


    Cuando trasladamos una gráfica dos unidades hacia abajo, restamos 2 del valor de salida, y. De manera similar, sumamos 2 ay cuando lo trasladamos dos unidades hacia arriba.

    La siguiente tabla generaliza las transformaciones verticales para todos los tipos de función f (x).

    Ahora hemos aprendido las reglas generales para las transformaciones horizontales y verticales, entonces, ¿cómo las aplicamos cuando graficamos funciones?

    ¿Cómo graficar transformaciones?

    Cuando trabajamos con funciones resultantes de múltiples transformaciones, siempre volver a la función principal de la función. A continuación se muestran algunos consejos importantes para recordar al graficar transformaciones:

    • Identifique las transformaciones realizadas en la función principal.
    • Grafique la función principal como guía (esto es opcional).
    • Realice cada transformación en el gráfico hasta que completemos todas las transformaciones identificadas.

    ¿Por qué no comenzamos a graficar f (x) = (x + 1) 2 - 3 identificando primero sus transformaciones?


    Dado que la gráfica es una función cuadrática, comenzamos con la función padre y = x2.

    Los primeros términos, (x + 1) 2, muestran que la función y = x2 es traducido 1 unidad a la izquierda.

    El último término, -3, indica que la función resultante se traduce 3 unidades hacia abajo.

    Esto significa que el gráfico final de la función f (x) = (x + 1) 2-3 es como se muestra en el gráfico rojo. Como puede ver, con solo mover los gráficos vertical y horizontalmente, ya podemos modificarlos para representar una función diferente.

    Ahora probaremos diferentes preguntas que involucran traducciones horizontales y verticales en los ejemplos que se muestran a continuación.

    ejemplo 1

    ¿Qué sucede cuando f (x) = x3 se traslada 4 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia abajo?

    Solución

    Consulte las dos tablas que resumen las transformaciones verticales y horizontales como se muestra en las secciones anteriores.

    Si queremos trasladar la función cúbica, f (x) = x3, 4 unidades a la derecha, sumamos 4 al valor de entrada, x. Por tanto, tenemos (x + 4) 3.

    Como todavía necesitamos trasladar 2 unidades hacia abajo, restemos dos unidades de la función resultante. La resultante la función ahora se convierte en (x + 4) 3 - 2.

    ejemplo 2

    La tabla de valores para f (x) y g (x) se muestra a continuación.

    Utilice la información anterior y seleccione cuál de las siguientes opciones describe mejor g (x) en términos de f (x).

    • La función g (x) es el resultado cuando f (x) se traslada 3 unidades hacia arriba.
    • La función g (x) es el resultado cuando f (x) se traslada 3 unidades hacia abajo.
    • La función g (x) es el resultado cuando f (x) se traslada 3 unidades a la derecha.
    • La función g (x) es el resultado cuando f (x) se traslada 3 unidades a la izquierda.

    Solución

    Observe cómo para cada valor de salida, g (x) es siempre 3 unidades mayor que f (x). Esto significa que g (x) = f (x) + 3. Recuerde que para f (x) + k, trasladamos k unidades hacia arriba.

    Tenemos k = 3, por lo que podemos tener g (x) cuando trasladar f (x) 3 unidades hacia arriba.

    ejemplo 3

    Las gráficas de y = √x, g (x) y h (x) se muestran a continuación.

    Describe las transformaciones realizadas en cada función y encuentra también sus expresiones algebraicas.

    Solución

    Encuentre las transformaciones horizontales y verticales realizadas en las dos funciones usando su función principal compartida, y = √x.

    En la gráfica, podemos ver que g (x) es equivalente a y = √x pero trasladado 3 unidades hacia la derecha y 2 unidades hacia arriba. A partir de esto, podemos construir la expresión para h (x):

    • La función y = √x se traslada 3 unidades a la izquierda, por lo que tenemos h (x) = √ (x + 3).
    • Dado que también necesitamos trasladar la función resultante 2 unidades hacia arriba, tenemos h (x) = √ (x + 3) + 2.

    Podemos aplicar el mismo proceso para g (x). La gráfica g (x) es equivalente a y = √x se traslada una unidad a la derecha y 3 unidades hacia abajo. A partir de esto, podemos encontrar la expresión para g (x):

    • La función y = √x se traslada 1 unidad a la izquierda, por lo que tenemos g (x) = √ (x + 1).
    • Dado que también necesitamos trasladar la función resultante 3 unidades hacia abajo, tenemos g (x) = √ (x + 1) - 3.

    ejemplo 4

    La función g (x) se puede lograr trasladando y = 3x por 3 unidades hacia la izquierda y 2 unidades hacia arriba. Encuentre la expresión para g (x) y grafique la función resultante.

    Solución

    Cuando trasladamos y = 3x por tres unidades a la izquierda, restamos 3 del valor de entrada o x. Por tanto, tenemos y = 3 (x - 3). Todavía necesitamos trasladarlo 2 unidades hacia arriba, por lo tanto, tenemos g (x) = 3 (x - 3) + 2.

    Sabemos cómo se ve la función padre y = 3x. Usemos su gráfico y traslademos el gráfico vertical y horizontalmente.

    Por lo tanto, tenemos el gráfico final que se muestra a continuación.

    ejemplo 5

    Describe las traslaciones aplicadas en y = x3 para lograr la función h (x) = (x - 1) 3 - 1. Usa las transformaciones para graficar h (x) también.

    Solución

    Analicemos h (x) primero: h (x) = (x - 1)3 - 1. Por lo tanto, necesitamos traducir x3 una unidad hacia la derecha y una unidad hacia abajo. Sigamos adelante y grafiquemos x3 primero. Luego aplicamos las transformaciones.

    Sigamos adelante y eliminemos la función padre para mostrar h (x) por sí misma.

    Preguntas de práctica

    1. ¿Qué sucede cuando f (x) = x4 se traslada 3 unidades hacia la izquierda y 6 unidades hacia abajo?
    2. La tabla de valores para f (x) y g (x) se muestra a continuación.

    Utilice la información anterior y seleccione cuál de las siguientes opciones describe mejor g (x) en términos de f (x).

    • La función g (x) es el resultado cuando f (x) se traslada 4 unidades hacia arriba.
    • La función g (x) es el resultado cuando f (x) se traslada 4 unidades hacia abajo.
    • La función g (x) es el resultado cuando f (x) se traslada 4 unidades a la derecha.
    • La función g (x) es el resultado cuando f (x) se traslada 4 unidades a la izquierda.
    1. Las gráficas de y = √x, g (x) y h (x) se muestran a continuación.


      Describe las transformaciones realizadas en cada función y encuentra también sus expresiones algebraicas.

    2. La función h (x) se puede lograr trasladando y = x3 en 2 unidades hacia la izquierda y 4 unidades hacia arriba. Encuentre la expresión para h (x) y grafique la función resultante.

    3. Describe las traslaciones aplicadas en y = 1 / x para lograr la función h (x) = 1 / (x + 2) - 1. Usa las transformaciones para graficar h (x) también.

    Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.



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