Ahora que sabemos qué es un triángulo rectángulo y cuáles son los triángulos rectángulos especiales, es hora de discutirlos individualmente. Veamos que Triángulo de 45 ° -45 ° -90 ° .
¿Qué es un triángulo de 45 ° -45 ° -90 °?
Un triángulo de 45 ° -45 ° -90 ° es un triángulo rectángulo especial que tiene dos ángulos de 45 grados y un ángulo de 90 grados. Las longitudes de los lados de este triángulo están en la razón de;
Lado 1: Lado 2: Hipotenusa = n: n: n√2 = 1: 1: √2.
El 45 ° -45 ° -90 ° triángulo rectángulo es la mitad de un cuadrado. Esto se debe a que el cuadrado tiene cada ángulo igual a 90 °, y cuando se corta en diagonal, un ángulo permanece como 90 ° y los otros dos ángulos de 90 ° se bisecan (cortan por la mitad) y se vuelven 45 ° cada uno.
La diagonal de un cuadrado se convierte en hipotenusa de un triángulo rectángulo, y los otros dos lados de un cuadrado se convierten en los dos lados (base y opuesto) de un triángulo rectángulo.
El triángulo rectángulo de 45 ° -45 ° -90 ° a veces se denomina triángulo rectángulo isósceles porque tiene dos lados iguales y dos ángulos iguales.
Podemos calcular la hipotenusa del triángulo rectángulo 45 ° -45 ° -90 ° de la siguiente manera:
Sea x el lado 1 y el lado 2 del triángulo rectángulo isósceles.
Aplicar el Teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2, donde a y b son los lados 1 y 2 yc es la hipotenusa.
x2 + x2 = 2x2
Encuentra la raíz cuadrada de cada término en la ecuación
√x2 + √x2 = √ (2x2)
x + x = x √2
Por tanto, la hipotenusa de un 45 °; 45 °; El triángulo de 90 ° es x √2
¿Cómo resolver un triángulo de 45 ° -45 ° -90 °?
Dada la longitud de un lado de un triángulo de 45 ° -45 ° -90 °, puede calcular fácilmente las longitudes de los otros lados que faltan sin recurrir al Teorema de Pitágoras o las funciones de los métodos trigonométricos.
Los cálculos de un triángulo rectángulo de 45 ° -45 ° -90 ° se dividen en dos posibilidades:
- Caso 1
Para calcular la longitud de la hipotenusa cuando se le da la longitud de un lado, multiplica la longitud dada por √2.
- Caso 2
Cuando se le da la longitud de la hipotenusa de un triángulo de 45 ° -45 ° -90 °, puede calcular las longitudes de los lados simplemente dividiendo la hipotenusa por √2.
Nota: Solo los triángulos de 45 ° -45 ° -90 ° se pueden resolver usando el método de relación 1: 1: √2.
ejemplo 1
La hipotenusa de un 45 °; 45 °; El triángulo de 90 ° mide 6√2 mm. Calcula la longitud de su base y altura.
Solución
Relación de 45 °; 45 °; El triángulo de 90 ° es n: n: n√2. Entonces tenemos;
⇒ n√2 = 6√2 mm
Eleva ambos lados de la ecuación al cuadrado.
⇒ (n√2) 2 = (6√2) 2 mm
⇒ 2n2 = 36 * 2
⇒ 2n2 = 72
n2 = 36
Encuentra la raíz cuadrada.
n = 6 mm
Por lo tanto, la base y la altura del triángulo rectángulo son 6 mm cada una.
ejemplo 2
Calcula las longitudes de los lados del triángulo rectángulo, cuyo ángulo es de 45 ° y la hipotenusa es de 3√2 pulgadas.
Solución
Dado que un ángulo del triángulo rectángulo mide 45 grados, este debe ser un triángulo rectángulo de 45 ° -45 ° -90 °.
Por lo tanto, usamos las razones n: n: n√2.
Hipotenusa = 3√2 pulgadas = n√2;
Divide ambos lados de la ecuación por √2
n√2/√2 = 3√2/√2
n = 3
Por lo tanto, la longitud de cada lado del triángulo es de 3 pulgadas.
ejemplo 3
El lado más corto de un triángulo rectángulo isósceles mide 5√2 / 2 cm. ¿Cuál es la diagonal del triángulo?
Solución
Un triángulo rectángulo isósceles es lo mismo que un triángulo rectángulo de 45 ° -45 ° -90 °. Entonces, aplicamos la razón de n: n: n√2 para calcular la longitud de la hipotenusa.
Dado que n = 5√2 / 2 cm;
⇒ n√2 = (5√2 / 2) √2
⇒ (5/2) √ (2 x 2)
⇒ (5/2) √ (4)
⇒ (5/2) 2
= 5
Por tanto, los dos catetos del triángulo miden 5 cm cada uno.
ejemplo 4
La diagonal de un triángulo rectángulo de 45 ° -45 ° -90 ° es de 4 cm. ¿Cuál es la longitud de cada una de las piernas?
Solución
Divida la hipotenusa por √2.
⇒ 4 / √2
⇒ √4 / √2
⇒ 4√2 / 2
= 2√2 cm.
ejemplo 5
La diagonal de un cuadrado es de 16 pulgadas, calcula la longitud de los lados,
Solución
Divida la diagonal o hipotenusa por √2.
⇒ 16 / √2
⇒ 16√2 / √2 = 8√2
Por lo tanto, la longitud de las piernas es de 8√2 pulgadas cada una.
ejemplo 6
El ángulo de elevación de la parte superior de un edificio de pisos desde un punto en el suelo a 10 m de la base del edificio es de 45 grados. ¿Cuál es la altura del edificio?
Solución
Dado un ángulo de 45 grados, suponga un triángulo rectángulo de 45 ° - 45 ° -90 °.
Aplicar la relación n: n: n√2 donde n = 10 m.
⇒ n√2 = 10√2
Por tanto, la altura del edificio es 10√2 m.
ejemplo 7
Calcula la longitud de la hipotenusa de un cuadrado cuyo lado mide 12 cm.
Solución
Para obtener la longitud de la hipotenusa, multiplica la longitud del lado por √2.
⇒ 12 √2 = 10 √2
Por tanto, la diagonal es de 10 √2 cm.
ejemplo 8
Calcula las longitudes de los otros dos lados de un cuadrado cuya diagonal de 4√2 pulgadas.
Solución
La mitad de un cuadrado forma un triángulo rectángulo de 45 ° - 45 ° -90 °. Por lo tanto, usamos las razones n: n: n√2.
n√2 = 4√2 pulgadas.
divide ambos lados por √2
n = 4
Por lo tanto, las longitudes de los lados del cuadrado son 4 pulgadas cada una.
ejemplo 9
Calcula la diagonal de un jardín de flores cuadrado cuyo lado mide 30 m.
Solución
Aplicar la relación n: n: n√2, donde n = 30.
⇒ n√2 = 30 √2
Por lo tanto, la diagonal es igual a 30 √2 m
