Triángulos rectángulos especiales: explicación y ejemplos

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Triángulos rectángulos especiales: explicación y ejemplos

Ahora sabes un triángulo es un polígono bidimensional es Lados 3, 3 ángulos, y Vértices 3. En este artículo, vamos a aprender otros tipos de triángulos conocidos como triángulos rectángulos especiales. Antes de que podamos empezar, recordemos un triángulo rectángulo.

¿Qué es un triángulo rectángulo?

El término "derecho"Se refiere a la palabra latina"derecho”Que significa vertical. Por lo tanto, un triángulo rectángulo es un triángulo cuyo ángulo es de 90 grados (ángulo recto). Los triángulos rectángulos se indican con un cuadro en la ubicación del ángulo recto.



El lado más largo del triángulo rectángulo en el lado opuesto del ángulo recto se conoce como hipotenusa. Los otros dos lados del triángulo se conocen como catetos. El cateto horizontal es la base y el cateto vertical es la altura de un triángulo rectángulo.

ilustración:


¿Qué es un triángulo rectángulo especial?

Los triángulos rectángulos especiales son triángulos cuyos lados están en una proporción particular, conocidos como Triples pitagóricos. En geometría, el Teorema de pitágoras es un enunciado que muestra la relación de los lados de un triángulo rectángulo.

La ecuación de un triángulo rectángulo viene dada por a2 + b2 = c2, donde aob es la altura y la base del triángulo yc es la hipotenusa. Usando el Teorema de Pitágoras, encontrar el lado faltante de un triángulo es bastante simple y fácil.


Los dos triángulos rectángulos especiales incluyen:

  • 45 °; 45 °; Triángulo de 90 °
  • 30 °; 60 °; Triángulo de 90 °

Tengamos una breve descripción de estos triángulos rectángulos especiales como los veremos en detalle en los próximos artículos.

El 45 °; 45 °; Triángulo de 90 °

Esto es una triángulo rectángulo especial cuyos ángulos son 45 °, 45 ° y 90 °. La relación entre la base y la altura y la hipotenusa de este triángulo es 1: 1: √2.

Base: Altura: Hipotenusa = x: x: x√2 = 1: 1: √2.

En otras palabras, un 45 °; 45 °; El triángulo de 90 ° también puede ser isósceles. Un triángulo isósceles es un triángulo en el que dos las longitudes de sus dos lados son iguales y también los dos de sus ángulos son iguales.


Usando la ecuación de un triángulo rectángulo a2 + b2 = c2, podemos calcular la hipotenusa de, a 45 °; 45 °; Triángulo de 90 ° de la siguiente manera:

Dado que, un 45 °; 45 °; El triángulo de 90 ° también es un triángulo isósceles;


sea ​​a = b = x;

x2 + x2 = 2x2

Encuentra la raíz cuadrada de cada término en la ecuación

√x2 + √x2 = √ (2x2)

x + x = x √2

Por tanto, la hipotenusa de un 45 °; 45 °; El triángulo de 90 ° es x √2

El 30 °; 60 °; Triángulo de 90 °

Este es un tipo especial de triángulo rectángulo cuyos ángulos son 30 °; 60 °; 90 °. La razón de las longitudes de los lados es x: x√3: 2x.


¿Cómo resolver triángulos rectángulos especiales?

Resolver triángulos rectángulos especiales significa encontrar las longitudes que faltan de los lados. En lugar de usar el Teorema de Pitágoras, podemos usar las relaciones especiales de triángulos rectángulos para realizar cálculos.

Trabajemos con un par de ejemplos.

ejemplo 1

El lado más largo de 30 °; 60 °; El triángulo rectángulo de 90 ° viene dado por 8√3 cm. ¿Cuál es la medida de su altura e hipotenusa?

Solución

La mejor forma de resolver este tipo de problemas es dibujar los triángulos:


La relación de 30 °; 60 °; El triángulo rectángulo de 90 ° es x: x√3: 2x. En este caso, x y x√3 son los lados más cortos y más largos, respectivamente, mientras que 2x es la hipotenusa.

Por lo tanto, x√3 = 8√3 cm

Eleva ambos lados de la ecuación al cuadrado.

⇒ (x√3) 2 = (8√3) 2

⇒ 3x2 = 64 * 3

⇒ x 2 = 64

Calcula el cuadrado de ambos lados.

√x2 = √64

x = 8 cm

Sustituir.

2x = 2 * 8 = 16 cm.

Por lo tanto, el lado más corto mide 8 cm y la hipotenusa mide 16 cm.

ejemplo 2

La hipotenusa de un 45 °; 45 °; El triángulo de 90 ° mide 6√2 mm. Calcula la longitud de su base y altura.

Solución

Relación de 45 °; 45 °; El triángulo de 90 ° es x: x: x√2. Entonces tenemos;

⇒x√2 = 6√2 mm

Eleva ambos lados de la ecuación al cuadrado.

⇒ (x√2) 2 = (6√2) 2 mm

⇒ 2x2 = 36 * 2

⇒ 2x2 = 72

x2 = 36

Encuentra la raíz cuadrada.

x = 6 mm

Sustituye x = 6 mm en la relación.

Por lo tanto, la base y la altura del triángulo rectángulo son de 6 mm cada una.

ejemplo 3

Si la diagonal de un triángulo rectángulo es de 8 cm, encuentra los otros dos lados de las longitudes del triángulo dado que uno de sus ángulos es de 30 grados.

Solución

Este es un triángulo de 30 ° -60 ° -90 °. Por lo tanto, usamos la razón de x: x√3: 2x.

Dado, la diagonal = hipotenusa = 8 cm.

⇒2x = 8 cm

⇒ x = 4 cm

Sustituir.

x√3 = 4√3 cm

El lado más corto del triángulo rectángulo mide 4 cm y el lado más largo mide 4√3 cm.

ejemplo 4

Encuentra la hipotenusa de un triángulo de 30 ° - 60 ° - 90 ° cuyo lado más largo mide 6 pulgadas.

Solución

Relación = x: x√3: 2x.

⇒ x√3 = 6 pulgadas.

Cuadrar ambos lados

) (X√3) 2 = 36

⇒ 3x2 = 36

x2 = 12

x = 2√3 pulgadas.

ejemplo 5

Una escalera apoyada contra una pared forma un ángulo de 30 grados con el suelo. Si la longitud de la escalera es de 9 m, encuentre;

  1. La altura de la pared.
  2. Calcula la longitud entre el pie de la escalera y la pared.

Solución

Dado que un ángulo es de 30 grados, este debe ser un triángulo rectángulo de 60 ° - 60 ° - 90 °.

Relación = x: x√3: 2x.

⇒ 2x = 9

⇒ x = 9/2

= 4.5

Sustituir.

  1. La altura de la pared = 4.5 m
  2. x√3 = 4.5√3m

Preguntas de práctica

  1. Si la longitud de un lado de un triángulo equilátero es de 15 m, ¿cuál es la longitud de la altitud de ese triángulo?
  2. Si la longitud de la diagonal del cuadrado es de 10 unidades, ¿cuál es el área del cuadrado?
  3. Si la altura de un triángulo equilátero es de 22 cm, ¿cuál es la longitud de un lado de un triángulo equilátero?



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