Triángulos similares: explicación y ejemplos
Ahora que hemos terminado con los triángulos congruentes, podemos pasar a otro concepto llamado triángulos similares.
En este artículo, aprenderemos sobre triángulos similares, características de triángulos similares, cómo usar postulados y teoremas para identificar triángulos similares y, por último, cómo resolver problemas de triángulos similares.
¿Qué son los triángulos semejantes?
El concepto de triángulos semejantes y triángulos congruentes son dos términos diferentes que están estrechamente relacionados. Los triángulos similares son dos o más triángulos con la misma forma, par igual de ángulos correspondientes y la misma proporción de los lados correspondientes.
Ilustración de triángulos similares:
Considere los tres triángulos a continuación. Si:
- La razón de sus lados correspondientes es igual.
AB / PQ = AC / PR = BC = QR, AB / XY = AC / XZ = BC / YZ
- ∠ A = ∠ P = ∠X, ∠B = ∠Q = ∠Y, ∠C = ∠R = ∠Z
Por lo tanto, ΔABC ~ ΔPQR ~ ΔXYZ
Comparación entre triángulos semejantes y triángulos congruentes
¿Cómo identificar triángulos semejantes?
Podemos demostrar similitudes en triángulos aplicando teoremas de triángulos similares. Estos son los postulados o las reglas que se usan para verificar triángulos similares.
Existen tres reglas para verificar triángulos similares: AA regla, regla SAS o regla SSS.
Regla de ángulo-ángulo (AA):
Con la regla AA, se dice que dos triángulos son similares si dos ángulos en un triángulo en particular son iguales a dos ángulos de otro triángulo.
Regla de lado-ángulo-lado (SAS):
La regla SAS establece que dos triángulos son similares si la razón de sus dos lados correspondientes es igual y también, el ángulo formado por los dos lados es igual.
Regla de lado-lado-lado (SSS):
Dos triángulos son similares si los tres lados correspondientes de los triángulos dados están en la misma proporción.
¿Cómo resolver triángulos similares?
Existen dos tipos de problemas de triángulos similares; Estos son problemas que requieren que pruebes si un conjunto dado de triángulos es similar y aquellos que requieren que calcules los ángulos faltantes y las longitudes de los lados de triángulos similares.
Echemos un vistazo a los siguientes ejemplos:
ejemplo 1
Comprueba si los siguientes triángulos son similares
Solución
Suma de ángulos interiores en un triángulo = 180 °
Por lo tanto, considerando Δ PQR
∠P + ∠Q + ∠R = 180°
60° + 70° + ∠R = 180°
130° + ∠R = 180°
Resta 130 ° de ambos lados.
∠ R = 50 °
Considere Δ XYZ
∠X + ∠Y + ∠Z = 180 °
∠60° + ∠Y + ∠50°= 180°
∠ 110° + ∠Y = 180 °
Restar ambos lados por 110 °
∠ Y = 70°
Por eso;
- Según la regla de ángulo-ángulo (AA), ΔPQR ~ ΔXYZ.
- ∠Q = ∠ Y = 70 ° y ∠Z = ∠ R = 50 °
ejemplo 2
Encuentre el valor de x en los siguientes triángulos si, ΔWXY ~ ΔPOR.
Solución
Dado que los dos triángulos son similares, entonces;
WY / QR = WX / PR
30/15 = 36 / x
Cruzar multiplicar
30 veces = 15 * 36
Divide ambos lados entre 30.
x = (15 * 36)/30
x = 18
Por lo tanto, PR = 18
Comprobemos si las proporciones de los dos lados correspondientes de los triángulos son iguales.
WY / QR = WX / PR
30 / 15 = 36 / 18
2 = 2 (DERECHA = IZQUIERDA)
ejemplo 3
Compruebe si los dos triángulos que se muestran a continuación son similares y calcule el valor k.
Solución
Según la regla de lado-ángulo-lado (SAS), los dos triángulos son similares.
Prueba:
8/4 = 20/10 (LHS = RHS)
2 = 2
Ahora calcula el valor de k
12 / k = 8/4
12 / k = 2
Multiplica ambos lados por k.
12 = 2k
Divide ambos lados entre 2
12/2 = 2k / 2
k = 6.
ejemplo 4
Determina el valor de x en el siguiente diagrama.
Solución
Deje que el triángulo ABD y ECD sean triángulos semejantes.
Aplique la regla de lado-ángulo-lado (SAS), donde A = 90 grados.
AE / EC = B / XNUMX
x / 1.8 = (24 + 12) / 12
x/1.8 = 36/12
Cruzar multiplicar
12 veces = 36 * 1.8
Divide ambos lados entre 12.
x = (36 * 1.8)/12
= 5.4
Por tanto, el valor de x es 5.4 mm.
