Triples pitagóricos

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Alejandra Rangel
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Triples pitagóricos

A Triple pitagórica Es un conjunto de tres enteros positivos a saber, a, byc que representan los lados de un triángulo rectángulo de modo que se satisface la ecuación {a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2} que se basa en el Teorema de Pitágoras.

Podemos describir informalmente la ecuación de un triple pitagórico como:

{a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2} La suma de los cuadrados de los dos números enteros positivos más pequeños es igual al cuadrado del número entero positivo más grande.



La interpretación geométrica de un triple pitagórico se puede ilustrar mediante un triángulo rectángulo de lados a, by c.

  • Los lados ayb son los catetos de un triángulo rectángulo, mientras que c es la hipotenusa, el lado más largo de un triángulo rectángulo.
  • Además, el lado c (hipotenusa) está opuesto al ángulo de 90 grados del triángulo rectángulo. Los lados ayb pueden ser cualquiera de los dos lados de un triángulo rectángulo adyacentes al lado c.

Al juntarlo, tenemos el triángulo rectángulo ABC y la ecuación que debe satisfacer.

Desde la perspectiva de un triángulo rectángulo, un triple pitagórico se puede interpretar como la suma de los cuadrados de los lados más cortos (catetos) es igual al cuadrado del lado más largo (hipotenusa).



Un punto importante es que no existe una regla o acuerdo entre los matemáticos sobre cuál de las dos patas, aob, es más larga que la otra.

Los catetos de un triángulo rectángulo ayb pueden ser a> bo a <b, lo que implica que a es más largo que b, o que a es más corto que b, respectivamente.

Sin embargo, estemos de acuerdo SOLO en esta lección, el lado a es la pierna más corta, lo que obliga al lado b a ser más largo. Por lo tanto, a <b. Tiene sentido ya que a viene antes de b en el alfabeto. 


Nota: Dejo intencionalmente el caso donde los catetos del triángulo rectángulo son iguales porque no existe Triple Pitágoras cuando a = b.

Dos tipos o clases de triples pitagóricos

Triple pitagórico primitivo (conocido como "triples reducidos") es un conjunto de tres enteros positivos a, byc con un MCD de 1. Además, estos tres enteros deben satisfacer la ecuación {a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2}.



Ejemplos de triples pitagóricos primitivos

  • 3, 4 y 5 es un triple pitagórico primitivo porque su MCD es 1 y satisfacen la ecuación {a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2}.
{a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2} {3 ^ 2} + {4 ^ 2} = {5 ^ 2} {9} + {15} = {25} {25} = { 25}
  • 5, 12 y 13 también es un triple pitagórico primitivo ya que su divisor común más grande es 1, lo que significa que son primos relativos. Y también satisface la ecuación requerida.
{a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2} {5 ^ 2} + {12 ^ 2} = {13 ^ 2} {25} + {144} = {169} {169} = { 169}

Triple pitagórico no primitivo (conocido como triple pitagórico imprimitivo) es un triple pitagórico cuyos tres lados de un triángulo rectángulo, a saber: a, byc tienen un MCD mayor que 1. O bien, el triplete a, byc tienen un factor común distinto de 1.


Ejemplos de triples pitagóricos no primitivos

  • Examinemos el triple (6, 8, 10). Lo primero que observo es que el máximo común divisor es 2. Significa que los tres números tienen un factor común distinto de 1. Si este triplete de enteros satisface la ecuación {a ^ 2} + {b ^ 2} = { c ^ 2}, entonces debe ser un triple pitagórico que no sea primitivo.
{a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2} {6 ^ 2} + {8 ^ 2} = {10 ^ 2} {36} + {64} = {100} {100} = { 100}

¡Sí, lo comprueba! Por lo tanto, (6, 8, 10) es un triple pitagórico no primitivo.

  • ¿Qué tal el triple a la izquierda ({32,60,68} a la derecha)? Mediante una inspección rápida, todos los números son pares y, por lo tanto, son divisibles por 2. Dado que hay un divisor que no sea 1, este es un posible triple pitagórico no primitivo. Verifique los valores con la fórmula y, de hecho, funciona. Por lo tanto, left ({32,60,68} right) es un ejemplo de un triple pitagórico no primitivo.
{a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2} {32 ^ 2} + {60 ^ 2} = {68 ^ 2} {1,024} + {3,600} = {4,624} {4,624} = { 4,624}

¡Eso es! Recuerde, si un triplete de números satisface la ecuación {a ^ 2} + {b ^ 2} = {c ^ 2}, entonces debe ser un triple pitagórico primitivo o no primitivo.

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