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    Triples pitagóricos - Explicación y ejemplos

    Quien soy
    Valery Aloyants
    @valeryaloyants

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    Triples pitagóricos - Explicación y ejemplos

    ¬ŅQu√© es un triple pitag√≥rico?

    El triple de Pit√°goras (PT) se puede definir como un conjunto de tres n√ļmeros enteros positivos que satisfacen perfectamente el teorema de Pit√°goras: a2 + b2 = c2.



    Este conjunto de n√ļmeros suele ser la longitud de los tres lados de un tri√°ngulo rect√°ngulo. Las triples pitag√≥ricas se representan como: (a, b, c), donde, a = un cateto; b = otra pierna; yc = hipotenusa.

    Hay dos tipos de triples pitagóricos:

    • Triples pitag√≥ricas primitivos
    • Triples pitag√≥ricos no primitivos

    Triples pitagóricas primitivos

    Un triple pitag√≥rico primitivo es un conjunto reducido de los valores positivos de a, byc con un factor com√ļn distinto de 1. Este tipo de triple siempre est√° compuesto por un n√ļmero par y dos n√ļmeros impares.


    Por ejemplo:, (3, 4, 5) y (5, 12, 13) son ejemplos de triples pitag√≥ricas primitivos porque cada conjunto tiene un factor com√ļn de 1 y tambi√©n satisface el

    Teorema de Pit√°goras: a2 + b2 = c2.

    • (3, 4, 5) ‚Üí MCD = 1

    a2 + b2 = c2

    32 + 42 = 52

    9 + = 16 25

    25 = 25


    • (5, 12, 13) ‚Üí MCD = 1

    a2 + b2 = c2

    52 + 122 = 132

    25 + = 144 169

    169 = 169

    Triples pitagóricos no primitivos

    Un triple pitag√≥rico no primitivo, tambi√©n conocido como triple pitag√≥rico imperativo, es un conjunto de valores positivos de a, byc con un factor com√ļn mayor que 1. En otras palabras, los tres conjuntos de valores positivos en un triple pitag√≥rico no primitivo son todos n√ļmeros pares.

    Ejemplos de triples pitagóricos no primitivos incluyen: (6,8,10), (32,60,68), (16, 30, 34) etc.

    • (6,8,10) ‚Üí MCD de 6, 8 y 10 = 2.

    a2 + b2 = c2

    62 + 82 = 102

    36 + 64 = 100

    • = 100
    • (32,60,68) ‚Üí MCD de 32, 60 y 68 = 4

    a2 + b2 = c2

    322 + 602 = 682

    1,024 + = 3,600 4,624

    4,624 = 4,624

    Otros ejemplos de triples pitag√≥ricos de uso com√ļn incluyen: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), ( 12, 35, 37), (9, 40, 41), (28, 45, 53), (11, 60, 61), (16, 63, 65), (33, 56, 65), (48, 55, 73), etc.


    Propiedades de las triples pitagóricas

    A partir de la ilustración anterior de diferentes tipos de triples pitagóricos, hacemos lo siguiente conclusiones sobre las triples pitagóricas:

    • Un triple pitag√≥rico no puede estar compuesto solo de n√ļmeros impares.
    • De manera similar, un triple de un triple pitag√≥rico nunca puede contener un n√ļmero impar y dos n√ļmeros impares.
    • Si (a, b, c) es un triple pitag√≥rico, entonces a o b es el cateto corto o largo del tri√°ngulo, yc es la hipotenusa.

    Fórmula de triples pitagóricas

    La fórmula de triples pitagóricas puede generar tanto triples pitagóricos primitivos como triples pitagóricos no primitivos.


    La fórmula de las triples pitagóricas se da como:

    (a, b, c) = [(m2 - n2); (2mn); (m2 + n2)]

    Donde myn son dos n√ļmeros enteros positivos y m> n

    NOTA: Si se conoce un miembro del triple, podemos obtener los miembros restantes usando la fórmula: (a, b, c) = [(m2-1), (2m), (m2 + 1)].

    ejemplo 1

    ¬ŅCu√°l es el triple pitag√≥rico de dos n√ļmeros positivos, 1 y 2?

    Solución

    Dada la fórmula de las triples pitagóricas: (a, b, c) = (m2 - n2; 2mn; m2 + n2), donde; m> n.

    Entonces, sea m = 2 y n = 1.

    Sustituye los valores de myn en la fórmula.

    ‚áí a = 22 - 12 = 4 - 1 = 3

    a = 3

    ‚áí b = 2 √ó 2 √ó 1 = 4

    b = 4

    ‚áí c = 22 + 12 = 4 + 1 = 5

    c = 5

    Aplicar el teorema de Pit√°goras para verificar que (3,4,5, XNUMX, XNUMX) es de hecho un triple de Pit√°goras


    ‚áí a2 + b2 = c2

    ‚áí 32 + 42 = 52

    ‚áí 9 + 16 = 25

    ‚áí 25 = 25.

    ¡Sí, funcionó! Por lo tanto, (3,4,5, XNUMX, XNUMX) es un triple pitagórico.

    ejemplo 2

    Genera un triple pitagórico a partir de dos enteros 5 y 3.

    Solución


    Dado que m debe ser mayor que n (m> n), sea m = 5 y n = 2.

    a = m2 - n2

    = a = (5) 2 - (3) 2 = 25‚ąí9

    = 16

    ‚áí b = 2 millones = 2 x 5 x 3

    = 30

    ‚áí c = m2 + n2 = 32 + 52
    = 9 + 25
    = 34

    Por tanto, (a, b, c) = (16, 30, 34).

    Verifica la respuesta.

    ‚áí a2 + b2 = c2

    ‚áí 162 + 302 = 342

    ‚áí 256 + 900 = 1,156

    1,156 = 1,156 (verdadero)

    Por lo tanto, (16, 30, 34) es de hecho un triple pitagórico.

    ejemplo 3

    Comprueba si (17, 59, 65) es un triple pitagórico.

    Solución

    Sea, a = 17, b = 59, c = 65.

    Pruebe si, a2 + b2 = c2.

    a2 + b2 ‚áí 172 + 592

    ‚áí 289 + 3481 = 3770

    c2 = 652

    = 4225

    Desde 3770 ‚Ȇ 4225, entonces (17, 59, 65) no es un triple pitag√≥rico.

    ejemplo 4

    Encuentre el posible valor de 'a' en el siguiente triple pitagórico: (a, 35, 37).

    Solución

    Aplicar la ecuación de Pitágoras a2 + b2 = c2.

    a2 + 352 = 372.

    a2 = 372‚ąí352 = 144.

    ‚ąöa2 = ‚ąö144

    a = 12.

    ejemplo 5

    Encuentra el triple pitagórico de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es de 17 cm.

    Solución

    (a, b, c) = [(m2-1), (2m), (m2 + 1)]

    c = 17 = m2 + 1

    17 - 1 = m2

    m2 = 16

    m = 4.

    Por lo tanto,

    b = 2 m = 2 x 4

    = 8

    a = m2 - 1

    = 42 - 1

    = 15

    ejemplo 6

    El lado m√°s peque√Īo de un tri√°ngulo rect√°ngulo mide 20 mm. Encuentra el triple pitag√≥rico del tri√°ngulo.

    Solución

    (a, b, c) = [(2 m), (m2-1), (m2 + 1)]

    20 = a = 2 m

    2 m = 20

    m = 10

    Sustituye m = 10 en la ecuación.

    b = m2 - 1

    = 102 - 1 = 100 - 1

    b = 99

    c = m2 + 1

    = 102 + 1

    = 100 + 1 = 101

    PT = (20, 99, 101)

    ejemplo 7

    Genera un triple pitagórico a partir de dos enteros 3 y 10.

    Solución

    (a, b, c) = (m2 - n2; 2mn; m2 + n2).

    a = m2 - n2

    = 102 - 32 = 100 - 9

    = 91.

    b = 2 millones = 2 x 10 x 3

    = 60

    c = m2 + n2

    = 102 + 32 = 100 + 9

    = 109.

    PT = (91, 60,109)

    Verifica la respuesta.

    a2 + b2 = c2.

    912 + 602 = 1092.

    8,281 + 3,600 = 11,881

    11,881 = 11,881 (verdadero)

    ejemplo 8

    Compruebe si el conjunto (24, 7, 25) es un triple pitagórico.

    Solución

    Sea a = 24, b = 7 y c = 25.

    Por el teorema de Pit√°goras: a2 + b2 = c2

    72 + 242 = 625

    49 + 576 = 625 (verdadero)

    Por tanto, (24, 7, 25) es un triple pitagórico.

    ejemplo 9

    Encuentra el triplete pitagórico de un triángulo rectángulo cuyo lado mide 18 yardas.

    Solución

    Dada la fórmula: (a, b, c) = [(m2-1), (2m), (m2 + 1)].

    Sea aob = 18 yardas.

    2 m = 18

    m = 9.

    Sustituye m = 9 en la fórmula.

    c = m2 + 1

    = 92 + 1 = 81

    bo a = m2 -1 = 92 -1

    = 80

    Por tanto, los posibles trillizos son; (80, 18, 81) o (18, 80, 81).



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