Triples pitagóricos - Explicación y ejemplos

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Valery Aloyants
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Triples pitagóricos - Explicación y ejemplos

¬ŅQu√© es un triple pitag√≥rico?

El triple de Pit√°goras (PT) se puede definir como un conjunto de tres n√ļmeros enteros positivos que satisfacen perfectamente el teorema de Pit√°goras: a2 + b2 = c2.



Este conjunto de n√ļmeros suele ser la longitud de los tres lados de un tri√°ngulo rect√°ngulo. Las triples pitag√≥ricas se representan como: (a, b, c), donde, a = un cateto; b = otra pierna; yc = hipotenusa.

Hay dos tipos de triples pitagóricos:

  • Triples pitag√≥ricas primitivos
  • Triples pitag√≥ricos no primitivos

Triples pitagóricas primitivos

Un triple pitag√≥rico primitivo es un conjunto reducido de los valores positivos de a, byc con un factor com√ļn distinto de 1. Este tipo de triple siempre est√° compuesto por un n√ļmero par y dos n√ļmeros impares.


Por ejemplo:, (3, 4, 5) y (5, 12, 13) son ejemplos de triples pitag√≥ricas primitivos porque cada conjunto tiene un factor com√ļn de 1 y tambi√©n satisface el

Teorema de Pit√°goras: a2 + b2 = c2.

  • (3, 4, 5) ‚Üí MCD = 1

a2 + b2 = c2

32 + 42 = 52

9 + = 16 25

25 = 25


  • (5, 12, 13) ‚Üí MCD = 1

a2 + b2 = c2

52 + 122 = 132

25 + = 144 169

169 = 169

Triples pitagóricos no primitivos

Un triple pitag√≥rico no primitivo, tambi√©n conocido como triple pitag√≥rico imperativo, es un conjunto de valores positivos de a, byc con un factor com√ļn mayor que 1. En otras palabras, los tres conjuntos de valores positivos en un triple pitag√≥rico no primitivo son todos n√ļmeros pares.

Ejemplos de triples pitagóricos no primitivos incluyen: (6,8,10), (32,60,68), (16, 30, 34) etc.

  • (6,8,10) ‚Üí MCD de 6, 8 y 10 = 2.

a2 + b2 = c2

62 + 82 = 102

36 + 64 = 100

  • = 100
  • (32,60,68) ‚Üí MCD de 32, 60 y 68 = 4

a2 + b2 = c2

322 + 602 = 682

1,024 + = 3,600 4,624

4,624 = 4,624

Otros ejemplos de triples pitag√≥ricos de uso com√ļn incluyen: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17), (7, 24, 25), (20, 21, 29), ( 12, 35, 37), (9, 40, 41), (28, 45, 53), (11, 60, 61), (16, 63, 65), (33, 56, 65), (48, 55, 73), etc.


Propiedades de las triples pitagóricas

A partir de la ilustración anterior de diferentes tipos de triples pitagóricos, hacemos lo siguiente conclusiones sobre las triples pitagóricas:

  • Un triple pitag√≥rico no puede estar compuesto solo de n√ļmeros impares.
  • De manera similar, un triple de un triple pitag√≥rico nunca puede contener un n√ļmero impar y dos n√ļmeros impares.
  • Si (a, b, c) es un triple pitag√≥rico, entonces a o b es el cateto corto o largo del tri√°ngulo, yc es la hipotenusa.

Fórmula de triples pitagóricas

La fórmula de triples pitagóricas puede generar tanto triples pitagóricos primitivos como triples pitagóricos no primitivos.


La fórmula de las triples pitagóricas se da como:

(a, b, c) = [(m2 - n2); (2mn); (m2 + n2)]

Donde myn son dos n√ļmeros enteros positivos y m> n

NOTA: Si se conoce un miembro del triple, podemos obtener los miembros restantes usando la fórmula: (a, b, c) = [(m2-1), (2m), (m2 + 1)].

ejemplo 1

¬ŅCu√°l es el triple pitag√≥rico de dos n√ļmeros positivos, 1 y 2?

Solución

Dada la fórmula de las triples pitagóricas: (a, b, c) = (m2 - n2; 2mn; m2 + n2), donde; m> n.

Entonces, sea m = 2 y n = 1.

Sustituye los valores de myn en la fórmula.

‚áí a = 22 - 12 = 4 - 1 = 3

a = 3

‚áí b = 2 √ó 2 √ó 1 = 4

b = 4

‚áí c = 22 + 12 = 4 + 1 = 5

c = 5

Aplicar el teorema de Pit√°goras para verificar que (3,4,5, XNUMX, XNUMX) es de hecho un triple de Pit√°goras


‚áí a2 + b2 = c2

‚áí 32 + 42 = 52

‚áí 9 + 16 = 25

‚áí 25 = 25.

¡Sí, funcionó! Por lo tanto, (3,4,5, XNUMX, XNUMX) es un triple pitagórico.

ejemplo 2

Genera un triple pitagórico a partir de dos enteros 5 y 3.

Solución


Dado que m debe ser mayor que n (m> n), sea m = 5 y n = 2.

a = m2 - n2

= a = (5) 2 - (3) 2 = 25‚ąí9

= 16

‚áí b = 2 millones = 2 x 5 x 3

= 30

‚áí c = m2 + n2 = 32 + 52
= 9 + 25
= 34

Por tanto, (a, b, c) = (16, 30, 34).

Verifica la respuesta.

‚áí a2 + b2 = c2

‚áí 162 + 302 = 342

‚áí 256 + 900 = 1,156

1,156 = 1,156 (verdadero)

Por lo tanto, (16, 30, 34) es de hecho un triple pitagórico.

ejemplo 3

Comprueba si (17, 59, 65) es un triple pitagórico.

Solución

Sea, a = 17, b = 59, c = 65.

Pruebe si, a2 + b2 = c2.

a2 + b2 ‚áí 172 + 592

‚áí 289 + 3481 = 3770

c2 = 652

= 4225

Desde 3770 ‚Ȇ 4225, entonces (17, 59, 65) no es un triple pitag√≥rico.

ejemplo 4

Encuentre el posible valor de 'a' en el siguiente triple pitagórico: (a, 35, 37).

Solución

Aplicar la ecuación de Pitágoras a2 + b2 = c2.

a2 + 352 = 372.

a2 = 372‚ąí352 = 144.

‚ąöa2 = ‚ąö144

a = 12.

ejemplo 5

Encuentra el triple pitagórico de un triángulo rectángulo cuya hipotenusa es de 17 cm.

Solución

(a, b, c) = [(m2-1), (2m), (m2 + 1)]

c = 17 = m2 + 1

17 - 1 = m2

m2 = 16

m = 4.

Por lo tanto,

b = 2 m = 2 x 4

= 8

a = m2 - 1

= 42 - 1

= 15

ejemplo 6

El lado m√°s peque√Īo de un tri√°ngulo rect√°ngulo mide 20 mm. Encuentra el triple pitag√≥rico del tri√°ngulo.

Solución

(a, b, c) = [(2 m), (m2-1), (m2 + 1)]

20 = a = 2 m

2 m = 20

m = 10

Sustituye m = 10 en la ecuación.

b = m2 - 1

= 102 - 1 = 100 - 1

b = 99

c = m2 + 1

= 102 + 1

= 100 + 1 = 101

PT = (20, 99, 101)

ejemplo 7

Genera un triple pitagórico a partir de dos enteros 3 y 10.

Solución

(a, b, c) = (m2 - n2; 2mn; m2 + n2).

a = m2 - n2

= 102 - 32 = 100 - 9

= 91.

b = 2 millones = 2 x 10 x 3

= 60

c = m2 + n2

= 102 + 32 = 100 + 9

= 109.

PT = (91, 60,109)

Verifica la respuesta.

a2 + b2 = c2.

912 + 602 = 1092.

8,281 + 3,600 = 11,881

11,881 = 11,881 (verdadero)

ejemplo 8

Compruebe si el conjunto (24, 7, 25) es un triple pitagórico.

Solución

Sea a = 24, b = 7 y c = 25.

Por el teorema de Pit√°goras: a2 + b2 = c2

72 + 242 = 625

49 + 576 = 625 (verdadero)

Por tanto, (24, 7, 25) es un triple pitagórico.

ejemplo 9

Encuentra el triplete pitagórico de un triángulo rectángulo cuyo lado mide 18 yardas.

Solución

Dada la fórmula: (a, b, c) = [(m2-1), (2m), (m2 + 1)].

Sea aob = 18 yardas.

2 m = 18

m = 9.

Sustituye m = 9 en la fórmula.

c = m2 + 1

= 92 + 1 = 81

bo a = m2 -1 = 92 -1

= 80

Por tanto, los posibles trillizos son; (80, 18, 81) o (18, 80, 81).



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