Uso de factorización prima para encontrar LCM

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Joel Fulleda
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Uso de factorización prima para encontrar LCM

De mi lección anterior, repasé los pasos sobre cómo encontrar el MCM de dos enteros positivos usando el Método de Lista. Esta vez me enfocaré en el método donde se usa la factorización prima para encontrar el LCM. 

Le recomiendo que revise el procedimiento sobre cómo realizar la factorización primaria porque esta habilidad jugará un papel importante en esta lección. Consulte el siguiente enlace: Factorización de números primos enteros.


Pasos sobre cómo encontrar el LCM usando la factorización prima

Paso 1: Realiza la factorización prima de cada número y luego escríbelo en forma exponencial. Alinee la base de factores primos comunes siempre que sea posible.


Paso 2: Para los números con una base de factor primo común, seleccione el número primo que tiene la potencia más alta. El factor primo con mayor potencia implica que ocurre más en toda la lista.

Paso 3: Si un factor primo distinto tiene NO que coincida con la base de factores primos en la lista, incluya inmediatamente este factor con su exponente en la colección de números que multiplicará más adelante.

Nota: Los pasos n. ° 2 y n. ° 3 garantizan que todos los factores primos distintos en la lista COMPLETA estén representados sin duplicados.

Paso 4: Para determinar el mínimo común múltiplo (LCM), multiplique todos los números que ha recolectado o reunido de los pasos # 2 y # 3.


Ejemplos de cómo determinar el mínimo común múltiplo (LCM) mediante factorización prima

Ejemplo 1: ¿Cuál es el MCM de 12 y 90 ?

Primero, escribe la factorización prima de cada número en forma exponencial. Asegúrese de alinear los números que tienen una base común. Si un número no tiene una base común, escríbalo de manera que no haya nada arriba o abajo que indique que es único.

Observe que {2 ^ 2} y 2 están alineados verticalmente para significar que tienen una base común de 2. De la misma manera, 3 y {3 ^ 2} están alineados porque tienen una base común de 3. Sin embargo, 5 tiene una base única por lo que lo escribimos por sí mismo en su propia "columna".

Para enfatizar, etiqueté las factorizaciones primas de 12 y 90. Espero que ahora tenga mucho más sentido.


Ahora es el momento de elegir los números que vamos a multiplicar para obtener el LCM.


  • Primero, entre {2 ^ 2} y 2, seleccionaremos {2 ^ 2} porque tiene una potencia mayor que 2.
  • En segundo lugar, entre 3 y {3 ^ 2}, elegimos {3 ^ 2} por la misma razón.
  • Finalmente, dado que la base 5 está por sí sola y no tenemos nada con qué compararla, automáticamente la seleccionaremos para ser incluida en el grupo.
  • Por tanto, los números que vamos a multiplicar para determinar el MCM de 12 y 90 son {2 ^ 2}, {3 ^ 2} y {5}.
  • Multiplicando los números que hemos seleccionado, obtenemos:

Ejemplo 2: ¿Cuál es el MCM de 80 y 120 ?


Esta vez los números son relativamente mayores que en el ejemplo anterior. Sin embargo, no se preocupe porque, siempre que se ciña al procedimiento, todo el proceso de resolución de LCM será sobre ruedas. Ese es el testimonio del poder de la factorización prima. No importa qué tan grandes sean los números enteros porque pueden expresarse como factores primos. 


Como ya habrá observado, ser capaz de factorizar correctamente un número entero positivo es una habilidad indispensable para adquirir y dominar. Una vez que lo tienes, nadie te lo puede quitar. 

Empiece por factorizar en factores primos 80 y 120. Observe que los números con bases de 2 y 5 están alineados verticalmente respectivamente. El factor primo 3 es por sí mismo, por lo que no hay ningún número por encima.

A continuación se muestra la misma imagen pero con etiquetas para enfatizar.

Escojamos los números para multiplicar para determinar el mínimo común múltiplo.

  • Entre {2 ^ 4} y {2 ^ 3}, elegimos {2 ^ 4} sobre {2 ^ 3} porque el primero tiene una potencia mayor que el segundo ya que 4> 3.
  • El número 3 está por sí solo por lo que lo incluiremos automáticamente en la colección de números que vamos a multiplicar.
  • Los números 5 y 5 son exactamente iguales. Solo elegiremos una copia de 5 para representar los dos.
  • Por lo tanto, los números {2 ^ 4}, 3 y 5 son los que multiplicaremos al MCM de
  • Entonces, el LCM para 80 y 120 se calcula de la siguiente manera:

Ejemplo 3: ¿Cuál es el MCM de 17 y 71 ?

No se apresure a resolver el problema porque ya está familiarizado con los pasos. No estaría de más dar un paso atrás por un momento para ver el problema en una perspectiva más amplia. 

En este caso, debería poder detectar inmediatamente que tanto 17 y 71 son números primos. Recuerda que un número primo solo es divisible por 1 y por sí mismo. Solo un recordatorio rápido, no olvide el hecho de que el número primo más pequeño es 2 y NO 1.

Entonces, si vamos a realizar factorizaciones primas en un número primo, debe estar convencido de que la factorización prima de un número primo es solo el número primo en sí. No incluya 1, ya que no es un número primo.

Aquí están las factorizaciones primas de los números primos 17 y 71. No los alineé en la misma columna porque no tienen una base común.

El siguiente paso obvio es elegir los números que vamos a multiplicar. Dado que las bases son diferentes entre sí, debemos seleccionar ambas.

Para encontrar el MCM de 17 y 71, tenemos:

Ejemplo 4: ¿Cuál es el MCM de 126, 252 y 336 ?

Vamos a mejorar un poco al encontrar el mínimo común múltiplo (LCM) de tres enteros positivos distintos que están en los centenares.

Sé que puede ser intimidante porque parece que estamos en un territorio nuevo. Sin embargo, si ya está familiarizado con la factorización prima, no hay nada de lo que deba preocuparse. ¡Lo tienes!

Los pasos o el procedimiento para encontrar el MCM de tres números enteros es muy similar a encontrar el MCM de dos números que en este punto ya debería tener un dominio.

Comience aplicando la factorización prima en los números enteros positivos 126, 252 y 336. Nuevamente, es tan importante que alineemos los números que tienen una base común. Como puede observar, alineamos verticalmente los números con una base de 2, una base de 3 y una base de 7. Este simple truco nos da una enorme idea de qué hacer a continuación.

La siguiente ilustración simplemente enfatiza el hecho de que alineamos los números que tienen la misma base.

El siguiente paso como ya sabes es seleccionar los números que vamos a multiplicar para determinar el mínimo común múltiplo de los tres números.

  • Con una base común de 2, seleccionamos {2 ^ 4} ya que tiene la potencia más alta.
  • Con una base común de 3, seleccionamos {3 ^ 2} porque tiene la potencia más alta. Como hay dos {3 ^ 2}, solo elija una instancia.
  • Con una base común de 7, seleccionamos 7 porque son todos iguales.

El mínimo común múltiplo (LCM) de 126, 252 y 336 es el producto de los números que hemos seleccionado anteriormente. Están marcados en naranja.

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