En mi otra lección, hablé del procedimiento sobre cómo encontrar el máximo factor común utilizando el método de lista. Este método solo es efectivo cuando se trata de números más pequeños.
Es por eso que necesitamos aprender un método de respaldo para determinar el GCF cuando se trata de números más grandes. Este método alternativo aprovecha la utilidad de Factorización Prime.
Debo advertirle que hay un requisito previo para esta lección. Deberá comprender cómo realizar la factorización prima en un número entero.
No se sienta mal si necesita tomar la lección de actualización. Créame, ¡es fácil! Pronto se dará cuenta de que está de regreso aquí en poco tiempo. Aquí está el enlace: ☞ Factorización de números primos enteros ☜
Pasos para determinar el MCD mediante factorización prima
Estos son los pasos para encontrar el máximo común divisor de dos números usando la factorización prima. Aunque este método se puede ampliar para encontrar el MCD de varios números, solo quiero centrarme en dos números.
1) Escribe la factorización prima de cada número. En otras palabras, exprese cada número como un LOS PRODUCTOS de números escritos en forma exponencial. Evidentemente, la base siempre será un número primo.
2) Identifica los números que tienen la misma base. Ignore el exponente por ahora.
3) Compara los exponentes de los números con una base común. Seleccionar el número que tiene el valor mínimo del exponente. Por ejemplo, en {2 ^ 2} y {2 ^ 4}, elija {2 ^ 2} porque su exponente tiene un valor menor que el de {2 ^ 4}, es decir, 2 <4.
4) Multiplica los números que seleccionado en el paso # 3 para determinar el máximo factor común.
Ejemplos de cómo determinar el máximo común divisor (MCD) mediante factorización prima
Ejemplo 1: ¿Cuál es el MCD de 36 y 120 ?
Comience expresando cada número en su forma prima factorizada.
A continuación, identificamos los números exponenciales que tienen la misma base. Observe que {2 ^ 2} y {2 ^ 3} tienen una base común de 2. Por otro lado, {3 ^ 2} y 3 tienen una base común de 3. Ignoramos 5 por una sencilla razón de que 36 no lo hace. t tiene un factor primo de 5. Nuevamente, debe ser común a ambos.
te necesito ralentizar aquí antes de continuar. El número entero 3 parece no tener exponente. Si alguna vez ve un número entero positivo que no tiene un exponente en su esquina superior derecha, no se apresure a concluir que tiene un exponente de cero. ¡Eso está mal! Este es un error común de muchos de mis estudiantes. El hecho es que se supone que tiene un exponente de 1. Por lo tanto, 3 es igual a {3 ^ 1}.
Para enfatizar, rodeamos los números que tienen una base común usando el mismo color. Círculos rojos para {2 ^ 2} y {2 ^ 3} mientras que azules para {3 ^ 2} y 3.
Ahora vamos a seleccionar qué número tiene el menor valor de exponente para cada factor primo común.
En el caso de {2 ^ 2} y {2 ^ 3}, elegimos {2 ^ 2} porque 2 <3.
Las flechas indicaron los números que elegimos.
El paso final es multiplicar los números que hemos seleccionado del paso anterior. Los números elegidos son aquellos que tienen una base de números primos común con el menor valor de exponente. Por lo tanto, el MCD de 36 y 120 es {2 ^ 2} por 3, lo que equivale a 12.
Ejemplo 2: ¿Cuál es el MCD de 150 y 180 ?
Este problema no es diferente al primero. Los números son relativamente mayores. Encontrar el MCD de estos dos números debería requerir un trabajo adicional, especialmente con la parte de factorización prima. Pero los pasos siguen siendo los mismos, lo que debería darnos un impulso de confianza.
Empiece por factorizar en primos 150 y 180.
Ahora identificamos los números con una base común. Están codificados por colores para dar énfasis.
- La base común de 2 y {2 ^ 2} es 2.
- La base común de 3 y {3 ^ 2} es 3.
- La base común de {5 ^ 2} y 5 es 5.
Para los números que tienen una base común, seleccione el número con el valor de exponente más pequeño. Entre 2 y {2 ^ 2}, elegimos 2. Entre 3 y {3 ^ 2}, elegimos 3. Y finalmente, elegimos 5 entre {5 ^ 2} y 5.
Para el último paso, multiplicamos los números que hemos elegido en el paso anterior para determinar el MCD. Por lo tanto, el MCD de 150 y 180 es 2 por 3 por 5 que es igual a 30.
Ejemplo 3: ¿Cuál es el MCD de 1,260 y 1,960 ?
Llevemos esta habilidad de encontrar el factor común más grande al siguiente nivel. Esta vez encontraremos el MCD de dos números que tienen valores numéricos entre 1,000 y 2,000.
A estas alturas, probablemente se haya dado cuenta de que encontrar el MCD de estos números utilizando el método de lista será engorroso. Esta es la razón por la que tengo que crear una lección separada sobre cómo encontrar el MCD utilizando el método de factorización prima. Es más eficiente, preciso y propenso a menos errores, especialmente cuando lo está resolviendo a mano.
Para llegar al corazón de este método, necesitará tener una buena comprensión de cómo factorizar primos un entero positivo usando el árbol de factores primos.
No puedo exagerar la importancia de Árbol de factores primos. Créame, será su mejor amigo de ahora en adelante durante su estudio de álgebra en general.
En una cáscara de nuez, aquí está el método de factorización prima utilizando el árbol de factores primos. Comienza a dividir el número dado por el número primo más pequeño que es 2. Si 2 divide el número de manera uniforme, dibuja una diagonal hacia la izquierda (rama del árbol) del número dado y escribe 2. Luego, escribe el cociente dibujando un diagonal hacia abajo hacia la derecha. El cociente pasará a formar parte del tronco del árbol.
Siga dividiendo los siguientes cocientes por 2 mientras registra sus resultados como ramas (divisores) y parte del tronco (cocientes que son números compuestos). Continúe hasta el momento en que 2 ya no pueda dividir el cociente. Ahí es cuando pasas al siguiente número primo, que es 3, y así sucesivamente. Repite el proceso hasta que el cociente sea un número primo. Aquí es cuando te detienes.
❖ Aquí está el árbol de factores primos del número 1,260 y su Factorización Prime.
❖ A continuación se muestra el árbol de factores primos del número 1,960 y su Factorización Prime.
Finalmente, dado que hemos factorizado exitosamente los dos números grandes, ahora podemos proceder como de costumbre, como en los ejemplos # 1 y # 2.
- Escribe las factorizaciones primas de 1260 y 1960 lado a lado. Es una buena práctica alinear los números con la misma base.
- Identifica los números escritos en forma exponencial que tienen la misma base. Al igual que antes, no te preocupes por los exponentes todavía.
- Compara los exponentes de los números exponenciales que tienen una base común. Seleccione el número exponencial que tiene el menor valor de exponente. Entre {2 ^ 2} y {2 ^ 3}, elegimos {2 ^ 2}, no {2 ^ 3}, porque el exponente del primero es menor que el del segundo. Ignore {3 ^ 2} porque no tiene un número coincidente con una base de 3. Para 5 y 5, simplemente seleccione 5 ya que son exactamente iguales, un duplicado para el caso. Y finalmente, elegimos 7 sobre {7 ^ 2} por la misma razón que 1 <2.
- El último paso para obtener el máximo factor común de 1,260 y 1,960 es multiplicar los números que hemos seleccionado en el paso anterior. Por lo tanto, el MCD de 1,260 y 1,960 es igual a {2 ^ 2} por 5 por 7, lo que nos da 140.
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