Variación inversa (también conocida como proporción inversa)

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Martí Micolau
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Variación inversa (también conocida como proporción inversa)

El concepto de variación inversa se resume en la siguiente ecuación.

Ideas clave de variación inversa

  • Decimos que y varía inversamente con x si y se expresa como el producto de algún número constante k y el recíproco de x.
  • Sin embargo, a pesar de la el valor de k no puede ser igual a cero, es decir, k ne 0.
  • Al aislar k en un lado, queda claro que k es el producto fijo de x e y. Eso significa que multiplicar xey siempre produce una salida constante de k.

k también se conoce como la constante de variación o constante de proporcionalidad.




Ejemplos de variación inversa

Ejemplo 1: Indica si y varía inversamente con x en la siguiente tabla. Si es así, escribe una ecuación para representar la variación inversa.


Solución:

Para que la tabla tenga una característica de variación inversa, el producto para todos los pares de xey en el conjunto de datos debe ser el mismo.

El producto de las variables xey es constante para todos los pares de datos. Podemos afirmar que k = 24 es la constante de variación. Escribiendo la ecuación de proporcionalidad inversa,


Aquí está la gráfica de la ecuación y = {{24} sobre x} con los puntos de la tabla.


Ejemplo 2: Indica si y varía inversamente con x en la siguiente tabla. Si es así, escribe una ecuación para representar la variación inversa.


Solución:

Si los datos de la tabla representan una variación inversa, el producto de xey debe ser un número constante.

Obviamente, multiplicar xey juntos da como resultado un número fijo. Esto se convierte en nuestra constante de variación, por lo que k = -, 3. La ecuación de variación inversa se escribe como,


Esta es la gráfica de y = {{-, 3} sobre x} con los puntos de la tabla.

Ejemplo 3:  Dado que y varía inversamente con x. Si x = -, 2 entonces y = 14.

a) Escribe la ecuación de variación inversa que relaciona x e y.

b) ¿Cuál es el valor de y cuando x = 4?

Parte a) Escribe la ecuación de variación inversa que relaciona x e y.

  • Comience escribiendo la fórmula general de variación inversa que es y = {k sobre x}. Esto nos da la idea de que podemos resolver k ya que se dan los valores de xey.
  • Ahora podemos escribir la ecuación de variación inversa que relaciona x e y.

Parte B) ¿Cuál es el valor de y cuando x = 4?

  • Para resolver para y, sustituya x = 4 en la ecuación que se encuentra en el inciso a).

Ejemplo 4:  Si y varía inversamente con x, encuentre el valor perdido de y en

Solución:

Utilice el primer punto a la izquierda ({4, -, 2} a la derecha) para determinar el valor de k usando la fórmula y = {k sobre x}.

Escribiendo la ecuación de variación inversa que relaciona x e y,

Para resolver el valor faltante de y en el punto a la izquierda ({-, 8, y} a la derecha), simplemente ingrese el valor de x en la fórmula que se encuentra arriba y luego simplifique.

Ejemplo 5: Para equilibrar una palanca (balancín), el peso varía inversamente con la distancia del objeto al fulcro. Si John, que pesa 140 libras, está sentado a 7 pies del fulcro, ¿dónde debería sentarse su hermano Leo, que pesa 98 libras, para equilibrar el balancín?

Solución:

Es importante dibujar un bosquejo del escenario para que tengamos una idea de lo que está sucediendo.

Se nos dice que el peso varía inversamente con la distancia. Eso significa que nuestra fórmula para la variación inversa que relaciona el peso y la distancia es:

Podemos encontrar el valor de k usando la información de John porque tanto su peso como su distancia al fulcro están claramente dados en el problema.

A continuación se muestra la ecuación de variación inversa que relaciona el peso y la distancia.

Recuerde que estamos tratando de encontrar qué tan lejos Leo, que pesa 98 libras, debe sentarse desde el punto de apoyo para equilibrar el balancín. Para hacer eso, sustituya el peso de Leo en la fórmula que se encuentra arriba y resuelva para "d".

Por tanto, Leo necesita sentarse 10 pies de distancia desde el fulcro para equilibrar el balancín!

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