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    Vector de posición: explicación y ejemplos

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    Pau Monfort
    @paumonfort

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    Vector de posición: explicación y ejemplos

    Podemos usar un vector de posición para decirnos la ubicación de un objeto en relación con otro. Específicamente, un vector de posición es:


    "Un vector que indica la ubicación o posición de un punto dado con respecto a un punto de referencia arbitrario como el origen".

    En este tema, discutiremos los siguientes aspectos de los vectores de posición:

    • ¿Qué es un vector de posición?
    • Cómo encontrar el vector de posición

    ¿Qué es un vector de posición? 

    A menudo, los vectores que comienzan en el origen y terminan en cualquier punto arbitrario se denominan vectores de posición. Se utilizan para determinar la posición de un punto con referencia al origen.


    La dirección del vector de posición apunta desde el origen hacia el punto dado. En el sistema de coordenadas cartesiano, si el punto O es el origen y Q es algún punto (x1, y1), entonces el vector de posición dirigido desde el punto O al punto Q se representa como OQ. En el espacio tridimensional, si O = (0,0,0) y Q = (x1, y1, z1), entonces el vector de posición r del punto Q está representado es:


    r = x1i + y1j + z1k

    Supongamos que tenemos dos vectores, A y B, con vectores de posición a = (2,4) y b = (3, 5) respectivamente. Entonces podemos escribir las coordenadas de los vectores A y B como:

    A = (2,4), B = (3, 5)

    Cómo encontrar el vector de posición

    Antes de determinar el vector de posición de un punto, primero necesitamos determinar las coordenadas de ese punto. Supongamos que tenemos dos puntos, M y N, donde M = (x1, y1) y N = (x2, y2). A continuación, queremos encontrar el vector de posición desde el punto M al punto N, el vector MN. Para determinar este vector de posición, restamos los componentes correspondientes de M desde N:


    MN = (x2-x1, y2-y1)

    Fórmula vectorial de posición

    Usando la información anterior, podemos generalizar una fórmula que determinará un vector de posición entre dos puntos si supiéramos la posición de los puntos en el plano xy.

    Por ejemplo, considere un punto P, que tiene las coordenadas (xk, yk) en el plano xy, y otro punto Q, que tiene las coordenadas (xk + 1, yk + 1). La fórmula para determinar el vector de posición de P a Q es:

    PQ = ((xk + 1) -xk, (yk + 1) -yk)

    Recuerda el vector de posición PQ se refiere a un vector que comienza en el punto P y termina en el punto Q. De manera similar, si queremos encontrar el vector de posición desde el punto Q hasta el punto P, podemos escribir:


    QP = (xk - (xk + 1), yk - (yk + 1))

    Ejemplos 

    En esta sección, discutiremos algunos problemas de ejemplo de vector de posición y sus soluciones paso a paso. Esto ayudará a desarrollar una comprensión más profunda de los vectores de posición.

     ejemplo 1

    Dados dos puntos A = (-4, 6) y B = (5, 12), determine el vector de posición AB. Entonces, calcular la magnitud del vector AB.

    Solución

    Dados dos puntos en el sistema de coordenadas xy, podemos usar la siguiente fórmula para encontrar el vector de posición AB:

    AB = (x2-x1, y2-y1)

    Donde x1, y1 representa las coordenadas del punto A y x2, y2 representan las coordenadas del punto B. Por lo tanto, simplemente poniendo los valores de los puntos A y B en la ecuación anterior, podemos encontrar el vector de posición AB:

    AB = (5 - (- 4), 12-6)


    AB = ((5+ 4), 12-6)

    AB = (9, 6)

    Por lo tanto, el vector de posición AB es equivalente a un vector que comienza en el origen y se dirige a un punto 9 unidades hacia la derecha a lo largo del eje xy 6 unidades hacia arriba a lo largo del eje y.

    A continuación, determinamos la magnitud del vector de posición de la siguiente manera:

    |AB| = √9 ^ 2 + 6 ^ 2


    |AB| = √81 + 36

    |AB| = √117

    |AB| = 3√13 

    ejemplo 2

    Dados dos puntos A = (-4, 6) y B = (5, 12), determine el vector de posición LICENCIADO EN LETRAS. Luego, calcula el vector BAmagnitud y describir la relación entre el vector de posición AB y el vector de posición BA.

    Solución

    Dados dos puntos en el sistema de coordenadas xy, podemos usar la siguiente fórmula para encontrar el vector de posición BA:

    BA = (x1-x2, y1-y2)

    Donde x1, y1 representa las coordenadas del punto A y x2, y2 representan las coordenadas del punto B. Tenga en cuenta que el vector de posición BA representa un vector dirigido desde el punto B hacia el punto A. Es diferente del vector de posición AB, que se dirige de A a B. Por lo tanto, simplemente poniendo los valores de los puntos A y B en la ecuación anterior, podemos encontrar el vector de posición BA:

    BA = (-4-5), 6-12)

    BA = (-9, -6)

    Por lo tanto, el vector de posición BA es equivalente a un vector que comienza en el origen y se dirige a un punto 9 unidades a la izquierda a lo largo del eje xy 6 unidades hacia abajo a lo largo del eje y.


    A continuación, determinamos la magnitud del vector de posición:

    |BA| = √ (-9) ^ 2 + (-6) ^ 2

    |BA| = √81 + 36

    |BA| = √117

    |BA| = 3√13

    Recuerde que en el primer ejemplo, encontramos el vector de posición AB para los mismos puntos y, en este ejemplo, determinamos el vector de posición LICENCIADO EN LETRAS. Los dos vectores de posición tienen la misma magnitud. Dado que tienen direcciones opuestas, la relación entre los dos es:

    BA = -1 * (9, 6)

    BA = -1 *AB

    BA = -AB

    Por tanto, los dos vectores de posición son paralelos entre sí y opuestos entre sí. Es decir, son los negativos el uno del otro.

    ejemplo 3

    Dado que el vector de posición de un punto, S1, es OS1 = (2, 3), y que el vector S1S2 = (-3, 6), determine el vector de posición del punto S2, OS2.

    Solución

    Primero, trazamos el vector OS1 con su punto inicial en el origen, (0,0), y su punto final en (2,3). También trazamos el vector OS2, que comienza en el origen y termina en el punto S2. Designaremos la posición desconocida de S2 con los puntos de coordenadas arbitrarios (x, y). Como conocemos el vector de posición S1S2 y sabemos que da una relación entre S1 y S2, también podemos dibujar S1S2. Es un vector dirigido cuyo punto inicial está en S1 y que se dirige tres unidades hacia la izquierda y seis unidades hacia arriba. Es obvio en la imagen de abajo que tenemos un triángulo, 0S1S2. Por lo tanto, ahora podemos usar la ley del triángulo (o la regla de la cabeza a la cola) de la suma de vectores para determinar las coordenadas del punto S2 de la siguiente manera:

    S1S2 = OS1 + OS2

    OS2 = S1S2 - OS1

    Al poner los valores dados en esta ecuación, obtenemos:

    OS2 = (-3, 6) - (2, 3)

    OS2 = (-3, 6) + (-2, -3)

    OS2 = (-3-2, 6-3)

    OS2 = (-5, 3)

    Por lo tanto, OS2= (- 5, 3) es el vector de posición para el punto S2.

    ejemplo 4

    Dados los dos puntos M = (4, m) y Q = (-n, -3), determine el vector de posición QM.

    Solución

    Dados dos puntos en el sistema de coordenadas xy, podemos usar la siguiente fórmula para determinar el vector de posición Q:

    QM = (-n-4, -3-m).

    Como no conocemos las coordenadas de QM o los valores de nym, no podemos simplificar la ecuación.

    ejemplo 5

    Dado un punto q = (-10, 5, 3), determine el vector de posición del punto q, R. Luego, determina la magnitud de R.

    Solución

    Dado el punto q, podemos determinar su vector de posición:

    R = -10i + 5j -3k.

    Para determinar su magnitud, usamos la siguiente ecuación:

    |R| = √ (-10) ^ 2 + (5) ^ 2 + (-3) ^ 2

    |R| = √100 + 25 + 9

    |R| = √100 + 25 + 9

    |R| = √134

    ejemplo 6

    Dados los puntos, c = 5i + 6j + 3k yd = 2i + 5j - 2k en el sistema ortogonal, determine el vector de posición entre estos dos puntos, CD

    Solución

    Dados los dos puntos, podemos usar la siguiente fórmula para determinar el vector de posición CD:

    CD = (2-5, 5-5, -2-3)

    CD = (-3, 0, -5)

    CD = -3i + 0j -5k

    Preguntas de práctica

    1. Sea u = (-1, 4) y v = (2, 5). Determine el vector de posición representado por UV.
    2. Sea u = (-1, 4) y v = (2, 5). Determine el vector de posición representado por VU.
    3. Sea v = (3, 5) y VM = (-6, 3). Encuentre el vector de posición del punto m.
    4. Dado b = (3,2,5), determine su vector de posición, R. Luego, encuentra la longitud del vector
    5. Deje que un vector AB comienza en a = (1, 2) y termina en b = (2, 3). Determine su vector de posición y su longitud.
    6. Deje que un vector OB comienza en o = (0,0) y termina en b = (-2, 6). Determine su vector de posición.

    respuestas

    1. UV = (3,1). La dirección de UV está 3 unidades a la derecha a lo largo del eje xy 1 unidad hacia arriba.
    2. VU = (-3, -1). La dirección de VU es 3 unidades hacia la izquierda a lo largo del eje xy 1 unidad hacia abajo. Los dos vectores UV y Visto, son opuestos en dirección.
    3. El vector de posición del punto m se puede dar OM = (-9, -2)
    4. R = 3i + 2j + 5k es el vector de posición y su longitud es |R| = √38
    5. El vector de posición es AB = (1,1), y su longitud es |AB| = √2
    6. El vector de posición es OB = (-2,6), y su longitud es |OB| = √40



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