Vector resultante: explicación y ejemplos

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Vector resultante - Explicación y ejemplos

En geometría vectorial, el vector resultante Se define como: 

"Un vector resultante es una combinación o, en palabras más simples, se puede definir como la suma de dos o más vectores que tiene su propia magnitud y dirección".

En este tema, cubriremos los siguientes conceptos:

  • ¿Qué es un vector resultante?
  • ¿Cómo encontrar el vector resultante?
  • ¿Cómo encontrar la resultante de más de tres vectores?
  • ¿Cómo dibujar el vector resultante?
  • ¿Cuál es la fórmula y el método para calcular el vector resultante?
  • Ejemplos 
  • Practica preguntas.


¿Qué es un vector resultante?

Un vector resultante es un vector que da el efecto combinado de todos los vectores. Cuando sumamos dos o más vectores, el resultado es el vector resultante.



Exploremos este concepto con un ejemplo práctico y sencillo. Suponga que hay una viga con dos cajas sobre ella, como se muestra en la siguiente figura:

¿Podrás calcular el peso de la viga y el peso de las dos cajas? ¡Sí! Puede, ya que estará familiarizado con el concepto del vector resultante.

En este caso, el vector resultante será la suma de las fuerzas que actúan sobre las dos cajas, es decir, el peso de las cajas, que será igual y opuesto al peso de la viga. En este caso, el vector resultante será la suma de dos fuerzas ya que ambas son paralelas y apuntan en la misma dirección.

Suponga que hay tres vectores en un plano, vector A, B y C. Hay resultante R se puede calcular sumando los tres vectores. El resultante R se puede determinar con precisión dibujando un diagrama de suma de vectores exacto y a escala adecuada se muestra en la siguiente figura:



A + B + C = R

Comprendamos mejor el concepto con la ayuda de un ejemplo.

ejemplo 1

Calcule el vector resultante de tres fuerzas paralelas que apuntan hacia arriba. OA = 5N, OB = 10N y OC = 15N.

Solución

Como sabemos, el vector resultante se da como:

R = OA + OB +OC

 R = + + 5 10 15

 R = 30N

ejemplo 2

Encuentra el vector resultante de los vectores dados OA= (3,4) y OB= (5,7).

Solución

Sumando los componentes x para encontrar los componentes Rx y los componentes y para calcular RY.

RX = 3 + 5

RX = 8

Ry = 4 + 7

Ry = 11

Entonces, el vector resultante es R = (8,11)

Cómo encontrar los vectores resultantes

Los vectores se pueden agregar geométricamente dibujándolos usando una escala común de acuerdo con la convención de la cabeza a la cola, que se define como

"Une la cola del primer vector con la cabeza del segundo vector, lo que dará otro vector cuya cabeza se une con la cabeza del segundo vector y la cola del primer vector ... ”

 â€¦ Esto se llama vector resultante.

Pasos para encontrar el vector resultante usando la regla de la cabeza a la cola

Los siguientes son los pasos a seguir para sumar dos vectores y encontrar el vector resultante:


  1. Dibuja el primer vector de acuerdo con la escala seleccionada en la dirección dada.
  2. Ahora une la cola del segundo vector con la cabeza del primer vector dibujado según la escala dada y en la dirección definida.
  3. Para dibujar el vector resultante, une la cola del primer vector con la cabeza del segundo vector y coloca la punta de flecha.
  4. Para determinar la magnitud, mida la longitud de la resultante R, y para averiguar la dirección, mida el ángulo de la resultante con el eje x.

ejemplo 3


Considere un barco que navega a 45o al noreste. Luego cambia de rumbo en dirección 165o hacia el norte. Dibuja el vector resultante.

Solución

Vector resultante de más de dos vectores

Las reglas para encontrar la resultante de un vector o sumar más de dos vectores se pueden extender a cualquier número de vectores.

 R=A+B+C+………………………….

Supongamos que hay tres A, B, y C vectores, como se muestra en las figuras siguientes. Para agregar estos vectores, dibujelos de acuerdo con la regla de la cabeza a la cola de modo que la cabeza de un vector coincida con el otro vector. Entonces, el vector resultante se da de la siguiente manera:



 R=A+B+C

Nota: La suma de vectores es de naturaleza conmutativa; la suma es independiente del orden de adición.

R=A+B+C = C+B+C

 

Calcular un vector resultante usando componentes rectangulares

Encontrar un vector resultante usando componentes de un vector se conoce como método analítico; este método es más matemático que geométrico y puede considerarse más exacto y preciso que el método geométrico, es decir, configurar utilizando la regla de la cabeza a la cola.

Supongamos que hay dos vectores A y B, formando ángulos θA y θB respectivamente con el eje x positivo. Estos vectores se descompondrán en sus componentes. Se utilizarán para calcular las componentes xey resultantes del vector resultante R, que será la suma de los componentes xey de los dos vectores por separado.

R = A+B

RX = AX + BX                        eq 1

RY = AY + BY                        eq 2

Dado que, por componentes rectangulares 

 R = RX + RX                          eq 3

Ahora, poniendo los valores de la ecuación 1 y la ecuación 2 en la ecuación 3

R = (AX + BX) + (AY + BY)

Por componente rectangular, la magnitud del vector resultante se da como

| R | = √ ((Rx) 2+ (Ry) 2)

| R | = √ ((Ax + BX) 2+ (Ay + BY) 2)

Por componentes rectangulares, la dirección del vector resultante se define como: 

θ = tan-1 (RY / Rx)

El mismo método se aplicará a cualquier número de vectores. A B C D…… para encontrar el vector resultante R.

R = A+B+C+......

RX = AX+BX+CX+.....

RY = AY+BY+CY+......

                                  R = RX + RX                                         

θ = tan-1 (RY / Rx)

Encontrar un vector resultante usando el método de paralelogramo

De acuerdo con la ley de la suma de vectores de paralelogramo:

 "Si dos vectores que actúan, a la vez, en un punto pueden ser representados por los lados adyacentes de un paralelogramo dibujado desde un punto, entonces el vector resultante está representado por la diagonal del paralelogramo que pasa por ese punto".

Considere dos vectores A y B actuando en un punto y representado por los dos lados de un paralelogramo como se muestra en la figura.

θ es el ángulo entre vectores y  B, y  R se dice que es el vector resultante. Entonces, de acuerdo con la ley de la suma de vectores del paralelogramo, la diagonal del paralelogramo representa la resultante de vectores A y B.

Derivadas Matemáticason

A continuación se muestra la derivación matemática:

R = A + B

Ahora, expanda S a T y dibuje QT perpendicular a OT.

Desde el triángulo OTQ,

SQ2 = OT2 + TQ2 eq 1.4

SQ2 = (OS + ST) 2 + TQ2

En el triángulo STQ,

cosθ = ST / SQ

SQcosθ = ST

También, trabaja para

sinθ = TQ / SQ

TQ = SQsinθ

Poniendo la ecuación 1.4 da,

| SQ | = √ ((A + SQsinθ) 2+ (SQcosθ) 2)

Nota, SQ = OP = D

| SQ || = √ ((A + Dsinθ) 2+ (Dcosθ) 2)

Resolver la ecuación anterior da,

| SQ | = √ (A2 + 2ADcosθ + D2)

Entonces, | SQ | da la magnitud del vector resultante.

Ahora averiguando la dirección del vector resultante,

 tanφ = TQ / SQ

φ = tan-1 (TQ / OT)

tanφ = TQ / (OS + ST)

tanφ = Dsinθ / A + Dcosθ

φ = tan –1 (Dsinθ / A + Dcosθ)

Comprendamos mejor con la ayuda de un ejemplo.

ejemplo 4

Una fuerza de 12N forma un ángulo de 45o con el eje x positivo, y la segunda fuerza de 24N forma un ángulo de 120o con el eje x positivo. Calcule la magnitud de la fuerza resultante.

Solución

Al resolver el vector en sus componentes rectangulares, sabemos que

RX = F1X+F2X

RY= F1Y+F2Y

| R | = √ ((Rx) 2+ (Ry) 2) eq 1.1

Cálculo de los valores de | RX | y | RY |, 

| Rx | = | F1X | + | F2X | ecuación 1.2

                                                                   | F1X | = F1cosθ1                                                                   

                                              | F1X | = 12cos45                                            

| F1X | = 8.48N 

| F2X | = F2cosθ2

| F2X | = 24cos120

| F2x | = -12N

Poniendo los valores en la ecuación 1.2 da,

| Rx | = 8.48 + (- 12)

| Rx | = -3.52N

Ahora, encontrar la componente y del vector resultante                                         

| RY | = | F1Y | + | F2Y | ecuación 1.3

                                                                   | F1Y | = F1sinθ1                                                                    

                                            | F1Y | = 12sin45                                            

                                          | F1Y | = 8.48N                                                

| F2Y | = F2 senθ2

| F2Y | = 24sin120

                                       | F2Y | = 20.78N                                         

Poniendo los valores en la ecuación 1.2 da,

| Ry | = 8.48 + 20.78

Ry | = 29.26 N

Ahora, poniendo los valores en la ecuación 1.1 para calcular la magnitud del vector resultante R,

| R | = √ ((-3.52) 2+ (29.26) 2)   

| R | = √ (12.4 + 856.14)

| R | = 29.5 N

Entonces, la magnitud del vector resultante R es 29.5N.

ejemplo 5

Dos fuerzas de magnitud 5N y 10N están inclinadas en un ángulo de 30o. Calcule la magnitud y la dirección del vector resultante usando la ley del paralelogramo.

Solución

Dado que hay dos fuerzas F 1 = 5N y F 2 = 10N y ángulo θ = 30o.

Usando fórmula,

|R|= √(F12+2F1F2cosθ+F22)

|R|= √ ((5)2+2(5)(10) cos30+(10)2)

| R | = 14.54 N

φ = tan –1 (F2sinθ / F1 + F2cosθ)

φ = tan-1 (10sin30 / (5 + 10cos30))

φ = 20.1o

Entonces, la magnitud del vector resultante R es 14.54N, y la dirección es 20.1o.

Problemas de práctica

  1. Encuentre el vector resultante del siguiente vector paralelo entre sí, apuntando en la misma dirección
  1. OA= 12N, OB= 24N (Respuesta: 36N)         
  2. OA= 7N, OB= 10N (Respuesta: 17N)
  3.  PQ= (3,8) RQ= (2,4) (Respuesta: (5, 12)
  1. Una fuerza de 15N forma un ángulo de 70o con el eje x positivo, y la segunda fuerza de 25N forma un ángulo de 220o con el eje x positivo. Calcule la magnitud de la fuerza resultante. (Respuesta: 37N)
  2. Calcule la dirección del vector resultante definido en el problema no 3. (Respuesta: 21.80)
  3. Una fuerza de 30N actúa a 25o hacia el noreste. Otra fuerza de 45N actuando a 60o. Calcule y dibuje el vector resultante. (Respuesta:  22N)
  4. Dos fuerzas de magnitud 12.7N y 35N están inclinadas en un ángulo de 345o. Calcule la magnitud y la dirección del vector resultante usando la ley del paralelogramo. (Respuesta: 38.3 N)

Todos los diagramas vectoriales se construyen utilizando GeoGebra.



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