Vector unitario - Explicación y ejemplos

Al igual que en Física, toda cantidad medible tiene una unidad de medida. De manera similar, en geometría vectorial, cada vector también tiene una unidad de medida, que se puede denominar como Vector unitario. En palabras más simples, un vector unitario se puede definir como:

"Cualquier vector con magnitud 1 puede describirse como un vector unitario". 

En el tema de vectores unitarios, cubriremos los siguientes temas:

• ¿Qué es un vector unitario?
• name="-c-mo-encontrar-un-vector-unitario-">¿Cómo encontrar un vector unitario?
• ¿Cómo encontrar un vector unitario en la misma dirección?
• ¿Cuál es la fórmula de los vectores unitarios? 
• ¿Cuáles son las propiedades de un vector unitario?
• Ejemplos
• name="problemas-de-pr-ctica">Problemas de práctica 

name="-qu--es-un-vector-unitario-nbsp-">¿Qué es un vector unitario? 

Un vector unitario es un vector cuya magnitud es 1, o en términos matemáticos, una unidad. En geometría vectorial, la notación de un vector unitario es ligeramente diferente. Los vectores unitarios se indican colocando un sombrero (^) encima de los vectores. El vector v que se muestra en la figura siguiente es un vector unitario y se puede representar mediante v ^.

En matemáticas y física, a menudo nos encontramos con la palabra "unidad". ¿Pero qué significa exactamente? Si nos sumergimos en las matemáticas elementales básicas, entonces la palabra "unidad" se definió en los inicios de las matemáticas. La palabra unidad simboliza '1'. La palabra 'unidad; se encontró por primera vez en el sistema de valor posicional de las matemáticas. La base del sistema se basó en unidades, ya que simboliza el lugar de los 'unos'. 

De manera similar, en el ámbito de la geometría vectorial, el vector unitario también representa '1'. Se requiere un vector unitario para escalar un vector. En el lenguaje de la física, podemos describir esta escala como medición. 

Los vectores unitarios son básicamente unidades de un vector, y cualquier vector se puede representar en términos del vector unitario. 

Dado que los vectores unitarios tienen una magnitud de 1, la única información que proporcionan con respecto a un vector es su dirección. Ésta es la razón por la que los vectores unitarios también se denominan "Vectores de dirección". Cuando se utilizan vectores unitarios para escalar un vector, nos proporcionan la dirección de ese vector en particular. 

Por ejemplo, el vector v que se muestra a continuación tiene una magnitud de 3, pero este vector también se puede representar en términos del vector unitario a, cuya magnitud es 1, pero su dirección es noreste.

Los vectores unitarios se utilizan para escalar vectores en dos y tres dimensiones.

name="direcci-n-de-los-vectores-unitarios-nbsp-">Dirección de los vectores unitarios 

El vector unitario de cualquier vector v está obligado a existir en la misma dirección que el vector v. Esto se debe a que el vector unitario de cualquier vector actúa como una unidad de medida para el vector. Dado que la magnitud del vector unitario ya es 1, solo tiene en cuenta la dirección del vector v.

Es por esto que el vector unitario de cualquier vector v existe en la misma dirección que el vector v. Así como los componentes del vector no son vectores reales que existen en un lugar. De manera similar, un vector unitario no existe físicamente en el plano. Su único propósito es proporcionar una unidad de medida a cualquier vector y proporcionar al vector una dirección específica.

Ya sea que exista un vector en un plano bidimensional o tridimensional, el vector debe tener su vector unitario correspondiente. La misma fórmula se aplica para encontrar vectores unitarios tanto en dos dimensiones como en tres dimensiones. 

name="direcci-n-de-vectores-unitarios-en-dos-dimensiones">Dirección de vectores unitarios en dos dimensiones

En el caso de un plano bidimensional, un componente, el vector unitario, se dirige a lo largo del eje x mientras que el otro se dirige a lo largo del eje y.

Somos muy conscientes de que solo los dos ejes, xey, existen en dos dimensiones. Los vectores unitarios en dos dimensiones existen de la siguiente manera:

Consideremos un vector v, con magnitud 3, en dos dimensiones como se muestra en la figura (1.2). Este vector v también se puede describir en términos de los vectores unitarios, con vectores unitarios actuando como los componentes del vector v. Este vector también se puede escribir en términos de sus componentes de vector unitario de la siguiente manera: 

v = 2x ^ + 2.25y ^ 

name="direcci-n-de-vectores-unitarios-en-tres-dimensiones">Dirección de vectores unitarios en tres dimensiones

En tres dimensiones, se incluye un eje adicional, que se denomina eje z. 

Los vectores unitarios en tres dimensiones se pueden representar de la siguiente manera:

v = x ^ + y ^ + z ^

ejemplo 1

Determine cuál de los 2 vectores es un vector unitario 

(I) v  = 0.5x (^) + 0.86y (^) (ii) v = 2x ^ + 3y ^ 

Solución

Para encontrar los vectores unitarios, encontraremos la magnitud de estos dos vectores:

Primero resolvamos la ecuación (i):

v = 0.5x ^ + 0.86y ^

    | v | = √ ((0.5) ^ 2 + (0.86) ^ 2)

    | v | = 0.99 

    | v | ≅ 1

Entonces el vector (i) es un vector unitario. 

Veamos la ecuación (ii):

v = 2x ^ + 3y ^

    | v | = √ ((2) ^ 2 + (3) ^ 2)

    | v | = 3.6

Entonces, el vector (ii) no es un vector unitario. 

name="-c-mo-encontrar-un-vector-unitario-">¿Cómo encontrar un vector unitario?

Como solo se sabe que los vectores unitarios especifican la dirección de cualquier vector v, el vector unitario de cualquier vector v tiene la misma dirección que el vector v.Al realizar los cálculos de magnitud necesarios sobre el vector unitario determinado, puede ser evidente que el la magnitud parece ser 1. 

Ya hemos comentado que cualquier vector se puede representar en términos de sus vectores unitarios. De manera similar, podemos encontrar un vector unitario de cualquier vector dado que tenga la misma dirección que el vector dado. 

Los ejemplos pueden fortalecer este concepto. 

Entonces, en palabras más simples, podemos concluir que cada vector en un plano bidimensional o tridimensional está obligado a ir acompañado de su vector unitario responsable de representar la dirección del vector. 

Los vectores pueden existir en un plano bidimensional y tridimensional. De manera similar, sus vectores unitarios también pueden existir en estos planos. Cada vector unitario existe a lo largo de un eje particular, ya sea x, y o z, y es perpendicular a los ejes restantes.

name="f-rmula-para-encontrar-vectores-unitarios">Fórmula para encontrar vectores unitarios

Para cualquier vector v, su unidad de medida correspondiente, que es su vector unitario, existe en la dirección paralela al vector v y tiene una magnitud de 1. Este vector unitario se puede encontrar aplicando la siguiente fórmula:

Vector unitario = vector / magnitud del vector 

u = v / | v |

El vector unitario también se puede denotar por u.

Podemos resumir la búsqueda del vector unitario en 4 pasos básicos:

1. Tenga en cuenta el vector v con los componentes dados a lo largo de cada eje.
2. Encuentra la magnitud del vector v.
3. Divida los dos parámetros.
4. Verifique la magnitud del vector unitario obtenido como prueba.

Esta fórmula incluye dos parámetros, ambos basados ​​en el vector v. En el numerador, la fórmula muestra el vector v existiendo en un plano bidimensional o tridimensional. El denominador muestra la magnitud del vector v. Al dividir los dos parámetros, el vector unitario u del vector v es obtenido. 

Esta fórmula se puede extender a problemas bidimensionales y tridimensionales. 

name="encontrar-vectores-unitarios-en-dos-dimensiones">Encontrar vectores unitarios en dos dimensiones

En el plano bidimensional, el vector v estará representado por dos ejes perpendiculares, a saber, el eje xy el eje y. En notaciones matemáticas, el vector unitario a lo largo del eje x está representado por i ^, y el vector unitario a lo largo del eje y está representado por j ^. 

El vector v luego se puede escribir como:

v = xi ^ + yj ^ 

Para escribir estos vectores unitarios en formas planas, podemos hacer uso de paréntesis como a continuación:

v = (x,y) 

Por lo tanto, podemos reescribir la fórmula para encontrar el vector unitario de dos maneras:

u = v / | v |

u = v / √((x)^2 + (y)^2)

O también podemos escribirlo como:

u = (x,y) / √((x)^2 + (y)^2)

ejemplo 2

Encuentra el vector unitario del vector v dado como v = (3, 7)

Solución

Estamos familiarizados con la fórmula para encontrar el vector unitario:

u = v / | v |

Entonces, poniendo la magnitud:

u = (3, 7) / √ ((3) ^ 2 + (7) ^ 2)

u = (3, 7) / √ (58)

u = (3 / √58, 7 / √58)

Donde el vector u es el vector unitario. 

Prueba

Como prueba del ejemplo dado, encontraremos la magnitud de u:

u = (3 / √58, / √58)

| u | = √ (3 / √58) ^ 2 + (7 / √58) ^ 2)

| u | = √1

| u | = 1

Esta es una prueba de que el vector dado u es un vector unitario de v. 

ejemplo 3

Para el vector v = (-2, 3), encuentre su vector unitario. 

Solución

La fórmula para encontrar el vector unitario se expresa como:

u = v / | v |

Entonces, insertando la magnitud del vector v:

u = (-2, 3) / √ ((- 2) ^ 2 + (3) ^ 2)

u = (-2, 3) / √13

u = (-2 / √13, 3 / √13)

Dónde u es el vector unitario. 

Prueba

Como prueba del ejemplo dado, encontraremos la magnitud de u:

u = (-2 / √13, 3 / √13)

| u | = √ (- (2 / √13) ^ 2 + (3 / √13) ^ 2)

| u | = √0.99

| u | = 1

Esta es una prueba de que el vector dado u es un vector unitario de v. 

name="encontrar-vectores-unitarios-en-tres-dimensiones">Encontrar vectores unitarios en tres dimensiones

En el plano tridimensional, el vector v estará representado por tres ejes perpendiculares, a saber, el eje x, y y el eje z. En notaciones matemáticas, el vector unitario a lo largo del eje x está representado por i ^. El vector unitario a lo largo del eje y está representado por j ^, y el vector unitario a lo largo del eje z está representado por k ^. 

Por tanto, el vector v se puede escribir como:

v = xi ^ + yj ^ + zk ^

Para escribir estos vectores unitarios en formas planas, podemos hacer uso de paréntesis como a continuación:

v = (x, y, z) 

Por lo tanto, podemos reescribir la fórmula para encontrar el vector unitario de dos maneras:

u = v / | v |

u = v / √ ((x) ^ 2 + (y) ^ 2 + (z) ^ 2)

O también podemos escribirlo como:

u = (x, y, z) / √ ((x) ^ 2 + (y) ^ 2 + (z) ^ 2)

ejemplo 4

Para el vector v = (12, 3, -4), encuentre su vector unitario. 

Solución

Estamos familiarizados con la fórmula para encontrar el vector unitario:

u = v / | v |

Entonces, insertando los parámetros necesarios:

u = (12, 3, -4) / √ ((12) ^ 2 + (3) ^ 2 + (-4) ^ 2)

u = (12, 3, -4) / √169

u = (12, 3, -4) / 13

u = (12/13, 3/13, -4/13)

So u es el vector unitario requerido.

Prueba

Como prueba, encontremos la magnitud de u:

u = (12/13, 3/13, -4/13)

| u | = √ (12/13) ^ 2 + (3/13) ^ 2 + (-4/13) ^ 2)

| u | = (0.846 + 0.054 + 0.094)

| u | = √0.994

| u | = 1

Por tanto, se prueba que el vector u es el vector unitario de v. 

ejemplo 5

Encuentre el vector unitario del vector v = (2, 4, 1).

Solución

La fórmula para encontrar el vector unitario se expresa como:

u = v / | v |

Entonces, insertando los parámetros necesarios:

u = (2, 4, 1) / √ ((2) ^ 2 + (4) ^ 2 + (1) ^ 2)

u = (2, 4, 1) / √21

u = (2 / √21, 4 / √21, 1 / √21)

So u es el vector unitario requerido.

Prueba

Como prueba, encontremos la magnitud de u:

u = (2 / √21, 4 / √21, 1 / √21)

| u | = √ (2 / √21) ^ 2 + (4 / √21) ^ 2 + (1 / √21) ^ 2)

| u | = √0.99

| u | = 1

Por tanto, se prueba que el vector u es el vector unitario de v. 

name="propiedades-de-un-vector-unitario">Propiedades de un vector unitario

El contenido de este tema se puede resumir en las propiedades de un vector unitario de la siguiente manera:

1. Un vector unitario tiene una magnitud de 1.
2. Los vectores unitarios solo se utilizan para especificar la dirección de un vector.
3. Los vectores unitarios existen en planos bidimensionales y tridimensionales.
4. Cada vector tiene un vector unitario en la forma de sus componentes.
5. Los vectores unitarios de un vector se dirigen a lo largo de los ejes.
6. Los vectores unitarios de un vector son perpendiculares a los vectores unitarios correspondientes del mismo vector. 

name="problemas-de-pr-ctica">Problemas de práctica

1. Para un vector v dado, verifique si su vector unitario existe:      v = (1, 3)                v = (2, -1, 4) 
2. Encuentre el vector unitario del siguiente vector:       v = (-2, -4, -4)
3. Encuentre y demuestre mediante prueba el vector unitario del siguiente vector:       v = (2, -5) 
4. Encuentre y demuestre mediante prueba el vector unitario del siguiente vector:       v = (1, -1) 
5. Encuentre y demuestre mediante prueba el vector unitario del siguiente vector:       v = (0, -4) 

name="respuestas">respuestas

1. Sí Sí
2. (-2/6, -4/6, -4/6)
3. No
4. Sí
5. Sí