Volumen de la pirámide: explicación y ejemplos

A la pirámide es un diagrama tridimensional cuya base poligonal está conectada al ápice por caras triangulares en geometría. Las caras triangulares de una pirámide se conocen como caras laterales, y la distancia perpendicular desde el vértice (vértice) hasta la base de una pirámide se conoce como altura.

Las pirámides reciben el nombre de la forma de sus bases. Por ejemplo, una pirámide rectangular tiene una base rectangular, una pirámide triangular tiene una base triangular, una pirámide pentagonal tiene una base pentagonal, etc.

name="-c-mo-encontrar-el-volumen-de-una-pir-mide-">¿Cómo encontrar el volumen de una pirámide?

En este artículo, discutimos cómo encontrar el volumen de pirámides con diferentes tipos de bases y resolver problemas verbales que involucren el volumen de una pirámide.

El volumen de una pirámide se define como el número de unidades cúbicas ocupadas por la pirámide. Como se dijo antes, el nombre de una pirámide se deriva de la forma de su base. Por tanto, el volumen de una pirámide también depende de la forma de la base.

Para encontrar el volumen de la pirámide, solo necesita las dimensiones de la base y la altura.

name="volumen-de-una-f-rmula-piramidal">Volumen de una fórmula piramidal

El volumen general de una fórmula piramidal se da como:

Volumen de una pirámide = 1/3 x área de la base x altura.

V = 1/3 Ab h

Donde Ab = área de la base poligonal yh = altura de la pirámide.

Nota: El volumen de una pirámide varía ligeramente según la base poligonal.

ejemplo 1

Calcula el volumen de una pirámide rectangular cuya base es de 8 cm por 6 cm y la altura es de 10 cm.

Solución

Para una pirámide rectangular, la base es un rectángulo.

Área de un rectángulo = lxw

= 8 x 6

= 48 cm2.

Y por el volumen de una fórmula piramidal, tenemos,

Volumen de una pirámide = 1 / 3Abh

= 1/3 x 48 cm2 x 10 cm

= 160 cm3.

ejemplo 2

El volumen de una pirámide es de 80 mm3. Si la base de la pirámide es un rectángulo de 8 mm de largo y 6 mm de ancho, calcule la altura de la pirámide.

Solución

Volumen de una pirámide = 1 / 3Abh

⇒ 80 = 1/3 x (8 x 6) xh

⇒ 80 = 15.9 h

Al dividir ambos lados por 15.9, obtenemos,

h = 5

Por tanto, la altura de la pirámide es de 5 mm.

name="volumen-de-una-pir-mide-cuadrada">Volumen de una pirámide cuadrada

Para obtener la fórmula del volumen de una pirámide cuadrada, sustituimos el área de la base (Ab) con el área de un cuadrado (Área de un cuadrado = a2)

Por lo tanto, el volumen de una pirámide cuadrada se da como:

name="volumen-de-una-pir-mide-cuadrada">Volumen de una pirámide cuadrada = 1/3 x a2 xh

V = 1/3 a2 h

Donde a = longitud del lado de la base (un cuadrado) yh = altura de la pirámide.

ejemplo 3

Una pirámide cuadrada tiene una longitud de base de 13 cm y una altura de 20 cm. Calcula el volumen de la pirámide.

Solución

Dado:

Longitud de la base, a = 13 cm

altura = 20 cm

name="volumen-de-una-pir-mide-cuadrada">Volumen de una pirámide cuadrada = 1/3 a2 h

Por sustitución, tenemos,

Volumen = 1/3 x 13 x 13 x 20

= 1126.7 cm3

ejemplo 4

El volumen de una pirámide cuadrada es de 625 pies cúbicos. Si la altura de la pirámide es de 10 pies, ¿cuáles son las dimensiones de la base de la pirámide?

Solución

Dado:

Volumen = 625 pies cúbicos.

altura = 10 pies

Por el volumen de una fórmula cuadrada,

⇒ 625 = 1/3 a2 h

⇒ 625 = 1/3 x a2 x 10

⇒ 625 = 3.3a2

⇒ a2 = 187.5

⇒ a = = √187.5

a = 13.7 pies

Entonces, las dimensiones de la base serán 13.7 pies por 13.7 pies.

ejemplo 5

La longitud de la base de una pirámide cuadrada es el doble de la altura de la pirámide. Calcula las dimensiones de la pirámide si tiene un volumen de 48 yardas cúbicas.

Solución

Sea la altura de la pirámide = x

la longitud = 3x

volumen = 48 yardas cúbicas

Pero, el volumen de una pirámide cuadrada = 1/3 a2 h

Sustituir.

⇒ 48 = 1/3 (3x) 2 (x)

⇒ 48 = 1/3 (9x3)

⇒ 48 = 3x3

Divide ambos lados entre 3 para obtener,

⇒ x3 = 16

⇒ x = 3√16

x = 2.52

Por lo tanto, la altura de la pirámide = x ⇒2.53 yardas,

y cada lado de la base mide 7.56 yardas

name="volumen-de-una-pir-mide-trapezoidal">Volumen de una pirámide trapezoidal

Una pirámide trapezoidal es una pirámide cuya base es un trapecio o un trapezoide.

Como sabemos, el área de un trapezoide = h1 (b1 + b2) / 2

Donde h = altura del trapezoide

b1 y b2 son las longitudes de los dos lados paralelos de un trapezoide.

Dada la fórmula general para el volumen de una pirámide, podemos derivar la fórmula para el volumen de una pirámide trapezoidal como:

name="volumen-de-una-pir-mide-trapezoidal">Volumen de una pirámide trapezoidal = 1/6 [h1 (b1 + b2)] H

Nota: Cuando use esta fórmula, recuerde siempre que h es la altura de la base trapezoidal y H es la altura de la pirámide.

ejemplo 6

La base de una pirámide es un trapezoide con lados paralelos de 5 my 8 my una altura de 6 m. Si la pirámide tiene una altura de 15 m, calcule el volumen de la pirámide.

Solución

Dado;

h = 6 m, H = 15 m, b1 = 5 my b2 = 8 m

name="volumen-de-una-pir-mide-trapezoidal">Volumen de una pirámide trapezoidal = 1/6 [h1 (b1 + b2)] h

= 1/6 x 6 x 15 (5 + 8)

= 15 x 13

= 195 m3.

name="volumen-de-una-pir-mide-triangular">Volumen de una pirámide triangular

Como sabemos, el área de un triángulo;

Área de un triángulo = 1/2 bh

name="volumen-de-una-pir-mide-triangular">Volumen de una pirámide triangular = 1/3 (1/2 bh) H

Donde byh son la longitud y la altura de la base del triángulo. H es la altura de la pirámide.

ejemplo 7

Encuentre el área de una pirámide triangular cuya base es de 144 pulg2 y la altura es de 18 pulg.

Solución

Dado:

Área de la base = 144 pulg2

H = 18 pulg.

name="volumen-de-una-pir-mide-triangular">Volumen de una pirámide triangular = 1/3 (1/2 bh) H

= 1/3 x 144 x 18

= 864 pulg3

name="problemas-de-pr-ctica">Problemas de práctica

1. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de 12 unidades de altura con una base rectangular que mide 8 unidades por 9 unidades?
2. Considere una pirámide con una base de triángulo isósceles que tiene dos lados de 14 unidades de longitud cada uno y 16 unidades. Calcula el volumen de la pirámide si su altura es de 22 unidades.
3. Considere una pirámide con una base cuadrada de 11 cm cada una. Si el volumen de esta pirámide es de 520 cm3, ¿cuál es la altura de esta pirámide?