Si sabe cómo resolver problemas verbales que involucran la suma de números enteros pares consecutivos, debería poder resolver fácilmente problemas verbales que involucren el suma de enteros impares consecutivos. La clave es tener una buena comprensión de qué son los números enteros impares y cómo se pueden representar los números enteros impares consecutivos.
Enteros impares
Si recuerda, un entero par siempre es 2 veces un número. Por tanto, la forma general de un número par es n = 2k, donde k es un número entero.
Entonces, ¿qué significa cuando decimos que un número entero es impar? Bueno, significa que es uno menos o uno más que un número par. En otras palabras, los números enteros impares son una unidad menos o una unidad más de un número par.
Por lo tanto, la forma general de un entero impar se puede expresar como n es n = 2k-1 o n = 2k + 1, donde k es un número entero.
Observe que si le dan un número entero par, ese entero par siempre está entre dos números enteros impares. Por ejemplo, el número entero par 4 está entre 3 y 5.
Para ilustrar este simple hecho, eche un vistazo al diagrama a continuación.
Como puede ver, no importa el número entero par que tengamos, siempre estará entre dos números enteros impares. Este diagrama también ilustra que un número entero impar se puede representar con n = 2k-1 o n = 2k + 1, donde k es un número entero.
Enteros impares consecutivos
Los números enteros impares consecutivos son números enteros impares que se suceden en secuencia. Puede que le resulte difícil de creer, pero al igual que los números enteros pares, un par de números enteros impares consecutivos también están separados por 2 unidades. En pocas palabras, si selecciona cualquier número entero impar de un conjunto de números enteros impares consecutivos, luego lo resta por el anterior, su diferencia será +2 o simplemente 2.
He aquí algunos ejemplos:
Al resolver problemas de palabras, realmente no importa qué formas generales de un entero impar uses. Ya sea que use 2k-1 o 2k + 1, la solución final será la misma.
Para demostrártelo, resolveremos el primer problema verbal de dos formas. Luego, para el resto de los problemas verbales, usaremos la forma 2k-1 o 2k + 1.
Ejemplos de resolución de la suma de enteros impares consecutivos
Ejemplo 1: Encuentra los tres números enteros impares consecutivos cuya suma es 45.
MÉTODO 1
Resolveremos este problema verbal usando 2k + 1, que es una de las formas generales de un número entero impar.
Sea 2k + 1 el primer entero impar. Dado que los enteros impares también están separados por 2 unidades, el segundo entero impar consecutivo será 2 más que el primero. Por lo tanto, izquierda ({2k + 1} derecha) + izquierda (2 derecha) = 2k + 3 donde 2k + 3 es el segunda entero impar consecutivo. La tercera el entero impar será la izquierda ({2k + 3} derecha) + izquierda (2 derecha) = 2k + 5.
La suma de nuestros tres números enteros impares consecutivos es 45, por lo que la configuración de nuestra ecuación será:
Ahora que tenemos nuestra ecuación, procedamos y despejemos k.
En este punto, tenemos el valor de k. Sin embargo, tenga en cuenta que k NO es el primer número entero impar. Si revisa la ecuación anterior, el primer entero impar consecutivo es 2k + 1. Entonces, en su lugar, usaremos el valor de k para encontrar el primer entero impar consecutivo. Por lo tanto,
Usaremos el valor de k nuevamente para determinar cuáles son el segundo y tercer enteros impares.
Segundo entero impar:
Tercer entero impar:
Finalmente, verifiquemos si la suma de los tres números enteros impares consecutivos es de hecho 45.
Respuesta final (método 1): Los tres números enteros impares consecutivos son 13, 15 y 17, que cuando se suman, dan como resultado 45.
MÉTODO 2
Esta vez, resolveremos el problema verbal usando 2k-1, que también es una de las formas generales de un número entero impar.
Sea 2k-1 el primeras entero impar consecutivo. Como se discutió en el Método 1, los números enteros impares también están separados por 2 unidades. Por lo tanto, podemos representar nuestro segunda entero impar consecutivo como izquierda ({2k - 1} derecha) + izquierda (2 derecha) = 2k + 1 y el tercera entero impar consecutivo como izquierda ({2k + 1} derecha) + izquierda (2 derecha) = 2k + 3.
- 1er entero impar: 2k-1
- 2do entero impar: 2k + 1
- 3er entero impar: 2k + 3
Ahora que sabemos cómo representar cada entero impar consecutivo, simplemente tenemos que traducir “tres números enteros impares consecutivos cuya suma es {45}” en una ecuación.
Proceda y resuelva para k.
Usemos ahora el valor de k que es k = 7, para determinar los tres enteros consecutivos
- Primer entero impar:
- Segundo entero impar:
- Tercer entero impar:
El último paso que debemos hacer es verificar que la suma de 13, 15 y 17 sea, de hecho, 45.
Respuesta final (método 2): Los tres números enteros impares consecutivos cuya suma es 45 son 13, 15 y 17.
RESUMEN DEL PROBLEMA: Entonces, ¿qué hemos aprendido al resolver este problema usando 2k-1 y 2k + 1? Bueno, para empezar, pudimos ver que si usamos 2k-1 o 2k + 1, todavía obtuvimos los mismos tres números enteros impares consecutivos 13, 15 y 17 cuya suma es 45, por lo tanto satisfaciendo los hechos dados en nuestro original. problema. Entonces, está claro que no importa qué forma general de enteros impares usemos. Ya sea 2k-1 o 2k + 1, todavía llegaremos a la misma solución o respuesta final.
Ejemplo 2: La suma de cuatro números enteros impares consecutivos es 160. Halla los números enteros.
Antes de comenzar a resolver este problema, determinemos los hechos importantes que se nos brindan.
¿Qué sabemos?
- Los enteros son impares y consecutivos
- La suma de los enteros consecutivos es 160, lo que también implica que debemos sumar los enteros
- Los números enteros difieren en {2} unidades
- Cada entero es {2} más que el entero anterior
Con estos hechos en mente, ahora podemos representar nuestros cuatro números enteros impares consecutivos. Pero aunque podemos usar cualquiera de las dos formas generales de números enteros impares, es decir, 2k-1 o 2k + 1, solo usaremos 2k + 1 para representar nuestro primer entero consecutivo impar en este problema.
Sean {2k + 1}, {2k + 3}, {2k + 5} y {2k + 7} los cuatro números enteros impares consecutivos.
Continúe escribiendo la ecuación y luego resuelva para k.
Muy bien, obtuvimos k = 18. ¿Es este nuestro primer número entero impar? La respuesta es no. Nuevamente, recuerde que k NO es el primer entero impar. Pero en cambio, usaremos su valor para encontrar cuáles son nuestros números enteros impares consecutivos.
Lo que nos queda por hacer es comprobar si {160} es de hecho la suma de los números enteros impares consecutivos {37}, {39}, {41} y {43}.
Ejemplo 3: Encuentra los tres números enteros impares consecutivos cuya suma es -321.
Hechos importantes:
- Necesitamos AGREGAR tres enteros que sean consecutivos
- Dado que los números enteros son impares, están separados por {2} unidades
- La suma de los tres números enteros impares consecutivos debe ser {-321}
- La secuencia de números enteros impares probablemente involucrará números enteros negativos
Representa los tres números enteros impares consecutivos. Para este problema, usaremos la forma general 2k-1 para representar nuestro primer entero impar consecutivo. Y dado que los enteros impares están separados por 2 unidades, entonces tenemos 2k + 1 como nuestro segundo, y 2k + 3 como nuestro tercer entero consecutivo.
Luego, traduzca “tres números enteros impares consecutivos cuya suma sea {-321}” en una ecuación y resuelva para k.
Tome el valor de k que es -54 y utilícelo para identificar los tres números enteros impares consecutivos.
Finalmente, verifique que cuando se agregan los tres números enteros impares consecutivos {-109}, {-107} y {-105}, la suma es -321.
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