Evaluación de límites: métodos, explicación y ejemplos
En sus clases de precálculo y cálculo, se le pedirá que evalúe los límites de diferentes funciones. Este artículo se centrará en las técnicas comunes que necesitaremos para evaluar los límites de diferentes funciones.
La evaluación de límites hace uso de diferentes técnicas que nos obligarán a actualizar nuestro conocimiento sobre la evaluación, factorización y racionalización de factores. Estas técnicas harán que la evaluación de los límites sea más rápida.
Encontrar límites puede ser tan sencillo como evaluar los valores de las funciones a algo tan complejo como manipular las funciones para que podamos encontrar su límite.
name="-c-mo-evaluar-los-l-mites-">¿Cómo evaluar los límites?
En esta sección, aprenderemos las diferentes técnicas que nos ayudarán a evaluar los límites de funciones simples y complejas.
Estas son algunas de las técnicas que aprenderemos en este artículo:
Los límites de las funciones trigonométricas también se pueden manipular utilizando propiedades especiales, pero escribimos un artículo aparte. La mayoría de estas técnicas utilizarán conceptos algebraicos, por lo que esta sección también es una excelente manera de actualizar nuestro conocimiento pasado.
name="evaluaci-n-de-l-mites-por-sustituci-n">Evaluación de límites por sustitución
Existe una gran cantidad de funciones cuyos límites se pueden evaluar por sustitución. En general, $ lim_ {x flecha derecha a} f (x) $ se puede determinar hallando $ f (a) $. Esto significa que el límite de una función cuando $ x $ se acerca a $ a $ puede evaluarse sustituyendo $ a $ en la expresión de la función.
Aquí hay un ejemplo de cómo podemos usar el método de sustitución para evaluar el límite de $ f (x) = -4x ^ 2 + 12x - 20 $ como $ x flecha derecha -2 $.
$ begin {align} lim_ {xrightarrow {color {blue} -2}} f (x) & = f ({color {blue} -2}) & = -4 ({color {blue} -2}) ^ 2 + 12 ({color {azul} -2}) -20 & = -4 (4) - 24-20 & = - 60 fin {alineado} $
Esto significa que $ lim_ {x flecha derecha -2} -4x ^ 2 + 12x - 20 $ es igual a $ -60 $. El límite de funciones polinomiales, en general, se puede evaluar utilizando esta técnica.
¡También podemos aplicar un proceso similar para otras funciones! Esto suena simple, ¿verdad? Entonces, ¿por qué no usamos esta técnica para todas las funciones?
Hay casos en los que evaluamos $ f (a) $ y obtenemos $ dfrac {0} {0} $ y $ dfrac {k} {0} $, donde $ k $ es una constante. Cuando esto suceda, tendremos que aplicar otras técnicas para encontrar el límite de la función dada.
name="evaluaci-n-de-l-mites-factorizando">Evaluación de límites factorizando
Una técnica que puede ayudarnos cuando la sustitución no es una opción es factorizar la función. Normalmente usamos esto para encontrar los límites de funciones racionales, pero la sustitución devuelve $ dfrac {0} {0} $ o $ dfrac {k} {0} $, donde $ k $ es una constante.
Cuando esto sucede, podemos factorizar tanto el numerador como el denominador de la función y ver si podemos eliminar el factor que hace que el denominador sea igual a $ 0 $. Una vez que lo hacemos, ese es el momento en que aplicamos el método de sustitución.
¿Por qué no inspeccionamos $ lim_ {x rightarrow -2} dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 4x + 4} $? Veamos qué sucede si sustituimos $ -2 $ en la expresión.
$ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha -2} dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 6x + 8} & = dfrac {(- 2) ^ 2 + 5 (-2) + 6} {(-2) ^ 2 + 6 (-2) + 8} & = dfrac {4-10 +6} {4 - 12 + 8} & = color {red} dfrac {0} {0} end { alineado} $
Al ver que esto devuelve un valor no válido, podemos expresar tanto el denominador como el numerador en formas factorizadas y ver si podemos cancelar los factores comunes.
$ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha -2} dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 6x + 8} & = lim_ {x flecha derecha -2} dfrac {(x +2) (x + 3)} {(x + 2) (x + 4)} & = lim_ {x flecha derecha -2} dfrac {{color {azul} cancelar {(x +2)}} (x +3)} {{color {azul} cancelar {(x +2)}} (x + 4)} & = lim_ {x flecha derecha -2} dfrac {x + 3} {x + 4} \ lim_ {x flecha derecha -2} dfrac { x + 3} {x + 4} & = dfrac {{color {azul} -2} +3} {{color {azul} -2} +4} & = dfrac {1} {2} final {alineado} PS
Después de cancelar el factor común, podemos aplicar el método de sustitución como se muestra arriba. Por tanto, $ lim_ {x flecha derecha -2} dfrac {x ^ 2 + 5x + 6} {x ^ 2 + 4x + 4} = dfrac {1} {2} $.
Este método generalmente se aplica para $ lim_ {xrightarrow a} f (x) $, donde $ f (x) $ es una función racional y $ a $ es una raíz del denominador de $ f (x) $.
name="evaluar-l-mites-mediante-el-uso-de-conjugados">Evaluar límites mediante el uso de conjugados
Otra técnica que nos ayuda a la hora de evaluar límites es el uso de conjugados y revertir la racionalización realizada sobre la función.
Esta técnica se usa generalmente cuando queremos encontrar $ lim_ {xrightarrow a} f (x) $ y estamos trabajando con una función que contiene expresiones radicales, y $ a $ es una raíz del denominador. Para aplicar esta técnica, aplicaremos los siguientes pasos:
- Encuentra el conjugado del numerador.
- Multiplica tanto el numerador como el denominador por el conjugado.
- Una vez que la nueva función no devuelva $ dfrac {0} {0} $, aplique el método de sustitución.
Echemos un vistazo a $ lim_ {x rightarrow 0} dfrac {sqrt {x + 4} -2} {x} $?
$ begin {align} lim_ {x rightarrow 0} dfrac {sqrt {x + 4} -2} {x} & = dfrac {sqrt {0 + 4} -2} {0} & = dfrac {2 - 2} {0} & = color {red} dfrac {0} {0} end {alineado} $
Como puede verse, la sustitución directa no será posible para este ejemplo. Lo que podemos hacer en cambio es multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado de $ sqrt {x + 4} -2 $, que es igual a $ sqrt {x + 4} + 2 $.
No olvide aplicar la propiedad de la diferencia de dos cuadrados, $ (a - b) (a + b) = a ^ 2 - b ^ 2 $, para expandir el numerador.
$ begin {align} lim_ {x rightarrow 0} dfrac {sqrt {x + 4} -2} {x} cdot dfrac {color {blue} sqrt {x + 4} + 2} {color {blue} sqrt {x + 4} + 2} & = lim_ {x flecha derecha 0} dfrac {(sqrt {x + 4} -2) (sqrt {x + 4} +2)} {x (sqrt {x + 4} + 2)} & = lim_ {x flecha derecha 0} dfrac {(sqrt {x + 4}) ^ 2- (2) ^ 2} {x (sqrt {x + 4} + 2)} & = lim_ {x flecha derecha 0} dfrac {x + 4 - 4} {x (sqrt {x + 4} + 2)} & = lim_ {x rightarrow 0} dfrac {cancelar {x}} {cancelar {x} (sqrt {x + 4} + 2 )} & = lim_ {x flecha derecha 0} dfrac {1} {sqrt {x + 4} + 2} final {alineado} $
Una vez que hemos reescrito la función para que la función no devuelva un valor indeterminado, ahora podemos sustituir $ x = 0 $ en la nueva expresión.
$ begin {align} lim_ {x rightarrow 0} dfrac {1} {sqrt {x + 4} + 2} & = dfrac {1} {sqrt {{color {blue} 0} + 4} + 2} & = dfrac {1} {sqrt {4} +2} & = dfrac {1} {2 + 2} & = dfrac {1} {4} final {alineado} $
Esto significa que $ lim_ {x rightarrow 0} dfrac {sqrt {x + 4} -2} {x} = dfrac {1} {4} $ y pudimos evaluar el límite usando los conjugados del numerador.
name="evaluar-l-mites-mediante-manipulaci-n-algebraica">Evaluar límites mediante manipulación algebraica
Hay casos en los que la forma de la función proporcionada en el problema debe manipularse primero antes de que podamos encontrar el límite de la función. Si la sustitución no se aplica a nuestro problema, lo que podemos hacer son:
- Inspeccione si podemos simplificar más el numerador o denominador.
- Si trabaja con una función racional, vea qué sucede cuando dividimos tanto su numerador como su denominador por $ dfrac {1} {x ^ n} $, donde $ n $ es el grado más alto encontrado.
- Si el numerador contiene fracciones, multiplique tanto el denominador como el denominador por el mínimo denominador común compartido por los términos del numerador.
Puede encontrar más situaciones en los siguientes ejemplos, pero no tiene que preocuparse. Los conceptos que podría necesitar para evaluar el límite de funciones únicas son conceptos que ya hemos aprendido en el pasado.
Aproveche esta oportunidad para repasar también lo que ha aprendido en sus clases de matemáticas anteriores. Probemos con un ejemplo evaluando el límite de $ f (x) = dfrac {dfrac {1} {x ^ 2} - dfrac {1} {4}} {x - 2} $ cuando $ x $ se acerca a $ 2 $.
Si simplificamos la sustitución $ x = 2 $ en la expresión de $ f (x) $, terminamos con $ dfrac {0} {0} $ como se muestra a continuación.
$ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha 2} dfrac {dfrac {1} {x ^ 2} -dfrac {1} {4}} {x - 2} & = dfrac {dfrac {1} {2 ^ 2} - dfrac {1} {4}} {2 - 2} & = dfrac {dfrac {1} {4} -dfrac {1} {4}} {2 - 2} & = color {red} dfrac {0} {0} final {alineado} $
Observe que el numerador también contiene fracciones, por lo que lo que podemos hacer es multiplicar tanto el numerador como el denominador por el denominador común de $ dfrac {1} {x ^ 2} $ y $ dfrac {1} {4} $, que es igual a $ 4x ^ 2 $.
$ begin {align} lim_ {x rightarrow 2} dfrac {dfrac {1} {x ^ 2} -dfrac {1} {4}} {x - 2} cdot dfrac {color {blue} 4x ^ 2} {color { azul} 4x ^ 2} & = lim_ {x flecha derecha 2} dfrac {dfrac {1} {x ^ 2} cdot {color {azul} 4x ^ 2} -dfrac {1} {4} cdot {color {azul} 4x ^ 2}} {(x - 2) cdot {color {azul} 4x ^ 2}} & = lim_ {x flecha derecha 2} dfrac {4 - x ^ 2} {4x ^ 2 (x - 2)} end { alineado} $
Todavía tenemos $ (x - 2) $ en el denominador, así que para eliminar esto, podemos multiplicar $ -1 $ tanto para el numerador como para el denominador. Luego podemos factorizar $ x ^ 2 - 4 $ usando la propiedad de la diferencia de dos cuadrados, $ a ^ 2 - b ^ 2 = (a - b) (a + b) $.
$ begin {alineado} lim_ {x flecha derecha 2} dfrac {4 - x ^ 2} {4x ^ 2 (x - 2)} cdot dfrac {color {azul} -1} {color {azul} -1} & = lim_ {x flecha derecha 2} dfrac {x ^ 2 - 4} {- 4x ^ 2 (x - 2)} & = lim_ {x flecha derecha 2} dfrac {(x - 2) (x + 2)} {- 4x ^ 2 (x - 2)} & = lim_ {x flecha derecha 2} dfrac {{color {azul} cancelar {(x - 2)}} (x + 2)} {- 4x ^ 2 {color {azul} cancelar { (x - 2)}}} & = lim_ {x flecha derecha 2} dfrac {x + 2} {- 4x ^ 2} final {alineado} $
Una vez que tengamos esta nueva forma para $ f (x) $, ahora podemos sustituir $ x = 2 $ en la expresión para encontrar el límite de $ f (x) $.
$ begin {align} lim_ {x rightarrow 2} dfrac {x + 2} {- 4x ^ 2} & = dfrac {{color {blue} 2} + 2} {- 4 ({color {blue} 2}) ^ 2} & = dfrac {4} {- 4 (4)} & = - dfrac {1} {4} final {alineado} $
Esto muestra que a través de la manipulación algebraica, tenemos $ lim_ {x rightarrow 2} dfrac {dfrac {1} {x ^ 2} -dfrac {1} {4}} {x - 2} = -dfrac {1} {4} PS
Estos son todos los conceptos que necesitará hasta ahora para evaluar una amplia gama de límites de funciones. ¿Estás listo para aplicar todo lo que acabas de aprender de este artículo? ¡Pruebe estos ejemplos y practique los problemas que se muestran a continuación!
Evalúa el límite de las siguientes expresiones.
una. $ lim_ {x flecha derecha 4} -2x ^ 2 + 5x - 3 $
B. $ lim_ {x flecha derecha -2} dfrac {x - 1} {3x} $
C. $ lim_ {x flecha derecha 0} sqrt {16 - x ^ 2} $
Solución
Podemos ver que la primera expresión es una función polinomial, por lo que podemos usar el método de sustitución para evaluar el límite de la expresión.
$ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha 4} -2x ^ 2 + 5x - 3 & = - {color {azul} (2)} ^ 2 + 5 {color {azul} (2)} - 3 & = - 4 + 10 - 3 & = 3end {alineado} $
una. Por tanto, $ lim_ {x flecha derecha 4} -2x ^ 2 + 5x - 3 = 3 $.
La segunda expresión muestra una función racional. Es posible que tenga la tentación de cancelar factores, pero siempre vea si el método de sustitución se aplica primero.
$ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha -2} dfrac {x - 1} {3x} & = dfrac {{color {azul} -2} - 1} {3 {color {azul} (- 2)}} & = dfrac {-3} {- 6} & = dfrac {1} {2} final {alineado} $
B. Esto significa que $ lim_ {x flecha derecha -2} dfrac {x - 1} {3x} = dfrac {1} {2} $.
Usando el mismo proceso, echemos un vistazo al límite evaluado para la tercera expresión.
$ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha 0} sqrt {16 - x ^ 2} & = sqrt {16 - {color {blue} (0)} ^ 2} & = sqrt {16} & = 4end {alineado PS
C. A partir de esto, podemos ver que $ lim_ {x rightarrow 0} sqrt {16 - x ^ 2} = 0 $.
Estos tres ejemplos nos han mostrado y recordado que, siempre que sea posible, analicemos primero la posibilidad de que el límite pueda evaluarse mediante sustitución antes de aplicar técnicas más complejas.
Evalúe el límite de $ f (x) = dfrac {x ^ 4 - 81} {x - 3} $ cuando $ x $ se acerca a $ 3 $.
Solución
Como siempre, asegurémonos de que podemos usar el método de sustitución en esta función.
$ begin {align} lim_ {x rightarrow 3} dfrac {x ^ 4 - 81} {x - 3} & = dfrac {{color {blue} 3} ^ 4 - 81} {{color {blue} 3} - 3 } & = dfrac {81 - 81} {3 - 3} & = color {red} dfrac {0} {0} final {alineado} $
Una inspección rápida del denominador también le dirá que será $ 0 $ cuando $ x flecha derecha 3 $.
Para eliminar $ x - 3 $ en el denominador, podemos factorizar el numerador usando la diferencia de dos cuadrados dos veces.
$ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha 3} dfrac {x ^ 4 - 81} {x - 3} & = lim_ {x flecha derecha 3} dfrac {(x ^ 2 + 9) (x ^ 2 - 9)} { x - 3} & = lim_ {x flecha derecha 3} dfrac {(x ^ 2 + 9) (x + 3) {cancelar {color {azul} (x - 3)}}} {cancelar {color {azul} x - 3}} & = lim_ {x flecha derecha 3} (x ^ 2 + 9) (x + 3) final {alineado} $
Ahora que tenemos una función polinomial, podemos sustituir $ x = 3 $ en la expresión simplificada.
$ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha 3} (x ^ 2 + 9) (x + 3) & = ({color {azul} 3} ^ 2 + 9) ({color {azul} 3} + 3) & = (18) (6) & = 108end {alineado} $
Esto significa que al factorizar y simplificar la expresión, $ lim_ {x flecha derecha 3} dfrac {x ^ 4 - 81} {x - 3} = 108 $.
Evalúe el límite de $ f (x) = dfrac {sqrt {x + 8} - 4} {x - 8} $ cuando $ x $ se acerca a $ 8 $.
Solución
Primero revisemos dos veces y veamos si podemos sustituir directamente $ x = 3 $ en la expresión.
$ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha 8} dfrac {sqrt {x + 8} - 4} {x - 8} & = dfrac {sqrt {8 + 8} - 4} {8 - 8} & = dfrac { 4 - 4} {8 - 8} & = color {red} dfrac {0} {0} end {align} $
A partir de esto, podemos ver que primero necesitaremos manipular $ f (x) $. Dado que el numerador contiene una expresión radical en su numerador, multiplicamos tanto el numerador como el denominador por $ sqrt {x + 8} - 4 $.
$ begin {align} lim_ {x flecha derecha 8} dfrac {sqrt {x + 8} - 4} {x - 8} cdot dfrac {color {blue} sqrt {x + 8} + 4} {color {blue} sqrt { x + 8} + 4} & = lim_ {x flecha derecha 8} dfrac {(sqrt {x + 8} - 4) color {blue} (sqrt {x + 8} + 4)} {(x - 8) color { blue} (sqrt {x + 8} + 4)} & = lim_ {x rightarrow 8} dfrac {(sqrt {x + 8}) ^ 2 - (4) ^ 2} {(x - 8) (sqrt { x + 8} + 4)} & = lim_ {x flecha derecha 8} dfrac {x + 8 - 16} {(x - 8) (sqrt {x + 8} + 4)} & = lim_ {x flecha derecha 8 } dfrac {x -8} {(x - 8) (sqrt {x + 8} + 4)} final {alineado} $
El numerador también se simplificó con el uso de la diferencia de dos cuadrados. Ahora que podemos ver un factor común, $ x - 8 $, compartido por el numerador y el denominador, podemos cancelarlo para evaluar $ lim_ {x flecha derecha 8} f (x) $ por sustitución.
$ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha 8} dfrac {cancelar {color {azul} x -8}} {cancelar {color {azul} (x -8)} (sqrt {x + 8} + 4)} & = lim_ {x flecha derecha 8} dfrac {1} {sqrt {x + 8} + 4} \ lim_ {x flecha derecha 8} dfrac {1} {sqrt {x + 8} + 4} & = dfrac {1} {sqrt {{color {azul} 8} + 8} + 4} & = dfrac {1} {sqrt {16} +4} & = dfrac {1} {8} end {alineado} $
Esto significa que $ lim_ {x flecha derecha 8} dfrac {sqrt {x + 8} - 4} {x - 8} = dfrac {1} {8} $ y pudimos evaluar esto invirtiendo la racionalización de la expresión.
Evalúe el límite de $ f (x) = dfrac {dfrac {x} {2-x} + dfrac {3} {4}} {x + 6} $ cuando $ x $ se acerca a $ -6 $.
Solución
No podemos evaluar $ lim_ {x rightarrow -6} f (x) $ por sustitución como lo confirman los cálculos que se muestran a continuación.
$ begin {align} lim_ {x flecha derecha -6} dfrac {dfrac {x} {2-x} + dfrac {3} {4}} {x + 6} & = dfrac {dfrac {color {azul} -6} {2 colores {azul} (- 6)} + dfrac {3} {4}} {{color {azul} (- 6)} + 6} & = dfrac {-dfrac {3} {4} + dfrac {3} {4}} {- 6 + 6} & = color {red} dfrac {0} {0} end {align} $
Dado que el numerador contiene dos fracciones, primero podemos multiplicar el numerador y denominador de $ f (x) $ por el mínimo denominador común de $ dfrac {x} {2-x} $ y $ dfrac {3} {4} $, que es $ 4 (2 - x) $.
$ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha -6} dfrac {dfrac {x} {2-x} + dfrac {3} {4}} {x + 6} cdot dfrac {color {azul} 4 (2 - x) } {color {azul} 4 (2 - x)} & = lim_ {x flecha derecha -6} dfrac {dfrac {x} {2-x} cdot {color {azul} 4 (2 - x)} + dfrac {3 } {4} cdot {color {azul} 4 (2 - x)}} {(x + 6) [{color {azul} 4 (2 - x)}]} & = lim_ {x flecha derecha -6} dfrac {4x + 3 (2 -x)} {4 (x + 6) (2 - x)} final {alineado} $
Simplifique la nueva forma del numerador y vea si contiene un factor común compartido con el denominador para cancelarlo.
$ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha -6} dfrac {4x + 3 (2 -x)} {4 (x + 6) (2 - x)} & = lim_ {x flecha derecha -6} dfrac {4x + 6 - 3x} {4 (x + 6) (2 - x)} & = lim_ {x flecha derecha -6} dfrac {4x + 6} {4 (x + 6) (2 - x)} & = lim_ { x flecha derecha -6} dfrac {cancelar {color {azul} 4x + 6}} {4cancel {color {azul} (4x + 6)} (2 - x)} & = lim_ {x flecha derecha -6} dfrac {1 } {4 (2 - x)} final {alineado} $
Con la nueva expresión para $ f (x) $, ahora podemos evaluar $ lim_ {x rightarrow -6} f (x) $ encontrando $ f (-6) $.
$ comenzar {alineado} lim_ {x flecha derecha -6} dfrac {1} {4 (2 - x)} & = dfrac {1} {4 [2 - {color {azul} (- 6)}]} & = dfrac {1} {4 (8)} & = dfrac {1} {32} final {alineado} $
Por tanto, tenemos $ lim_ {x flecha derecha -6} dfrac {dfrac {x} {2-x} + dfrac {3} {4}} {x + 6} = dfrac {1} {32} $.
Este ejemplo en particular nos muestra lo importante que es para nosotros aplicar manipulaciones algebraicas para la mayoría de funciones complejas para encontrar el límite. Esto significa que necesitaremos dominar todos estos conceptos para evaluar los límites más rápido.
Otra forma de evaluar los límites es el uso de tecnología como nuestras calculadoras y utilidades gráficas. Construya una tabla de valores con valores cercanos a $ -6 $ y compare este resultado con nuestra respuesta en la Respuesta 4.
De los valores cercanos a $ x = 6 $, podemos ver que $ f (x) $ está cerca de $ 0.0313 $. Este valor en realidad tiene sentido, ya que del ejemplo 4, tenemos $ lim_ {x flecha derecha -6} f (x) = dfrac {1} {32} $. Tenga en cuenta que $ dfrac {1} {32} = 0.03125 $ que está cerca de $ 0.0313 $ (este también es el resultado cuando estimamos $ dfrac {1} {32} $ a los tres lugares decimales.
Esto significa que cuando todo lo demás y las técnicas no se aplican, también podemos usar la tecnología para estimar el límite de la función.
name="preguntas-de-pr-ctica">Preguntas de práctica
1. Evalúe el límite de las siguientes expresiones.
una. $ lim_ {x flecha derecha 3} -5x ^ 2 + 12x - 18 $
B. $ lim_ {x flecha derecha 5} dfrac {2x + 3} {5x} $
C. $ lim_ {x flecha derecha pi} sqrt {pi ^ 2 - x ^ 2} $
2. Evalúe el límite de $ f (x) = dfrac {x ^ 4 - 256} {x - 4} $ cuando $ x $ se acerca a $ 4 $.
3. Evalúe el límite de $ f (x) = dfrac {sqrt {x + 20} - 6} {x - 16} $ cuando $ x $ se acerca a $ 16 $
4. Evalúe el límite de $ f (x) = dfrac {x ^ {- 1} - 4} {x - dfrac {1} {4}} $ cuando $ x $ se acerca a $ dfrac {1} {4} $.
5. Evalúe el límite de $ f (x) = dfrac {dfrac {x} {5-x} + dfrac {2} {3}} {x + 10} $ cuando $ x $ se acerca a $ -10 $.
name="clave-de-respuestas">clave de respuestas
1.
B. $ dfrac {13} {25} $ o $ 0.52 $
Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.
