├üngulos en pol├şgonos: explicaci├│n y ejemplos

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Judit Llordes
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├üngulos en pol├şgonos: explicaci├│n y ejemplos

El pol├şgono no se trata solo de los lados. Puede haber escenarios en los que tenga m├ís de una forma con el mismo n├║mero de lados.


┬┐C├│mo diferenciarlos entonces?
¡ANGLOS!

El ejemplo más simple es que tanto el rectángulo como el paralelogramo tienen 4 lados cada uno, y los lados opuestos son paralelos e iguales en longitud. La diferencia radica en los ángulos, donde un rectángulo tiene ángulos de 90 grados en sus 4 lados, mientras que un paralelogramo tiene ángulos opuestos de igual medida.


En este art├şculo, aprender├í:

  • ┬┐C├│mo encontrar el ├íngulo de un pol├şgono?
  • ├üngulos interiores de un pol├şgono.
  • ├üngulos exteriores de un pol├şgono.
  • C├│mo calcular el tama├▒o de cada ├íngulo interior y exterior de un pol├şgono regular.
     

┬┐C├│mo encontrar los ├íngulos de un pol├şgono?

Sabemos que un pol├şgono es una figura bidimensional de varios lados formada por segmentos de l├şnea recta. La suma de los ├íngulos de un pol├şgono es la medida total de todos los ├íngulos interiores de un pol├şgono.

Dado que todos los ├íngulos dentro de los pol├şgonos son iguales. Por lo tanto, la f├│rmula para encontrar los ├íngulos de un pol├şgono regular viene dada por;


Suma de ángulos interiores = 180 ° * (n - 2)

Donde n = el n├║mero de lados de un pol├şgono.

Ejemplos

  • ├üngulos de un tri├íngulo:

un triángulo tiene 3 lados, por lo tanto,

n = 3

Sustituye n = 3 en la f├│rmula para encontrar los ├íngulos de un pol├şgono.

Suma de ángulos interiores = 180 ° * (n - 2)


= 180 ┬░ * (3 - 2)

= 180 ┬░ * 1

= 180 ┬░

  • ├üngulos de un cuadril├ítero:

Un cuadril├ítero es un pol├şgono de 4 lados, por lo tanto,

n = 4.

Por sustituci├│n,

suma de ángulos = 180 ° * (n - 2)

= 180 ┬░ * (4 - 2)

= 180 ┬░ * 2

= 360 ┬░

  • ├üngulos de un Pent├ígono

Un pent├ígono es un pol├şgono de 5 lados.

n = 5

Sustituir.

Suma de ángulos interiores = 180 ° * (n - 2)

= 180 ┬░ * (5 - 2)

= 180 ┬░ * 3

= 540 ┬░

  • ├üngulos de un oct├ígono.

Un oct├ígono es un pol├şgono de 8 lados

n = 8

Por sustituci├│n,

Suma de ángulos interiores = 180 ° * (n - 2)

= 180 ┬░ * (8 - 2)


= 180 ┬░ * 6

= 1080 ┬░

Ángulos de un Hectagón:

un Hectag├│n es un pol├şgono de 100 lados.

n = 100.

Sustituir.

Suma de ángulos interiores = 180 ° * (n - 2)

= 180 ┬░ * (100 - 2)

= 180 ┬░ * 98

= 17640 ┬░

├üngulo interior de pol├şgonos

El ├íngulo interior es un ├íngulo formado dentro de un pol├şgono y est├í entre dos lados de un pol├şgono.

El n├║mero de lados de un pol├şgono es igual al n├║mero de ├íngulos formados en un pol├şgono en particular. El tama├▒o de cada ├íngulo interior de un pol├şgono viene dado por;

Medida de cada ángulo interior = 180 ° * (n - 2) / n


donde n = n├║mero de lados.

Ejemplos

  • Tama├▒o del ├íngulo interior de un dec├ígono.

Un dec├ígono es un pol├şgono de 10 lados.

n = 10

Medida de cada ángulo interior = 180 ° * (n - 2) / n

Sustituci├│n.

= 180 ┬░ * (10 - 2) / 10

= 180 ┬░ * 8/10

= 18 ┬░ * 8

= 144 ┬░

  • ├üngulo interior de un hex├ígono.

Un hexágono tiene 6 lados. Por lo tanto, n = 6

Sustituir.

Medida de cada ángulo interior = 180 ° * (n - 2) / n


= 180 ┬░ * (6 - 2) / 6

= 180 ┬░ * 4/6

= 60 ┬░ * 2

= 120 ┬░

  • ├üngulo interior de un rect├íngulo

Un rectángulo es un ejemplo de cuadrilátero (4 lados)

n = 4

Medida de cada ángulo interior = 180 ° * (n - 2) / n

= 180 ┬░ * (4 - 2) / 4

= 180 ┬░ * 1/2

= 90 ┬░

  • ├üngulo interior de un pent├ígono.

Un pentágono se compone de 5 lados.

n = 5

La medida de cada ángulo interior = 180 ° * (5 - 2) / 5

= 180 ┬░ * 3/5

= 108 ┬░

├üngulo exterior de pol├şgonos

El ├íngulo exterior es el ├íngulo formado fuera de un pol├şgono entre un lado y un lado extendido. La medida de cada ├íngulo exterior de un pol├şgono regular viene dada por;

La medida de cada ├íngulo exterior = 360 ┬░ / n, donde n = n├║mero de lados de un pol├şgono.

Una propiedad importante de los ├íngulos exteriores de un pol├şgono regular es que la suma de las medidas de los ├íngulos exteriores de un pol├şgono es siempre 360 ÔÇőÔÇő┬░.


Ejemplos

  • ├üngulo exterior de un tri├íngulo:

Para un triángulo, n = 3

Sustituir.

Medida de cada ángulo exterior = 360 ° / n

= 360 ┬░ / 3

= 120 ┬░

  • ├üngulo exterior de un Pent├ígono:

n = 5

Medida de cada ángulo exterior = 360 ° / n

= 360 ┬░ / 5

= 72 ┬░

NOTA: Las f├│rmulas de ├íngulo interior y ├íngulo exterior solo funcionan para pol├şgonos regulares. Los pol├şgonos irregulares tienen diferentes medidas de ├íngulos interiores y exteriores.

Veamos m├ís problemas de ejemplo sobre ├íngulos interiores y exteriores de pol├şgonos.

ejemplo 1

Los ├íngulos interiores de un pol├şgono irregular de 6 lados son; 80 ┬░, 130 ┬░, 102 ┬░, 36 ┬░, x ┬░ y 146 ┬░.

Calcula el tama├▒o del ├íngulo x en el pol├şgono.

Soluci├│n

Para un pol├şgono con 6 lados, n = 6

la suma de los ángulos interiores = 180 ° * (n - 2)

= 180 ┬░ * (6 - 2)

= 180 ┬░ * 4

= 720 ┬░

Por lo tanto, 80 ┬░ + 130 ┬░ + 102 ┬░ + 36 ┬░ + x ┬░ + 146 ┬░ = 720 ┬░

Simplificar.

494 ┬░ + x = 720 ┬░

Resta 494 ┬░ de ambos lados.

494 ┬░ - 494 ┬░ + x = 720 ┬░ - 494 ┬░

x = 226 ┬░

ejemplo 2

Encuentra el ├íngulo exterior de un pol├şgono regular con 11 lados.

Soluci├│n

n = 11

La medida de cada ángulo exterior = 360 ° / n

= 360 ┬░ / 11

Ôëł 32.73 ┬░

Ejemplo 3:

Los ├íngulos exteriores de un pol├şgono son; 7x ┬░, 5x ┬░, x ┬░, 4x ┬░ y x ┬░. Determina el valor de x.

Soluci├│n

Suma del exterior = 360 ┬░

7x ┬░ + 5x ┬░ + x ┬░ + 4x ┬░ + x ┬░ = 360 ┬░

Simplificar.

18x = 360 ┬░

Divide ambos lados entre 18.

x = 360 ┬░ / 18

x = 20 ┬░

Por lo tanto, el valor de x es 20 ┬░.

ejemplo 4

┬┐C├│mo se llama un pol├şgono cuyos ├íngulos interiores son cada uno de 140 ┬░?

Soluci├│n

Tamaño de cada ángulo interior = 180 ° * (n - 2) / n

Por lo tanto, 140 ┬░ = 180 ┬░ * (n - 2) / n

Multiplica ambos lados por n

140 ┬░ n = 180 ┬░ (n - 2)

140 ┬░ n = 180 ┬░ n - 360 ┬░

Resta ambos lados por 180 ┬░ n.

140 ┬░ n - 180 ┬░ n = 180 ┬░ n - 180 ┬░ n - 360 ┬░

-40 ┬░ n = -360 ┬░

Divide ambos lados por -40 ┬░

n = -360 ┬░ / -40 ┬░

= 9.

Por lo tanto, el número de lados es 9 (nonágono).

Preguntas de práctica

  1. Los primeros cuatro ángulos interiores de un pentágono son todos y el quinto ángulo es 140 °. Calcula la medida de los cuatro ángulos.
  2. Calcula la medida de los ocho ├íngulos de un pol├şgono si los primeros siete ├íngulos son 132 ┬░ cada uno.
  3. Calcule los ├íngulos de un pol├şgono que se dan como; (x - 70) ┬░, x ┬░, (x - 5) ┬░, (3x - 44) ┬░ y (x + 15) ┬░.
  4. La razón de los ángulos de un hexágono es; 1: 2: 3: 4: 6: 8. Calcula la medida de los ángulos.
  5. ┬┐Cu├íl es el nombre de un pol├şgono que tiene cada ├íngulo interior de 135 ┬░?



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