Triángulo de 30 ° -60 ° -90 ° - Explicación y ejemplos

Cuando hayas terminado y entiendas qué es un triángulo rectángulo y otros triángulos rectángulos especiales, es hora de pasar por el último triángulo especial: el Triángulo de 30 ° -60 ° -90 °.

También tiene la misma importancia para la Triángulo de 45 ° -45 ° -90 ° debido a la relación de su lado. Tiene dos ángulos agudos y un ángulo recto.

name="-qu--es-un-tri-ngulo-30-60-90-">¿Qué es un triángulo 30-60-90?

Un triángulo 30-60-90 es un triángulo rectángulo especial cuyos ángulos son 30º, 60º y 90º. El triángulo es especial porque las longitudes de sus lados siempre están en una proporción de 1: √3: 2.

Cualquier triángulo de la forma 30-60-90 se puede resolver sin aplicar métodos de pasos largos como el Teorema de Pitágoras y las funciones trigonométricas.

La forma más fácil de recordar la relación 1: √3: 2 es memorizar los números; "1, 2, 3". Una precaución para usar este mnemónico es recordar que 3 está debajo del signo de la raíz cuadrada.

De la ilustración anterior, podemos hacer las siguientes observaciones sobre el triángulo 30-60-90:

• El cateto más corto, opuesto al ángulo de 30 grados, se etiqueta como x.
• La hipotenusa, que es opuesta al ángulo de 90 grados, es el doble de la longitud de la pierna más corta (2x).
• El cateto más largo, que es opuesto al ángulo de 60 grados, es igual al producto del cateto más corto y la raíz cuadrada de tres (x√3).

name="-c-mo-resolver-un-tri-ngulo-30-60-90-">¿Cómo resolver un triángulo 30-60-90?

Al resolver problemas que involucran los triángulos 30-60-90, siempre sabes un lado, desde el cual puedes determinar los otros lados. Para eso, puede multiplicar o dividir ese lado por un factor apropiado.

Puede resumir los diferentes escenarios como:

• Cuando se conoce el lado más corto, puede encontrar el lado más largo multiplicando el lado más corto por una raíz cuadrada de 3. Después de eso, puede aplicar el Teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa.
• Cuando se conoce el lado más largo, puede encontrar el lado más corto buceando el lado más largo por la raíz cuadrada de 3. Después de eso, puede aplicar el Teorema de Pitágoras para encontrar la hipotenusa.
• Cuando se conoce el lado más corto, puede encontrar la hipotenusa multiplicando el lado más corto por 2. Después de eso, puede aplicar el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado más largo.
• Cuando se conoce la hipotenusa, puede encontrar el lado más corto dividiendo la hipotenusa por 2. Después de eso, puede aplicar el Teorema de Pitágoras para encontrar el lado más largo.

Esto significa que el lado más corto actúa como puerta de enlace entre el otro. dos lados de un triángulo rectángulo. Puede encontrar el lado más largo cuando se da la hipotenusa o viceversa, pero siempre debe encontrar el lado más corto primero.

Además, para resolver el problemas que involucran los triángulos 30-60-90, debes tener en cuenta las siguientes propiedades de los triángulos:

• La suma de los ángulos interiores en cualquier triángulo suma 180º. Por lo tanto, si conoce la medida de dos ángulos, puede determinar fácilmente el tercer ángulo restando los dos ángulos de 180 grados.
• Los lados más cortos y más largos de cualquier triángulo siempre son opuestos a los ángulos más pequeños y más grandes. Esta regla también se aplica al triángulo 30-60-90.
• Los triángulos con las mismas medidas de ángulos son similares y sus lados siempre estarán en la misma proporción entre sí. Por lo tanto, el concepto de similitud se puede utilizar para resolver problemas que involucran los triángulos 30-60-90.
• Dado que el triángulo 30-60-90 es un triángulo rectángulo, entonces el teorema de Pitágoras a2 + b2 = c2 también es aplicable al triángulo. Por ejemplo, podemos probar que la hipotenusa del triángulo es 2x de la siguiente manera:

⇒ c2 = x2 + (x√3) 2

⇒ c2 = x2 + (x√3) (x√3)

⇒ c2 = x2 + 3x2

⇒ c2 = 4x2

Calcula la raíz cuadrada de ambos lados.

√c2 = √4x2

c = 2x

Por lo tanto, probado.

Trabajemos en algunos problemas de práctica.

ejemplo 1

Un triángulo rectángulo cuyo ángulo mide 60 grados tiene el lado más largo de 8√3 cm. Calcula la longitud de su lado más corto y la hipotenusa.

Solución

De la relación x: x√3: 2x, el lado más largo es x√3. Entonces tenemos;

x√3 = 8√3 cm

Eleva ambos lados de la ecuación al cuadrado.

⇒ (x√3) 2 = (8√3) 2

⇒ 3x2 = 64 * 3

⇒ x 2 = 64

Calcula el cuadrado de ambos lados.

√x2 = √64

x = 8 cm

Sustituir.

2x = 2 * 8 = 16 cm.

Por tanto, el lado más corto mide 8 cm y la hipotenusa mide 16 cm.

ejemplo 2

Una escalera apoyada contra una pared forma un ángulo de 30 grados con el suelo. Si la longitud de la escalera es de 9 m, encuentre;

una. La altura de la pared.

B. Calcula la longitud entre el pie de la escalera y la pared.

Solución

Un ángulo es de 30 grados; entonces debe ser un triángulo rectángulo de 60 ° - 60 ° - 90 °.

Relación = x: x√3: 2x.

⇒ 2x = 9

⇒ x = 9/2

= 4.5

Sustituir.

una. La altura de la pared = 4.5 m

B. x√3 = 4.5√3 m

ejemplo 3

La diagonal de un triángulo rectángulo mide 8 cm. Calcula las longitudes de los otros dos lados del triángulo dado que uno de sus ángulos mide 30 grados.

Solución

Debe ser un triángulo de 30 ° -60 ° -90 °. Por lo tanto, usamos la razón de x: x√3: 2x.

Diagonal = hipotenusa = 8cm.

⇒2x = 8 cm

⇒ x = 4 cm

Sustituir.

x√3 = 4√3 cm

El lado más corto del triángulo rectángulo mide 4 cm y el lado más largo mide 4√3 cm.

ejemplo 4

Encuentra el valor de xyz en el diagrama siguiente:

Solución

La longitud que mide 8 pulgadas será la pierna más corta porque está opuesta al ángulo de 30 grados. Para encontrar el valor de z (hipotenusa) e y (cateto más largo), procedemos de la siguiente manera;

De la relación x: x√3: 2x;

x = 8 pulgadas.

Sustituir.

⇒ x√3 = 8√3

⇒2x = 2 (8) = 16.

Por lo tanto, y = 8√3 pulgadas yz = 16 pulgadas.

ejemplo 5

Si un ángulo de un triángulo rectángulo mide 30º y la medida del lado más corto es 7 m, ¿cuál es la medida de los dos lados restantes?

Solución

Este es un triángulo 30-60-90 en el que las longitudes de los lados están en la proporción de x: x√3: 2x.

Sustituye x = 7 m por el cateto más largo y la hipotenusa.

⇒ x √3 = 7√3

⇒ 2x = 2 (7) = 14

Por lo tanto, los otros lados son 14 my 7√3 m

ejemplo 6 

En un triángulo rectángulo, la hipotenusa mide 12 cm y el ángulo más pequeño mide 30 grados. Calcula la longitud del cateto largo y el corto.

Solución

Dada la razón de los lados = x: x√3: 2x.

2x = 12 cm

x = 6 cm

Sustituye x = 6 cm por la pierna larga y la corta para obtener;

Pierna corta = 6cm.

pierna larga = 6√3 cm

ejemplo 7

Los dos lados de un triángulo son 5√3 mm y 5 mm. Calcula la longitud de su diagonal.

Solución

Prueba la razón de las longitudes de los lados si se ajusta a la razón x: x√3: 2x.

5: 5√3:? = 1 (5): √3 (5):?

Por lo tanto, x = 5

Multiplica 2 por 5.

2x = 2 * 5 = 10

Por tanto, la hipotenusa es igual a 10 mm.

ejemplo 8

Se utiliza una rampa que forma un ángulo de 30 grados con el suelo para descargar un camión de 2 pies de altura. Calcula la longitud de la rampa.

Solución

Debe ser un triángulo 30-60-90.

x = 2 pies.

2x = 4 pies

Por lo tanto, la longitud de la rampa es de 4 pies.

ejemplo 9

Encuentra la hipotenusa de un triángulo de 30 ° - 60 ° - 90 ° cuyo lado más largo mide 6 pulgadas.

Solución

Relación = x: x√3: 2x.

⇒ x√3 = 6 pulgadas.

Cuadrar ambos lados

) (X√3) 2 = 36

⇒ 3x2 = 36

x2 = 12

x = 2√3 pulgadas.

Problemas de práctica

1. En un triángulo de 30 ° - 60 ° - 90 °, deje que el lado opuesto al ángulo de 60 ° sea 9√3. Calcula la longitud de los otros dos lados.
2. Si la hipotenusa del triángulo 30 ° - 60 ° - 90 ° es 26, encuentra los otros dos lados.
3. Si el lado más largo de un triángulo de 30 ° - 60 ° - 90 ° es 12, ¿cuál es la suma de los otros dos lados de este triángulo?