Ceros de una función: explicación y ejemplos

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Ceros de una función: explicación y ejemplos

Uno de los problemas más comunes que encontraremos en nuestras clases de álgebra básica y avanzada es encontrar los ceros de ciertas funciones; la complejidad variará a medida que avancemos y dominemos el oficio de resolver ceros de funciones.

Por su nombre, los ceros de una función son los valores de x donde f (x) es igual a cero.

Encontramos ceros en nuestras clases de matemáticas y en nuestra vida diaria. Por ejemplo, si queremos saber la cantidad que necesitamos vender para alcanzar el punto de equilibrio, terminaremos encontrando los ceros de la ecuación que hemos establecido. Ese es solo uno de los muchos ejemplos de problemas y modelos en los que necesitamos encontrar f (x) ceros.



Con la aplicación extensiva de funciones y sus ceros, debemos aprender a manipular diferentes expresiones y ecuaciones para encontrar sus ceros. En este artículo, aprenderemos a:

  • Conoce lo que representa el cero de una función.
  • Aprenda a encontrar los ceros de funciones comunes.
  • Identifica los ceros de una función a partir de su gráfica.

Sigamos adelante y comencemos por comprender la definición fundamental de un cero.

¿Cuál es el cero de una función?

Comprender lo que representan los ceros puede ayudarnos a saber cuándo encontrar los ceros de funciones dadas sus expresiones y aprender a encontrarlos dada la gráfica de una función. En general, un los ceros de la función son el valor de x cuando la función en sí se convierte en cero.

Los ceros de una función pueden tener diferentes formas; siempre que devuelvan un valor de y de 0, lo contaremos como el cero de la función.


Ceros de una definición de función

Los ceros de una función son los valores de x cuando f (x) es igual a 0. De ahí su nombre. Esto significa que cuando f (x) = 0, x es un cero de la función. Cuando la gráfica pasa por x = a, se dice que a es un cero de la función. Por eso, (a, 0) es un cero de una función.


  • La función f (x) = x + 3 tiene cero en x = -3 ya que f (-3) = 0.
  • La función g (x) = x2 - 4 tiene dos ceros: x = -4 y x = 4. Esto significa que f (-4) = 0 y f (4) = 0.
  • La gráfica de h (x) pasa por (-5, 0), entonces x = -5 es un cero de h (x) y h (-5) = 0.

Cuando se le da la gráfica de una función, sus ceros reales estarán representados por las intersecciones con el eje x. Esto tiene sentido ya que los ceros son los valores de x cuando yof (x) es 0.

Las intersecciones con el eje x de la función son (x1, 0), (x2, 0), (x3, 0) y (x4, 0). Esto significa que para el gráfico que se muestra arriba, sus ceros reales son {x1, x2, x3, x4}.

Sin embargo, hay casos en los que la gráfica no pasa por la intersección con el eje x. Esto no significa que la función no tenga ceros, sino que los ceros de las funciones pueden ser de forma compleja.


Cómo encontrar los ceros de una función?                

Encontrar los ceros de una función puede ser tan sencillo como aislar x en un lado de la ecuación o manipular repetidamente la expresión para encontrar todos los ceros de una ecuación.

En general, dada la función, f (x), sus ceros se pueden encontrar estableciendo la función en cero. Los valores de x que representan la ecuación establecida son los ceros de la función. Para encontrar los ceros de una función, encuentre los valores de x donde f (x) = 0.

¿Cómo encontrar ceros de una función cuadrática?

Hay muchas ecuaciones complejas que eventualmente pueden reducirse a ecuaciones cuadráticas. Es por eso que en nuestras clases intermedias de álgebra, pasaremos mucho tiempo aprendiendo sobre los ceros de las funciones cuadráticas.


Para encontrar los ceros de una función cuadrática, igualamos la función dada a 0 y resolvemos los valores de x que satisfacen la ecuación. Aquí hay algunos recordatorios importantes al encontrar los ceros de una función cuadrática:

  • Asegúrese de que la ecuación cuadrática esté en forma estándar (ax2 + bx + c = 0).
  • Factoriza siempre que sea posible, pero no dudes en usar la fórmula cuadrática.
  • Una función cuadrática puede tener como máximo dos ceros.

Hemos aprendido sobre las diferentes estrategias para encontrar los ceros de funciones cuadráticas en el pasado, así que aquí hay una guía sobre cómo elegir la mejor estrategia:

¿Cómo encontrar ceros de una función polinomial?

El mismo proceso se aplica a las funciones polinomiales: equiparar la función polinomial a 0 y encontrar los valores de x que satisfacen la ecuación. Esta guía puede ayudarlo a encontrar la mejor estrategia para encontrar los ceros de funciones polinomiales.


¿Necesita más repaso sobre la resolución de ecuaciones polinomiales? No se preocupe, consulte este enlace aquí y actualice sus conocimientos sobre la resolución de ecuaciones polinomiales.

¿Cómo encontrar ceros de una función racional?

Las funciones racionales son funciones que tienen una expresión polinomial tanto en su numerador como en su denominador. Aplicando el mismo principio al encontrar los ceros de otras funciones, ecuamos una función racional a 0.


Digamos que tenemos una función racional, f (x), con un numerador de p (x) y un denominador de q (x).

f (x) = p (x) / q (x)

Para encontrar su cero, equiparamos la expresión racional a cero.

p (x) / q (x) = 0

Dado que q (x) nunca puede ser igual a cero, simplificamos la ecuación ap (x) = 0. ¿Qué significa esto para todas las funciones racionales?

Al encontrar el cero de funciones racionales, igualar el numerador a 0 y resolver para x.

¿Cómo encontrar ceros de otras funciones?

Como habrás adivinado, la regla sigue siendo la misma para todo tipo de funciones. Cuando se le dé una función única, asegúrese de equiparar su expresión a 0 para encontrar sus ceros.

Aquí hay algunas funciones más que puede que ya haya encontrado en el pasado:

Los ceros de cualquiera de estas funciones devolverán los valores de x donde la función es cero. Cuando se le da la gráfica de estas funciones, podemos encontrar sus ceros reales inspeccionando las intersecciones con el eje x de la gráfica.

La gráfica de arriba es la de f (x) = -3 sin x de -3π a 3π. Todas las intersecciones con el eje x del gráfico son ceros de función entre los intervalos. Por eso, los ceros entre los intervalos dados son: {-3π, -2π, , π, 0, π, 2π, 3π}.

¿Listo para aplicar lo que acabamos de aprender? Sigamos adelante y probemos algunos de estos problemas.

ejemplo 1

La función f (x) tiene la siguiente tabla de valores como se muestra a continuación.

Según la tabla, ¿cuáles son los ceros de f (x)?

Solución

Siempre regrese al hecho de que los ceros de las funciones son los valores de x cuando el valor de la función es cero.

Podemos ver que cuando x = -1, y = 0 y cuando x = 1, y = 0 también. Por eso, los ceros de f (x) son -1 y 1.

ejemplo 2

La gráfica de f (x) se muestra a continuación. Usando esta gráfica, ¿cuáles son los ceros de f (x)?

Solución

La gráfica de f (x) pasa por el eje x en (-4, 0), (-1, 0), (1, 0) y (3, 0). Estas son las intersecciones con el eje x y, en consecuencia, estos son los ceros reales de f (x).

Por lo tanto, la los ceros de f (x) son {-4, -1, 1, 3}.

ejemplo 3

¿Cuáles son los ceros de g (x) = –x3 - 3x2 + x + 3?

Solución

Encuentre el cero de g (x) equiparando la expresión cúbica a 0.

–X3 - 3x2 + x + 3 = 0

Reordena la ecuación para que podamos agrupar y factorizar la expresión.

–X3 + x - 3x2 + 3 = 0

-x (x2 - 1) - 3 (x2 - 1) = 0

(-x-3) (x2 - 1) = 0

Aplicar la propiedad de la diferencia de dos cuadrados, a2 - b2 = (a - b), (a + b) en el segundo factor.

(-x-3) (x - 1) (x + 1) = 0

Iguala cada factor a 0 para encontrar x.

Por lo tanto, la los ceros de g (x) son {-1, 1, 3}.

ejemplo 4

¿Cuáles son los ceros de h (x) = –2x4 - 2x3 + 14x2 + 2x - 12?

Solución

Iguale la expresión de h (x) a 0 para encontrar sus ceros. Esto resultará en una ecuación polinomial.

–2x4 - 2x3 + 14x2 + 2x - 12 = 0

Divide ambos lados de la ecuación a -2 para simplificar la ecuación.

x4 + x3 - 7x2 - x + 6 = 0

Enumera los posibles factores racionales de la expresión usando el teorema de ceros racionales. Para nuestro caso, tenemos p = 1 y q = 6.

Sigamos adelante y usemos la división sintética para ver si x = 1 y x = -1 pueden satisfacer la ecuación.

Esto significa que x = 1 es una solución y h (x) se puede reescribir como -2 (x - 1) (x3 + 2x2 -5x - 6). Use la expresión cúbica en la siguiente división sintética y vea si x = -1 también es una solución.

Por tanto, x = -1 es una solución y (x + 1) es un factor de h (x). Por tanto, tenemos h (x) = -2 (x - 1) (x + 1) (x2 + x - 6).

Para encontrar los dos ceros restantes de h (x), equipare la expresión cuadrática a 0.

x2 + x - 6 = 0

(x - 3) (x + 2) = 0

Por lo tanto, la los ceros de h (x) son {-2, -1, 1, 3}.

ejemplo 5

¿Cuáles son los ceros de g (x) = (x4 -10x2 + 9) / (x2 - 4)?

Solución

La función g (x) es una función racional, por lo que para encontrar su cero, iguale el numerador a 0.

x4 -10x2 + 9 = 0

Resuelva para x que satisfaga la ecuación para encontrar los ceros de g (x).

Sea a = x2 y reduzca la ecuación a una ecuación cuadrática.

(x2) 2 - 10x2 + 9 = 0

a2 - 10a + 9 = 0

(a - 1) (a - 9) = 0

Iguale cada factor a 0 para encontrar a, luego reemplace x2 para encontrar los valores posibles de los ceros de g (x).

Por lo tanto, los ceros de g (x) son {-3, -1, 1, 3}.

Preguntas de práctica

1. Utilice las tablas que se muestran a continuación y encuentre los ceros para cada función correspondiente.

a.

b.

c.

2. ¿Cuáles son los ceros de las siguientes funciones usando las gráficas que se muestran a continuación?

a.

b.

c.

3. Encuentre los ceros de las siguientes funciones.

una. f (x) = 2x3 + 3x2 - 3x - 2

B. g (x) = -2x4 + 4x3 + 18x2 - 4x - 16

C. h (x) = (x4 - 1) / (x4 + 2x3 - 9x2 - 2x + 8)

Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.



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