Probar que el color {red} sqrt 2 es irracional es un ejemplo popular usado en muchos libros de texto para resaltar el concepto de prueba por contradicción (también conocida como prueba indirecta). Esta técnica de prueba es simple pero elegante y poderosa.
Pasos básicos involucrados en la prueba por contradicción:
- Suponga que la negación del enunciado original es verdadera.
- Demuestre la suposición. Puede utilizar cualquier técnica de prueba, como prueba directa y prueba por contraposición.
- Cuando llegue a una contradicción, indique que la suposición es falsa, por lo tanto, la declaración original debe ser verdadera.
BRAINSTORM ANTES DE ESCRIBIR LA PRUEBA
Para demostrar que la raíz cuadrada de 2 es irracional es asumir primero que su negación es verdadera. Por lo tanto, asumimos que lo contrario es cierto, es decir, la raíz cuadrada de 2 es racional.
Quizás se pregunte cuál será nuestro próximo paso. Bueno, la suposición debería darnos una pista por dónde empezar. Dado que asumimos que la raíz cuadrada 2 es racional, debemos describir o expresar la raíz cuadrada 2 como un número racional.
Si la raíz cuadrada 2 es un número racional, entonces podemos expresarlo como una razón de dos enteros.
Entonces, sqrt 2 = {Large {{a over b}}} donde ayb son números enteros pero b ne 0.
Ahora, aquí está el truco que hace que la prueba por contradicción funcione. Además asumiremos que ayb son primos o coprimos relativos. Se dice que dos números enteros son primos relativos si no comparten divisores positivos comunes distintos de 1.
Más aún, Large {a over b} es una fracción irreducible porque los números enteros ayb tienen un máximo común divisor (MCD) de 1.
Ahora, sigamos adelante. Dado que establecimos que sqrt 2 = {Large {{a over b}}}, cuadramos ambos lados de la ecuación para eliminar el símbolo de la raíz cuadrada.
sqrt 2 = {Large {{a over b}}}
{left ({sqrt 2} right) ^ 2} = {Large {{left ({{a over b}} right) ^ 2}}}
2 = {Grande {{{a ^ 2}} sobre {{b ^ 2}}}}
Multiplica ambos lados de la ecuación por b ^ 2 para eliminar el denominador del lado derecho de la ecuación.
¿Qué nos dice acerca de a ^ 2 en 2 {b ^ 2} = {a ^ 2} o {a ^ 2} = 2 {b ^ 2}? Dado que a ^ 2 es igual a 2 veces un número entero b ^ 2, entonces a ^ 2 es por definición un número par.
A partir del resultado de un teorema anterior, sabemos que si a ^ 2 es un número par, entonces a también es un número par.
Suponga que Largecolor {red} {a} es un número entero.
Como deducimos que el color {rojo} a es par, podemos expresarlo como {color {rojo} a} = 2k para algún número entero k.
Ahora, retrocedamos un poco donde tenemos la configuración 2 {b ^ 2} = {a ^ 2}. Podemos sustituir 2k por el color {rojo} a en la ecuación y luego simplificar.
Después de hacer algo de álgebra en la ecuación, el resultado es muy interesante porque el resultado nos dice que b ^ 2 es par. Usando nuevamente la consecuencia del teorema siguiente, podemos afirmar que dado que b ^ 2 es par, entonces b también debe ser par. Si necesita un repaso sobre este tema, haga clic en la imagen de abajo para llevarlo a la lección.
Sea Largecolor {red} {b} un número entero.
Nuestros hallazgos muestran que tanto el color {rojo} a como el color {azul} b son números pares. Implica que tienen al menos un divisor positivo común distinto de 1, que es 2.
Esto contradice directamente nuestra suposición de que la razón Large {{a sobre b}} es una fracción irreducible porque no comparten divisores positivos excepto 1.
La consecuencia de esta contradicción es rechazar el supuesto y, por lo tanto, declarar que el enunciado original debe ser verdadero. Es decir, la raíz cuadrada de 2 es de hecho irracional.
Juntaremos todos estos pensamientos cuando escribamos nuestra prueba.
ESCRIBA LA PRUEBA
TEOREMA: sqrt 2 es irracional.
PRUEBA: En aras de la contradicción, suponga que la raíz cuadrada 2 es NO irracional. Eso significa que asumimos que la raíz cuadrada de 2 es racional. Dado que la raíz cuadrada 2 es racional, exprésala como una razón de dos enteros Large {a sobre b} donde ayb pertenecen al conjunto de números enteros pero b ne 0. Por lo tanto, sqrt 2 = Large {{a sobre b}}. Cuadre ambos lados de la ecuación {left ({sqrt 2} right) ^ 2} = Large {{left ({{a over b}} right) ^ 2}} para obtener 2 = Large {{{{a ^ 2} } sobre {{b ^ 2}}}}.
Multiplicando ambos lados por b ^ 2, tenemos 2 {b ^ 2} = {a ^ 2}. Dado que a ^ 2 es igual al producto de 2 y algún número entero b ^ 2, implica que a ^ 2 es par. Por el teorema anterior que hemos demostrado, sabemos que si a ^ 2 es par, entonces a es par. Dado que a es un número par, podemos expresarlo como a = 2k para algún número entero k.
Sustituyendo 2k por a en 2 {b ^ 2} = {a ^ 2}, obtenemos 2 {b ^ 2} = {left ({2k} right) ^ 2} que se puede simplificar aún más como 2 {b ^ 2} = 4 {k ^ 2}. Ahora, dividimos ambos lados por 2, obtenemos {b ^ 2} = 2 {k ^ 2}. Aplicando el mismo teorema que antes, si b ^ 2 es par, entonces b es par.
Hemos descubierto que tanto a como b son números pares. Dado que ayb son pares, significa que tienen un divisor positivo común distinto de 1. Un ejemplo es 2. Hemos contradicho nuestra suposición de que Large {{{a over b}}} es irreducible, lo que significa que no comparten ningún positivo común. divisores excepto 1. Debido a que se encuentra que nuestra suposición es falsa, la afirmación original de que la raíz cuadrada 2 es irracional debe ser verdadera. Por lo tanto, la raíz cuadrada de 2 es un número irracional. ◼︎
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