En nuestra lección anterior, probamos por contradicción que la raíz cuadrada de 2 es irracional. Esta vez, vamos a demostrar un hecho más general e interesante. También usaremos la prueba por contradicción para demostrar este teorema.
Es decir, sea p un número primo y luego demuestre que la raíz cuadrada de p es irracional.
Pero primero, definamos un número primo. Un número primo es un entero positivo mayor que 1 que tiene exactamente dos divisores enteros positivos: a saber, 1 y él mismo.
Para verlo usted mismo, a continuación se muestra la lista de los primeros diez (10) números primos. Observe que cada uno de ellos solo es divisible por {1} grande y por sí mismo. Solo una nota al margen, el número 2 es el único número primo PAR.
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- 3
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- 13
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- 29
Para probar este teorema, usaremos el método de Prueba por contradicción. Asumiremos que la negación (o lo contrario) del enunciado original es verdadera. Es decir, sea color {red} p un número primo y sqrt {color {red} p} es un número racional. Ahora, la línea de pensamiento es demostrar que sqrt {color {red} p} es racional. Sin embargo, esperamos una contradicción tal que descartemos el supuesto y, por lo tanto, afirmamos que el enunciado original debe ser verdadero, que en este caso, la raíz cuadrada de un número primo es irracional.
Dado que asumimos que la raíz cuadrada de p es racional, significa que existen dos enteros positivos ayb pero b ne 0 que podemos expresar como una razón como la que se muestra a continuación.
Una parte esencial de esta demostración es asumir además que el máximo común divisor de ayb es 1. Podemos escribirlo simbólicamente en matemáticas como mcd left ({a, b} right) = 1.
Esta ecuación pide que se cuadre en ambos lados, y ver qué podemos encontrarle después de hacerlo.
left ({sqrt p} right) ^ 2 = {Large {{left ({{a over b}} right) ^ 2}}}
Multiplica ambos lados de la ecuación por b ^ 2 para deshacerte del denominador. Este es el resultado.
Grande {{color {red} p}, {b ^ 2} = {a ^ 2}}
Quiero moverme por la ecuación para que sea mucho más fácil entender lo que está tratando de decir. Espero que esté de acuerdo en que la ecuación anterior es exactamente la misma que la siguiente.
Dado que a es un número entero positivo mayor que 1, puede expresarlo como un producto de números primos únicos con potencias pares o impares. Sin embargo, al elevar a elevado a 2, a ^ 2 debe tener factorizaciones primas en las que cada número primo único tendrá un exponente par.
Tengamos un ejemplo para ampliar lo que quise decir anteriormente. Suponga que a = 3,780. Al descomponerlo como un producto de números primos, obtenemos a = 2 cdot 2 cdot 3 cdot 3 cdot 3 cdot 5 cdot 7. Podemos condensar la factorización prima reescribiéndola como a = {2 ^ 2} cdot {3 ^ 3 } cdot 5 cdot 7. Observe cómo eliminamos los duplicados de los números primos expresándolos como factores de primos con cada primo único que tiene la potencia adecuada. El exponente dice cuántas veces aparece el número primo en la factorización prima.
Observe que en la factorización prima del color entero {azul} grande {a}, los números primos pueden tener un exponente par o impar. Ésta es una observación importante que aprovecharemos más adelante.
El siguiente paso es elevar al cuadrado el color entero {azul} grande {a}, por lo que tenemos el color {azul} grande {a ^ 2}.
Aplicar la regla del exponente de la potencia de una potencia. Usaremos esta propiedad para cuadrar el color entero {azul} grande {a}. En pocas palabras, esta regla del exponente nos permitirá distribuir el exponente más externo 2 a los exponentes de los números primos únicos dentro del paréntesis.
Después de elevar al cuadrado el color entero {azul} grande {a}, los exponentes de los factores primos únicos del color {azul} grande {a} ahora son TODOS números pares. Es el caso ya que el producto de 2 y cualquier número entero siempre será un número par. Ésta es la observación más importante que podemos tomar de este paso. Definitivamente revisaremos este resultado.
¿Por qué dedicamos algún tiempo a factorizar el número entero anterior? La razón es demostrar o ilustrar con un ejemplo el teorema fundamental de la aritmética, que es fundamental para la demostración de este teorema.
El teorema fundamental de la aritmética
El Teorema fundamental de la aritmética establece que para cada entero n mayor que uno, n> 1, podemos expresarlo como un número primo o producto de números primos. El teorema afirma además que cada número entero tiene una factorización prima única, por lo que tiene una combinación distinta o mezcla de factores primos. En otras palabras, la factorización prima de un número entero es tan única porque cada factor primo siempre aparece en la misma cantidad o cantidad, por lo que la disposición no importa.
Para tener uniformidad en nuestra aplicación del teorema fundamental de la aritmética, tenemos que estar de acuerdo en que escribimos los factores primos de un número entero en orden ascendente. De esta manera podemos ver claramente sin ninguna duda que la factorización prima de cada entero (mayor que 1) es claramente única.
Ejemplos:
100 = 2 cdot 2 cdot 5 cdot 5 = {2 ^ 2} cdot {5 ^ 2} 126 = 2 cdot 3 cdot 3 cdot 7 = 2 cdot {3 ^ 2} cdot 7 5,070 = 2 cdot 3 cdot 5 cdot 13 cdot 13 = 2 cdot 3 cdot 5 cdot {13 ^ 2} 12,375 = 3 cdot 3 cdot 5 cdot 5 cdot 5 cdot 11 = {3 ^ 2} cdot {5 ^ 3} cdot 11El siguiente paso lógico es generalizar la factorización de cualquier número entero mayor que 1 usando el teorema fundamental de la aritmética.
Recuerde que en las ecuaciones n. ° 1, n. ° 2 y n. ° 3, está claro que debemos mostrar cómo factorizar los números enteros ayb en forma general. Y lo que es más importante, necesitaremos examinar qué sucede con las factorizaciones primas de los números enteros ayb cuando elevamos al cuadrado ambos, es decir, a ^ 2 y b ^ 2.
- Aquí está la factorización del entero grande {a} en sus constituyentes primos.
Nota: Los exponentes de los factores primos únicos del entero grande {a} son números enteros pares o impares. Eso significa que {n_1}, {n_2}, {n_3}, {n_4},… {n_j} son números enteros pares o impares.
Entonces nosotros cuadrado la factorización prima del entero grande {a}. Esto es lo que tenemos.
Nota: El efecto o consecuencia de elevar al cuadrado los factores primos únicos del entero grande {a} (elevar a la potencia de 2) es que todos los exponentes se convierten en números pares, ya que 2 multiplicado por cualquier número entero siempre será un número par.
- De la misma manera, factorizaremos el entero grande {b} y luego lo elevaremos al cuadrado.
Darse cuenta: La misma observación del entero grande {a} se puede extraer para el entero grande {b}. Los exponentes de los factores primos de {b} grande son pares o impares. Pero al elevarlo al cuadrado, todos los exponentes se convierten en números pares.
Ahora estamos listos para armar la estrategia de la prueba. Para hacer eso, necesitaremos revisar la Ecuación # 3.
En pocas palabras, este es el significado de la Ecuación # 3 anterior. El lado izquierdo de la ecuación es grande {a ^ 2}. Como hemos mostrado antes en esta lección, la factorización prima de {a ^ 2} grande es un producto de números primos únicos con potencias pares. Implica que el lado derecho de la ecuación con la expresión grande {p, {b ^ 2}} también debe ser un producto de factores primos únicos con exponentes pares.
Entonces, el siguiente paso lógico es considerar los dos posibles casos / escenarios a continuación.
1. El número primo grande {color {red} p} ocurre en la factorización prima única de grande {b ^ 2}.
Respuesta Si largecolor {red} p ocurre en la factorización prima de large {b ^ 2}, entonces tenemos largecolor {red} p veces grande {{p ^ {, 2k}}} que es igual a large {{p ^ {, 2k + 1}}}. Por tanto, la {p} grande resultante tiene una potencia impar que es 2k + 1. Obviamente, esto es una contradicción.
2. El número primo largecolor {red} p no está incluido (excluido) en la factorización prima única de large {b ^ 2}.
Respuesta Si largecolor {red} p no ocurre en la factorización prima de large {b ^ 2}, entonces largecolor {red} p debe sostenerse por sí solo. Por tanto, largecolor {red} p tiene una potencia impar que es 1. Sin duda, esto también es una contradicción.
La línea de base: En ambos casos, tenemos contradicciones porque a ^ 2 implica que sus factores primos únicos deben tener potencias pares.
Conclusión: Dado que hemos llegado a contradicciones en ambos casos, rechazaremos la suposición de que largecolor {red} {sqrt p} es racional y, por lo tanto, la afirmación original debe ser cierta de que largecolor {red} {sqrt p} es irracional.
ESCRIBA LA PRUEBA
TEOREMA: Si {p} grande es un número primo, entonces {sqrt p} grande es irracional.
PRUEBA: Supongamos por contradicción que {sqrt p} grande es racional donde {p} grande es primo. Dado que grande {sqrt p} es un número racional, podemos expresarlo como una razón / fracción de dos enteros positivos large {sqrt p =} Large {{a sobre b}} donde ayb pertenecen al conjunto de enteros positivos, b no es igual a cero, y el máximo común divisor (MCD) de ayb es 1. Ahora, elevando ambos lados de la ecuación al cuadrado, obtenemos {p =} Large {{{{a ^ 2}} grande sobre { {b ^ 2}}}}. Multiplicamos ambos lados por b ^ 2 para deshacernos del denominador, así obtenemos p, {b ^ 2} = {a ^ 2}. Reorganice la ecuación moviendo la expresión de la izquierda a la derecha y la de la derecha a la izquierda. Esto nos da {a ^ 2} = {color {red} p}, {b ^ 2}. Ahora, factoricemos en primos los números enteros ay b.
Para a, tenemos grandes {a = p_1 ^ {{n_1}}, p_2 ^ {{n_2}}, p_3 ^ {{n_3}}, p_4 ^ {{n_4}}, p_5 ^ {{n_5}} cdot cdot cdot p_n ^ {{n_j}}}. Las potencias de los factores primos únicos son números pares o impares. Ahora, si cuadramos a, obtenemos grande {{a ^ 2} = {left ({p_1 ^ {{n_1}}, p_2 ^ {{n_2}}, p_3 ^ {{n_3}}, p_4 ^ {{n_4 }}, p_5 ^ {{n_5}} cdot cdot cdot p_n ^ {{n_j}}} derecha) ^ 2}} luego simplifica multiplicando el exponente más externo que es el color {rojo} 2 a todos y cada uno de los exponentes del número primo único factor para obtener grande {{a ^ 2} = p_1 ^ {2 {n_1}}, p_2 ^ {2 {n_2}}, p_3 ^ {2 {n_3}}, p_4 ^ {2 {n_4}}, p_5 ^ { 2 {n_5}} cdot cdot cdot p_n ^ {2 {n_j}}}. Por lo tanto, después de elevar al cuadrado el número entero a, podemos ver claramente que los exponentes de todos los factores primos únicos se convierten en números pares, ya que cualquier número entero multiplicado por 2 es siempre un número par.
De manera similar, podemos hacer lo mismo para el entero b. Aquí están sus factorizaciones primas únicas: grande {b = q_1 ^ {{m_1}}, q_2 ^ {{m_2}}, q_3 ^ {{m_3}}, q_4 ^ {{m_4}}, q_5 ^ {{m_5}} cdot cdot cdot q_m ^ {{m_k}}}. Después de elevar al cuadrado el entero b, sus factores primos tendrán potencias pares con el mismo razonamiento que el de a ^ 2. Es decir, grande {{b ^ 2} = {left ({q_1 ^ {{m_1}}, q_2 ^ {{m_2}}, q_3 ^ {{m_3}}, q_4 ^ {{m_4}}, q_5 ^ { {m_5}} cdot cdot cdot q_m ^ {{m_k}}} derecha) ^ 2}} que se puede simplificar como grande {{b ^ 2} = q_1 ^ {2 {m_1}}, q_2 ^ {2 {m_2} }, q_3 ^ {2 {m_3}}, q_4 ^ {2 {m_4}}, q_5 ^ {2 {m_5}} cdot cdot cdot q_m ^ {2 {m_k}}}.
Dado que {a ^ 2} = {color {red} p}, {b ^ 2}, implica que el lado derecho de la ecuación que es {color {red} p}, {b ^ 2} está compuesto por un número primo único factores con poderes pares. Esto significa que tendremos que examinar si en {color {red} p}, {b ^ 2} ese color {red} p ocurre o no en las factorizaciones primas de b ^ 2.
Caso 1: Considere que el color {red} p ocurre en la factorización prima del entero b ^ 2, eso significa que tenemos pleft ({p_n ^ {2 {n_j}}} right) = {p ^ {1 + 2 {n_j}}} que es un número primo con una potencia impar. Esto contradice nuestra suposición de nuestra ecuación principal {a ^ 2} = {color {red} p}, {b ^ 2} donde {color {red} p}, {b ^ 2} debe contener solo números primos con potencias pares.
Caso 2: Considere que el color {red} p no ocurre en la factorización prima del entero b ^ 2, esto significa que el número primo color {red} p es único y no tiene la misma copia en la factorización prima de b ^ 2, lo que significa color {red} p tiene una potencia impar de uno desde el color {red} p ^ 1. Nuevamente, esto contradice la suposición de nuestra ecuación principal {a ^ 2} = {color {red} p}, {b ^ 2} donde {color {red} p}, {b ^ 2} debe contener solo números primos con pares potestades.
Dado que hemos llegado a contradicciones en Caso 1 y Caso 2, debemos rechazar la suposición y aceptar la declaración original. Por tanto, hemos demostrado que la raíz cuadrada de un número primo es irracional. ◼︎
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La raíz cuadrada de 2 es un número irracional
