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    Ecuación polar a rectangular: ecuaciones, gráficos y ejemplos

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    Aina Martin
    @ainamartin

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    Ecuación polar a rectangular: ecuaciones, gráficos y ejemplos

    Podemos convertir ecuaciones polares a forma rectangular para reescribir una ecuación rectangular en términos de $ x $ y $ y $ a una ecuación de la forma $ r $ y $ theta $. Saber cómo convertir ecuaciones a formas rectangulares y polares ayudará a observar múltiples relaciones entre dos conjuntos de datos.

    Convertir una ecuación polar a rectangular requerirá que usemos la relación entre $ símbolo en negrita {x} $ y $ boldsymbol {cos theta} $ así como también a $boldsymbol{y}$ y $boldsymbol{sin theta}$.



    Este artículo se centra en aprender cómo podemos reescribir una ecuación polar en su forma rectangular. Para aprovechar al máximo nuestra discusión, asegúrese de actualizar los siguientes temas:

    • Comprender cómo podemos expresar razones trigonométricas en términos de $ x $, $ y $ y $ r $.
    • Manipular expresiones trigonométricas utilizando identidades trigonométricas.
    • Aprender a convertir coordenadas en forma rectangular y polar.

    Por ahora, podemos actualizar nuestro conocimiento sobre la conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares y ver cómo podemos extender esto para convertir ecuaciones polares.

    ¿Cómo convertir una ecuación polar a forma rectangular?                

    Recuerde que podemos convertir una coordenada polar, $ (r, theta) $, a su forma rectangular usando las propiedades que se muestran a continuación.


    Podemos extender estas propiedades para encontrar las expresiones de $ r $ y $ theta $ en términos de $ x $ y $ y $. Por tanto, tenemos las siguientes ecuaciones:


    comenzar {alineado} x & = rcos theta y & = rsin theta \ r ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 tan theta & = dfrac {y} {x} final {alineado}

    Esto significa que cada vez que se nos da una ecuación polar, podemos convertirla a forma rectangular usando cualquiera de las cuatro ecuaciones que se muestran arriba.

    • Vuelva a escribir la ecuación polar para que esté en términos de $ rcos theta $, $ rsin theta $ y $ tan theta $.
    • Reemplaza las expresiones polares con su equivalente rectangular.
    • Simplifique la ecuación resultante siempre que sea necesario.

    Por ejemplo, si queremos cambiar $ r = 2csc theta $ en su rectangular por, necesitaremos reescribir $ 2csc theta $ en términos de $ sin theta $. Recuerde que $ csc theta = dfrac {1} {sin theta} $, así que usemos esta identidad recíproca para reescribir la expresión.

    comenzar {alineado} r & = 2csc theta r & = 2cdot dfrac {1} {sin theta} fin {alineado}

    Podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por $ sin theta $ y luego reemplazar $ rsin theta $ con su forma rectangular, $ y $.

    comenzar {alineado} r color {azul} {cdot sin theta} & = 2cdot dfrac {1} {sin theta} color {azul} {cdot sin theta} rsin theta & = 2 y & = 2end {alineado}

    Esto significa que la forma rectangular de $ r = 2csc theta $ es $ y = 2 $. Esta ecuación representa una línea horizontal que pasa por el punto $ (0, 2) $.



    Esto muestra que todavía es posible graficar una ecuación polar en un sistema de coordenadas $ xy $ al convertir la ecuación polar a su forma rectangular.

    Convertir ecuaciones polares a rectangulares para graficar la ecuación resultante

    Como mencionamos en la sección anterior, graficamos ecuaciones polares en un sistema de coordenadas rectangulares reescribiendo primero las ecuaciones polares a su forma rectangular.

    • Vuelva a escribir la ecuación en términos de $ x $ y $ y $ usando las cuatro ecuaciones que hemos discutido.
    • Identifica la función principal que representa la ecuación para tener una idea del mejor enfoque para graficar la ecuación.
    • Asigne valores clave para $ (x, y) $ para ayudar como guías al graficar la ecuación rectangular.

     Digamos que queremos graficar $ tan theta = 4 $ en el plano $ xy $. Podemos reemplazar $ tan theta $ con $ dfrac {y} {x} $ y convertir la ecuación polar a su forma rectangular.

    comenzar {alineado} tan theta & = 4 dfrac {y} {x} & = 4 y & = 4xend {alineado}

    La ecuación, $ y = 4x $, es una ecuación lineal, por lo que podemos usar $ (- 2, -8) $ y $ (2, 8) $ para guiarnos en la gráfica de $ y = 4x $ como se muestra a continuación.



    Eso es todo lo que necesitamos para graficar una ecuación polar en un sistema de coordenadas rectangular. ¿Estás listo para probar más problemas? No te preocupes; ¡Hemos preparado más problemas de muestra para que trabajes!

    ejemplo 1

    Convierta la ecuación polar, $ r = -6sec theta $ como una ecuación rectangular. Grafique la ecuación resultante en un sistema de coordenadas $ xy $.

    Solución

    Podemos reescribir $ sec theta $ en términos de coseno usando la identidad recíproca, $ sec theta = dfrac {1} {cos theta} $. Reescribamos la ecuación polar como se muestra a continuación.

    comenzar {alineado} r & = - 6 segundos theta r & = -6 cdotdfrac {1} {cos theta} fin {alineado}

    Entonces podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por $ cos theta $. Reemplace el lado izquierdo de la ecuación con el equivalente rectangular de $ r cos theta $.

    comenzar {alineado} r color {azul} {cdot cos theta} & = -6 cdotdfrac {1} {cos theta} color {azul} {cdot cos theta} r cos theta & = -6 x & = -6 end {alineado}

    Esto significa que la forma polar de $ r = -6sec theta $ es igual a $ x = -6 $. Podemos ver que la ecuación $ x = -6 $ es una función lineal vertical que pasa por el punto $ (- 6, 0) $.

    ejemplo 2

    Convierta las siguientes ecuaciones polares a sus formas rectangulares. Asegúrese de que la ecuación rectangular resultante esté en su forma estándar.

    1. $ r = 4 cos theta $
    2. $ r = -6 sin theta $

    Solución

    Las dos ecuaciones deberán manipularse para que representen cualquiera de las cuatro ecuaciones que se muestran a continuación.

    comenzar {alineado} x & = rcos theta y & = rsin theta \ r ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 tan theta & = dfrac {y} {x} final {alineado}

    El método más fácil es que multipliquemos ambos lados de la ecuación por $ r $, por lo que terminamos con $ r ^ 2 $ en el lado derecho de la ecuación.

    comenzar {alineado} r & = 2 cos theta r color {azul} {cdot r} & = (2 cos theta) color {azul} {cdot r} r ^ 2 & = 2rcos theta final {alineado}

    ¿Observa dos expresiones que podemos convertir a sus formas polares? Podemos reescribir $ r ^ 2 $ como $ x ^ 2 + y ^ 2 $ y $ r cos theta $ como $ x $.

    comenzar {alineado} color {azul} {r ^ 2} & = 4color {azul} (rcos theta) color {azul} {x ^ 2 + y ^ 2} & = 4 {color {azul} x} x ^ 2 + y ^ 2 & = 4xend {alineado}

    Podemos transponer $ 4x $ al lado izquierdo de la ecuación y luego completar el cuadrado para $ x ^ 2 - 4x $. Luego podemos factorizar el trinomio cuadrado perfecto para terminar con una ecuación con la que estamos familiarizados.

    comenzar {alineado} x ^ 2 -4x + y ^ 2 & = 0 (x ^ 2 - 4x {color {blue} + 4}) + y ^ 2 & = 0 {color {blue} + 4} (x ^ 2 - 4x + 4) + y ^ 2 & = 4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & = 4end {alineado}

    Esto muestra que la forma rectangular de $ r = 4 cos theta $ es equivalente a $ (x - 2) ^ 2 + y ^ 2 = 4 $, que es la ecuación de un círculo centrado en $ (2, 0) $ y un radio de $ 2 $ unidades.

    Aplicaremos un proceso similar para convertir $ r = -6 sin theta $ a su forma rectangular:

    • Multiplica ambos lados de la ecuación por $ r $.
    • Reemplace $ r ^ 2 $ y $ rsin theta $ con $ x ^ 2 + y ^ 2 $ y $ y $, respectivamente.

    comenzar {alineado} r & = - 6 sin theta r {color {verde} cdot r} & = - 6 {color {verde} r} sin theta r ^ 2 & = - 6rsintheta {color {verde} x ^ 2 + y ^ 2} & = -6 ({color {verde} y}) x ^ 2 + y ^ 2 & = -6yend {alineado}

    Luego podemos reorganizar la ecuación y llegar a una ecuación rectangular en forma rectangular.

    • Mueve $ -6y $ en el lado izquierdo de la ecuación.
    • Complete el cuadrado perfecto para $ y ^ 2 + 6y $.
    • Exprese $ y ^ 2 + 6y + 9 $ como un cuadrado perfecto.

    comenzar {alineado} x ^ 2 + y ^ 2 + 6y & = 0 x ^ 2 + (y ^ 2 + 6y {color {green} + 9}) & = {color {green} 9} x ^ 2 + (y +3) ^ 2 & = 9 end {alineado}

    Esto significa que $ r = -6 sin theta $ es equivalente a $ x ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 9 $ en forma rectangular.

    ejemplo 3

    Convierta la ecuación polar, $ r ^ 2 sin 2theta = 8 $ como una ecuación rectangular. Grafique la ecuación resultante en un sistema de coordenadas $ xy $.

    Solución

    No tenemos conversión directa para $ sin 2theta $ si queremos convertir la ecuación en forma rectangular. En cambio, lo que podemos hacer es expresar $ sin 2theta $ en términos de $ cos theta $ y $ sin theta $ usando la identidad de doble ángulo para el seno como se muestra a continuación.

    comenzar {alineado} r ^ 2 {color {verde} (sin 2theta)} & = 8 r ^ 2 {color {verde} (2sin theta cos theta)} & = 8 final {alineado}

    Entonces podemos distribuir $ r ^ 2 = rcdot r $ a $ cos theta $ y $ sin theta $. Reorganicemos la ecuación y terminemos con $ r cos theta $ y $ rsin theta $ en el lado izquierdo de la ecuación.

    begin {alineado} (r cdot r) (2sin theta cos theta) & = 8 2 (rcos theta) (rsin theta) & = 8 dfrac {2 (rcos theta) (rsin theta)} {2} & = dfrac {8} {2} (r cos theta) (r sin theta) & = 4 end {alineado}

    Ahora tenemos expresiones polares que podemos reemplazar con sus formas rectangulares, así que reemplacemos $ rcos theta $ y $ rsin theta $ con $ x $ y $ y $, respectivamente. Aísle $ y $ en el lado izquierdo de la ecuación para escribir la ecuación en forma estándar.

    comenzar {alineado} ({color {azul} r cos theta}) ({color {azul} r sin theta}) & = 4 ({color {azul} x}) ({color {azul} y}) & = 4 xy & = 4 y & = dfrac {4} {x} fin {alineado}

    Esto significa que cuando se convierte a una ecuación rectangular, $ r ^ 2 sin 2theta = 6 $, es equivalente a la función recíproca, $ y = dfrac {4} {x} $.

    El valor de $ x $ nunca puede ser cero, por lo que esperamos que $ x = 0 $ y $ y = 0 $ sean asíntotas. Asignemos algunos valores para $ x $ para encontrar algunos puntos para $ (x, y) $.

    Podemos graficar estos puntos como una guía para graficar la función recíproca, $ y = dfrac {4} {x} $.

    Esto muestra que podemos convertir ecuaciones polares en ecuaciones rectangulares y graficarlas usando nuestro conocimiento previo de funciones.

    Preguntas de práctica

    1. Convierta la ecuación polar, $ r = 4sec theta $ como una ecuación rectangular. Grafique la ecuación resultante en un sistema de coordenadas $ xy $.
    2. Convierta las siguientes ecuaciones polares a sus formas rectangulares. Asegúrese de que la ecuación rectangular resultante esté en su forma estándar.
    una. $ r = -16 porque theta $
    B. $ r = 12 sin theta $
    3. Convierta la ecuación polar, $ r ^ 2 sin 2theta = -12 $ como una ecuación rectangular. Grafique la ecuación resultante en un sistema de coordenadas $ xy $.

    clave de respuestas

    1. $ x = 4 $

    2.
    a. $(x + 8)^2 + y^2= 64$
    b. $ x ^ 2 + (y - 6) ^ 2 = 36 $
    3. $ y = -dfrac {6} {x} $

    Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.



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