Podemos convertir ecuaciones polares a forma rectangular para reescribir una ecuación rectangular en términos de $ x $ y $ y $ a una ecuación de la forma $ r $ y $ theta $. Saber cómo convertir ecuaciones a formas rectangulares y polares ayudará a observar múltiples relaciones entre dos conjuntos de datos.
Convertir una ecuación polar a rectangular requerirá que usemos la relación entre $ símbolo en negrita {x} $ y $ boldsymbol {cos theta} $ así como también a $boldsymbol{y}$ y $boldsymbol{sin theta}$.
Este artículo se centra en aprender cómo podemos reescribir una ecuación polar en su forma rectangular. Para aprovechar al máximo nuestra discusión, asegúrese de actualizar los siguientes temas:
- Comprender cómo podemos expresar razones trigonométricas en términos de $ x $, $ y $ y $ r $.
- Manipular expresiones trigonométricas utilizando identidades trigonométricas.
- Aprender a convertir coordenadas en forma rectangular y polar.
Por ahora, podemos actualizar nuestro conocimiento sobre la conversión de coordenadas polares a coordenadas rectangulares y ver cómo podemos extender esto para convertir ecuaciones polares.
name="-c-mo-convertir-una-ecuaci-n-polar-a-forma-rectangular-nbsp-nbsp-nbsp-nbsp-nbsp-nbsp-nbsp-nbsp-nbsp-nbsp-nbsp-nbsp-nbsp-nbsp-nbsp-nbsp-">¿Cómo convertir una ecuación polar a forma rectangular?
Recuerde que podemos convertir una coordenada polar, $ (r, theta) $, a su forma rectangular usando las propiedades que se muestran a continuación.
Podemos extender estas propiedades para encontrar las expresiones de $ r $ y $ theta $ en términos de $ x $ y $ y $. Por tanto, tenemos las siguientes ecuaciones:
comenzar {alineado} x & = rcos theta y & = rsin theta \ r ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 tan theta & = dfrac {y} {x} final {alineado}
Esto significa que cada vez que se nos da una ecuación polar, podemos convertirla a forma rectangular usando cualquiera de las cuatro ecuaciones que se muestran arriba.
- Vuelva a escribir la ecuación polar para que esté en términos de $ rcos theta $, $ rsin theta $ y $ tan theta $.
- Reemplaza las expresiones polares con su equivalente rectangular.
- Simplifique la ecuación resultante siempre que sea necesario.
Por ejemplo, si queremos cambiar $ r = 2csc theta $ en su rectangular por, necesitaremos reescribir $ 2csc theta $ en términos de $ sin theta $. Recuerde que $ csc theta = dfrac {1} {sin theta} $, así que usemos esta identidad recíproca para reescribir la expresión.
comenzar {alineado} r & = 2csc theta r & = 2cdot dfrac {1} {sin theta} fin {alineado}
Podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por $ sin theta $ y luego reemplazar $ rsin theta $ con su forma rectangular, $ y $.
comenzar {alineado} r color {azul} {cdot sin theta} & = 2cdot dfrac {1} {sin theta} color {azul} {cdot sin theta} rsin theta & = 2 y & = 2end {alineado}
Esto significa que la forma rectangular de $ r = 2csc theta $ es $ y = 2 $. Esta ecuación representa una línea horizontal que pasa por el punto $ (0, 2) $.
Esto muestra que todavía es posible graficar una ecuación polar en un sistema de coordenadas $ xy $ al convertir la ecuación polar a su forma rectangular.
Convertir ecuaciones polares a rectangulares para graficar la ecuación resultante
Como mencionamos en la sección anterior, graficamos ecuaciones polares en un sistema de coordenadas rectangulares reescribiendo primero las ecuaciones polares a su forma rectangular.
- Vuelva a escribir la ecuación en términos de $ x $ y $ y $ usando las cuatro ecuaciones que hemos discutido.
- Identifica la función principal que representa la ecuación para tener una idea del mejor enfoque para graficar la ecuación.
- Asigne valores clave para $ (x, y) $ para ayudar como guías al graficar la ecuación rectangular.
Digamos que queremos graficar $ tan theta = 4 $ en el plano $ xy $. Podemos reemplazar $ tan theta $ con $ dfrac {y} {x} $ y convertir la ecuación polar a su forma rectangular.
comenzar {alineado} tan theta & = 4 dfrac {y} {x} & = 4 y & = 4xend {alineado}
La ecuación, $ y = 4x $, es una ecuación lineal, por lo que podemos usar $ (- 2, -8) $ y $ (2, 8) $ para guiarnos en la gráfica de $ y = 4x $ como se muestra a continuación.
Eso es todo lo que necesitamos para graficar una ecuación polar en un sistema de coordenadas rectangular. ¿Estás listo para probar más problemas? No te preocupes; ¡Hemos preparado más problemas de muestra para que trabajes!
Convierta la ecuación polar, $ r = -6sec theta $ como una ecuación rectangular. Grafique la ecuación resultante en un sistema de coordenadas $ xy $.
Solución
Podemos reescribir $ sec theta $ en términos de coseno usando la identidad recíproca, $ sec theta = dfrac {1} {cos theta} $. Reescribamos la ecuación polar como se muestra a continuación.
comenzar {alineado} r & = - 6 segundos theta r & = -6 cdotdfrac {1} {cos theta} fin {alineado}
Entonces podemos multiplicar ambos lados de la ecuación por $ cos theta $. Reemplace el lado izquierdo de la ecuación con el equivalente rectangular de $ r cos theta $.
comenzar {alineado} r color {azul} {cdot cos theta} & = -6 cdotdfrac {1} {cos theta} color {azul} {cdot cos theta} r cos theta & = -6 x & = -6 end {alineado}
Esto significa que la forma polar de $ r = -6sec theta $ es igual a $ x = -6 $. Podemos ver que la ecuación $ x = -6 $ es una función lineal vertical que pasa por el punto $ (- 6, 0) $.
Convierta las siguientes ecuaciones polares a sus formas rectangulares. Asegúrese de que la ecuación rectangular resultante esté en su forma estándar.
Solución
Las dos ecuaciones deberán manipularse para que representen cualquiera de las cuatro ecuaciones que se muestran a continuación.
comenzar {alineado} x & = rcos theta y & = rsin theta \ r ^ 2 & = x ^ 2 + y ^ 2 tan theta & = dfrac {y} {x} final {alineado}
El método más fácil es que multipliquemos ambos lados de la ecuación por $ r $, por lo que terminamos con $ r ^ 2 $ en el lado derecho de la ecuación.
comenzar {alineado} r & = 2 cos theta r color {azul} {cdot r} & = (2 cos theta) color {azul} {cdot r} r ^ 2 & = 2rcos theta final {alineado}
¿Observa dos expresiones que podemos convertir a sus formas polares? Podemos reescribir $ r ^ 2 $ como $ x ^ 2 + y ^ 2 $ y $ r cos theta $ como $ x $.
comenzar {alineado} color {azul} {r ^ 2} & = 4color {azul} (rcos theta) color {azul} {x ^ 2 + y ^ 2} & = 4 {color {azul} x} x ^ 2 + y ^ 2 & = 4xend {alineado}
Podemos transponer $ 4x $ al lado izquierdo de la ecuación y luego completar el cuadrado para $ x ^ 2 - 4x $. Luego podemos factorizar el trinomio cuadrado perfecto para terminar con una ecuación con la que estamos familiarizados.
comenzar {alineado} x ^ 2 -4x + y ^ 2 & = 0 (x ^ 2 - 4x {color {blue} + 4}) + y ^ 2 & = 0 {color {blue} + 4} (x ^ 2 - 4x + 4) + y ^ 2 & = 4 (x-2) ^ 2 + y ^ 2 & = 4end {alineado}
Esto muestra que la forma rectangular de $ r = 4 cos theta $ es equivalente a $ (x - 2) ^ 2 + y ^ 2 = 4 $, que es la ecuación de un círculo centrado en $ (2, 0) $ y un radio de $ 2 $ unidades.
Aplicaremos un proceso similar para convertir $ r = -6 sin theta $ a su forma rectangular:
- Multiplica ambos lados de la ecuación por $ r $.
- Reemplace $ r ^ 2 $ y $ rsin theta $ con $ x ^ 2 + y ^ 2 $ y $ y $, respectivamente.
comenzar {alineado} r & = - 6 sin theta r {color {verde} cdot r} & = - 6 {color {verde} r} sin theta r ^ 2 & = - 6rsintheta {color {verde} x ^ 2 + y ^ 2} & = -6 ({color {verde} y}) x ^ 2 + y ^ 2 & = -6yend {alineado}
Luego podemos reorganizar la ecuación y llegar a una ecuación rectangular en forma rectangular.
- Mueve $ -6y $ en el lado izquierdo de la ecuación.
- Complete el cuadrado perfecto para $ y ^ 2 + 6y $.
- Exprese $ y ^ 2 + 6y + 9 $ como un cuadrado perfecto.
comenzar {alineado} x ^ 2 + y ^ 2 + 6y & = 0 x ^ 2 + (y ^ 2 + 6y {color {green} + 9}) & = {color {green} 9} x ^ 2 + (y +3) ^ 2 & = 9 end {alineado}
Esto significa que $ r = -6 sin theta $ es equivalente a $ x ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 9 $ en forma rectangular.
Convierta la ecuación polar, $ r ^ 2 sin 2theta = 8 $ como una ecuación rectangular. Grafique la ecuación resultante en un sistema de coordenadas $ xy $.
Solución
No tenemos conversión directa para $ sin 2theta $ si queremos convertir la ecuación en forma rectangular. En cambio, lo que podemos hacer es expresar $ sin 2theta $ en términos de $ cos theta $ y $ sin theta $ usando la identidad de doble ángulo para el seno como se muestra a continuación.
comenzar {alineado} r ^ 2 {color {verde} (sin 2theta)} & = 8 r ^ 2 {color {verde} (2sin theta cos theta)} & = 8 final {alineado}
Entonces podemos distribuir $ r ^ 2 = rcdot r $ a $ cos theta $ y $ sin theta $. Reorganicemos la ecuación y terminemos con $ r cos theta $ y $ rsin theta $ en el lado izquierdo de la ecuación.
begin {alineado} (r cdot r) (2sin theta cos theta) & = 8 2 (rcos theta) (rsin theta) & = 8 dfrac {2 (rcos theta) (rsin theta)} {2} & = dfrac {8} {2} (r cos theta) (r sin theta) & = 4 end {alineado}
Ahora tenemos expresiones polares que podemos reemplazar con sus formas rectangulares, así que reemplacemos $ rcos theta $ y $ rsin theta $ con $ x $ y $ y $, respectivamente. Aísle $ y $ en el lado izquierdo de la ecuación para escribir la ecuación en forma estándar.
comenzar {alineado} ({color {azul} r cos theta}) ({color {azul} r sin theta}) & = 4 ({color {azul} x}) ({color {azul} y}) & = 4 xy & = 4 y & = dfrac {4} {x} fin {alineado}
Esto significa que cuando se convierte a una ecuación rectangular, $ r ^ 2 sin 2theta = 6 $, es equivalente a la función recíproca, $ y = dfrac {4} {x} $.
El valor de $ x $ nunca puede ser cero, por lo que esperamos que $ x = 0 $ y $ y = 0 $ sean asíntotas. Asignemos algunos valores para $ x $ para encontrar algunos puntos para $ (x, y) $.
Podemos graficar estos puntos como una guía para graficar la función recíproca, $ y = dfrac {4} {x} $.
Esto muestra que podemos convertir ecuaciones polares en ecuaciones rectangulares y graficarlas usando nuestro conocimiento previo de funciones.
name="preguntas-de-pr-ctica">Preguntas de práctica
1. Convierta la ecuación polar, $ r = 4sec theta $ como una ecuación rectangular. Grafique la ecuación resultante en un sistema de coordenadas $ xy $.
2. Convierta las siguientes ecuaciones polares a sus formas rectangulares. Asegúrese de que la ecuación rectangular resultante esté en su forma estándar.
una. $ r = -16 porque theta $
B. $ r = 12 sin theta $
3. Convierta la ecuación polar, $ r ^ 2 sin 2theta = -12 $ como una ecuación rectangular. Grafique la ecuación resultante en un sistema de coordenadas $ xy $.
name="clave-de-respuestas">clave de respuestas
2.
a. $(x + 8)^2 + y^2= 64$
b. $ x ^ 2 + (y - 6) ^ 2 = 36 $
3. $ y = -dfrac {6} {x} $
Las imágenes / dibujos matemáticos se crean con GeoGebra.
