La fórmula cuadrática

La fórmula cuadrática

Hay algunos métodos para resolver ecuaciones cuadráticas. Si la ecuación cuadrática no se puede resolver fácilmente mediante el método de factorización, recurrimos a completar el cuadrado o el Fórmula cuadrática.

Entonces, la fórmula cuadrática es una forma garantizada o infalible de resolver ecuaciones cuadráticas. Eso significa que todas las ecuaciones cuadráticas se pueden resolver mediante la fórmula cuadrática.

Dicho esto, si nos dan una ecuación cuadrática de la forma



grande {ax ^ 2 + bx + c = 0}

donde a, byc son n√ļmeros reales pero a no es igual a cero a ne 0; y x es la variable desconocida, simplemente tomamos los valores de a, byc, los reemplazamos en la f√≥rmula cuadr√°tica y luego simplificamos para encontrar las respuestas. Las respuestas a las ecuaciones cuadr√°ticas se llaman soluciones, ceros o ra√≠ces.

Pero antes de que podamos aplicar la f√≥rmula cuadr√°tica, debemos asegurarnos de que la ecuaci√≥n cuadr√°tica est√© en la forma est√°ndar. Una ecuaci√≥n cuadr√°tica se expresa en forma est√°ndar si todas las variables y coeficientes se encuentran en un lado de la ecuaci√≥n, y el opuesto en el s√≠mbolo igual es simplemente cero. Es decir, si es posible, reescribimos y reorganizamos cualquier ecuaci√≥n en la forma color {red} ax ^ 2 + bx + c = 0. La palabra cuadr√°tica proviene de la palabra latina ‚Äúcuadrado‚ÄĚQue significa‚Äú cuadrado ‚ÄĚ. En √°lgebra, la palabra cuadrado denota multiplicar un n√ļmero o una variable por s√≠ mismo. Observe que el exponente m√°s alto de la variable x en una ecuaci√≥n cuadr√°tica es 2 (x elevado a la segunda potencia).

La fórmula cuadrática

Observe también que en la fórmula cuadrática anterior, hay un color de símbolo más o menos {rojo} grande {pm} dentro de la fórmula, lo que implica que vamos a considerar dos casos al resolver las soluciones.



Discriminante de la fórmula cuadrática

El discriminante es la parte de la fórmula cuadrática que está dentro de la raíz cuadrada. Para enfatizar, es solo la expresión color {red} {b ^ 2-4ac} excluyendo el símbolo radical.

GRANDE {x = {{- b, pm, sqrt {{color {red} {b ^ 2} - 4ac}}} sobre {2a}}}

El discriminante de la f√≥rmula cuadr√°tica proporciona informaci√≥n muy √ļtil sobre la naturaleza de las soluciones. De hecho, puede determinar el n√ļmero y tipo de soluciones de una ecuaci√≥n cuadr√°tica.

Adem√°s, cuando se trata de discriminantes, realmente no nos importa qu√© tan grande o peque√Īo sea el n√ļmero. En cambio, solo nos interesa si es positivo, cero o negativo. 

  • Si el discriminante es positivo color {rojo} grande {+}, entonces la ecuaci√≥n cuadr√°tica tiene Digital XNUMXk distintas soluciones reales.
  • Si el discriminante es cero color {rojo} grande {0}, entonces la ecuaci√≥n cuadr√°tica tiene exactamente Digital XNUMXk soluci√≥n real.
  • Si el discriminante es negativas color {rojo} grande {-}, entonces la ecuaci√≥n cuadr√°tica tiene Digital XNUMXk soluciones complejas, por lo tanto no soluci√≥n real
La fórmula cuadrática

Ejemplos de uso de la fórmula cuadrática

Ejemplo 1: Resuelve {x ^ 2} + 4x - 12 = 0 usando la fórmula cuadrática.



Esta ecuación se puede resolver fácilmente mediante el método de factorización. Pero por el bien de esta lección, se nos pide que lo resolvamos usando la fórmula cuadrática.

La ecuación ya está en la forma estándar. Los valores de a, byc se pueden identificar fácilmente.

La fórmula cuadrática

Conéctelos a la fórmula y luego simplifique.

La fórmula cuadrática

Las soluciones son 2 y -6.


Grafiquemos fleft (x right) = {x ^ 2} + 4x - 12 y veamos lo que obtenemos.

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Como puede ver, la gráfica cruza o interseca el eje x en -6 y 2. Las intersecciones con el eje x de la parábola coinciden con las soluciones que hemos calculado usando la fórmula cuadrática.


Ejemplo 2: Resuelve 3 {x ^ 2} - 17x + 3 = - 7 usando la fórmula cuadrática.

El lado derecho de la ecuación no es completamente cero. Hay -7 colgando ahí. Podemos deshacernos de él sumando ambos lados de la ecuación por 7.

3 {x ^ 2} - 17x + 3 {color {rojo} + 7} = - 7 {color {rojo} + 7}

3 {x ^ 2} - 17x + 10 = 0

Claramente, la ecuación cuadrática está ahora en la forma estándar. Antes de resolverlo, revisemos su discriminante para ver qué tipo de soluciones vamos a obtener.

Desde 3 {x ^ 2} - 17x + 10 = 0

a = 3

b = -17

c = 10

El discriminante es b ^ 2-4ac, por lo tanto

{b ^ 2} - 4ac = {izquierda ({- 17} derecha) ^ 2} - 4izquierda (3 derecha) izquierda ({10} derecha)

= 289 - 120

= 169

Dado que el discriminante es positivo, tendremos 2 soluciones o raíces reales.

Procedamos a resolver la ecuación cuadrática. Identifica a, b y c de la ecuación.

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Sustituye los valores en la fórmula cuadrática y luego simplifica.

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Las soluciones son 5 y Large {{2 over 3}}.

La gráfica de fleft (x right) = 3 {x ^ 2} - 17x + 10. Observa que las intersecciones con el eje x son las soluciones de la ecuación cuadrática.

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Ejemplo 3: Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación cuadrática 4 {x ^ 2} - x + 9 = 3x + 8.

Dado que ninguno de los lados de la ecuación es cero, significa que la ecuación no está escrita en forma estándar. Muevamos todo hacia el lado izquierdo haciendo que el lado derecho sea igual a cero. Resta ambos lados por 8, luego por 3x.

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De 4 {x ^ 2} - 4x + 1 = 0, tenemos los valores a = 4, b = -4 y c = 1.

Calculando el discriminante, obtenemos

{b ^ 2} - 4ac = {izquierda ({- 4} derecha) ^ 2} - 4izquierda (4 derecha) izquierda (1 derecha)

= 16 - 16

= 0

Dado que el discriminante es igual a 0, la ecuación cuadrática tiene color {rojo} 1 solución real.

Comprobemos si de hecho la ecuación cuadrática tiene una raíz real.

La fórmula cuadrática

Inserta los valores de a, byc en la fórmula cuadrática y luego simplifica.

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La soluci√≥n es Grande {1 sobre 2}. Si, solo hay Digital XNUMXk soluci√≥n de n√ļmero real seg√ļn lo predicho por el discriminante.

Esta es la gr√°fica de fleft (x right) = 4 {x ^ 2} - 4x + 1. Observe que la gr√°fica NO cruza ni interseca el eje x en general {1 over 2}. En cambio, solo lo toca.

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Ejemplo 4: Usa la fórmula cuadrática para resolver la ecuación cuadrática 3 {x ^ 2} - 11x + 4 = 2 {x ^ 2} - 5x.

Podemos transformar la ecuación cuadrática a la forma estándar sumando 5x a ambos lados de la ecuación y luego restando por 2x ^ 2.

La fórmula cuadrática

Determine los valores de a, byc a partir de la forma estándar de la ecuación cuadrática.

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Sustituye los valores en la fórmula y luego simplifica.

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Las soluciones son 3 + sqrt 5 y 3 - sqrt 5. Note que las ra√≠ces son n√ļmeros irracionales.

Aquí está la gráfica de fleft (x right) = {x ^ 2} - 6x + 4. Las intersecciones con el eje x son las soluciones de la ecuación cuadrática dada.

La fórmula cuadrática

Ejemplo 5: Resuelve 5 {x ^ 2} + 3x + 4 = 4 {x ^ 2} + 7x - 9 usando la fórmula cuadrática.

La ecuación cuadrática es un desastre. Necesitamos reescribirlo en forma estándar. Podemos hacer eso sumando ambos lados por 9. Luego, resta ambos lados por 7x. Finalmente, resta ambos lados por 4 {x ^ 2}.

La fórmula cuadrática

De la forma est√°ndar {x ^ 2} - 4x + 13 = 0, los valores de a, byc son los siguientes.

grande {a = 1}

grande {b = -4}

grande {c = 13}

Calculando el discriminante

grande {{b ^ 2} - 4ac = {izquierda ({- 4} derecha) ^ 2} - 4izquierda (1 derecha) izquierda (13 derecha)}

grande {= 16 - 52}

grande {= - 36}

Dado que el discriminante es negativo, la ecuación cuadrática tendrá dos complejos soluciones.

Ahora resolvemos la ecuación usando la fórmula.

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Sustituye y luego simplifica.

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Las soluciones complejas son 2 + 3i y 2 - 3i.

Dado que las soluciones son n√ļmeros complejos, la gr√°fica de la par√°bola no no es intersecar o tocar el eje x. Tambi√©n significa que el gr√°fico no tiene intersecciones con el eje x, como puede ver en el siguiente gr√°fico.

La fórmula cuadrática

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Derivación de la fórmula cuadrática



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