Dominio y rango de funciones radicales y racionales

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Alejandra Rangel
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Dominio y rango de funciones radicales y racionales

Esta vez abordaremos cómo encontrar el dominio y rango de funciones más interesantes, a saber, funciones radicales y funciones racionales. Veremos dos (2) ejemplos sobre cómo encontrar el dominio y rango de funciones radicales, y también dos (2) ejemplos de funciones racionales.

Si desea repasar, también tengo una lección separada sobre cómo encontrar el dominio y el rango de funciones lineales y cuadráticas.


Ejemplos de cómo encontrar el dominio y el rango de funciones radicales y racionales

Ejemplo 1: Encuentra el dominio y rango de la función radical


y = sqrt {x - 2}

Recuerde que no puedo tener valores x que pueden resultar en tener un número negativo debajo del símbolo de la raíz cuadrada. Para encontrar el dominio ("buenos valores de x"), sé que está permitido sacar la raíz cuadrada de cero o de cualquier número positivo. Mi plan es encontrar todos los valores de x que satisfagan esa condición. Se convertirá en el propio dominio.

Dejaría que la expresión debajo del radical, x-2, sea mayor o igual a cero; y luego resuelve la desigualdad. Mira mi otra lección sobre cómo resolver desigualdades.

Esta función radical tiene un dominio de x ≥ 2. Necesito tener cuidado para encontrar el rango de esta función. El gráfico de la función se ve así ...



La función radical comienza en y = 0 y puede ir tan alto como quiera (infinito positivo). Puede pensar que esta función crece lentamente (aumento lento de los valores de y) por lo que no puede alcanzar valores extremadamente grandes. Sin embargo, debe tener en cuenta que introducir un valor de x suficientemente grande (es decir, en miles de millones de billones) puede dar como resultado un valor de salida muy grande de y.

Por lo tanto, afirmaré que el distancia de esta función es y ≥ 0.

Este es el resumen del dominio y el rango escrito en notación de conjuntos e intervalos.


Ejemplo 2: Encuentra el dominio y rango de la función radical

y = - sqrt {10 - 2x}


Los valores aceptables bajo la raíz cuadrada son cero y números positivos. Así que dejaré que las "cosas" dentro del radical sean iguales o mayores que cero, y luego resolveré la desigualdad requerida.

Ahora, el dominio de la función es x ≤ 5. Al igual que en nuestros ejemplos anteriores, graficaré la función para determinar el rango.


La función radical comienza en y = 0, y luego disminuye lenta pero constantemente en valores hasta el infinito negativo. Esto hace que el rango y ≤ 0. A continuación se muestra el resumen tanto del dominio como del rango.

Ejemplo 3: Encuentra el dominio y rango de la función racional


Grande {y = {5 sobre {x - 2}}}

Esta función contiene un denominador. Esto me dice que debo encontrar los valores de x que pueden hacer que el denominador sea cero para evitar la caso indefinido suceder

Aquí, nuestro dominio es todos los valores de x pero no incluye x = 2. Tiene mucho sentido porque puedo insertar cualquier valor de x en la función con la excepción de x = 2, y la función tendrá salidas válidas. El siguiente gráfico muestra que x = 2 es en realidad una asíntota vertical (consulte la línea discontinua naranja).

Encontrar el rango es un poco complicado. Mirando el gráfico con atención, veo que sube sin límite y también baja sin límite. Sin embargo, no me apresuraré a afirmar que el rango es todos los valores de y. Algo está sucediendo mientras el gráfico se mueve hacia la derecha sin límite. ¿Ves que se acerca cada vez más a cero? De manera similar, esta característica también ocurre cuando el gráfico se mueve hacia la izquierda sin límite. También se acerca mucho a cero, pero no del todo. Este rápido análisis me da la intuición de que tal vez y no puede ser igual a cero.

Hacer un análisis de “sentido común” para mostrar que y no puede ser igual a cero (y ≠ 0).

Volviendo a la función original

Grande {y = {5 sobre {x - 2}}}

Si quiero que y sea igual a cero, necesito encontrar los valores de x para hacer el trabajo. Si lo piensas bien, no hay valores de x que puedan hacer que suceda. ¿Por qué? Porque para que la expresión racional se convierta en cero, el NUMERADOR DEBE SER CERO. Pero el numerador no es cero, de hecho, ¡es 5!

Esto me dice que nunca pude encontrar una entrada (dominio) para tener una salida de cero (rango).

Por lo tanto, el rango es todos los valores de y, pero no incluye y = 0. El círculo abierto en el siguiente gráfico denota que y = 0 es excluidos de la gama.

Este es nuestro resumen final para el dominio y rango de la función racional dada.

Ejemplo 4: Encuentra el dominio y rango de la función racional

Grande {y = {{{x ^ 3}} sobre {x - 2}}}

El dominio de esta función es exactamente el mismo que en el Ejemplo 7. La idea nuevamente es excluir los valores de x que pueden hacer que el denominador sea cero. Obviamente, ese valor es x = 2 y, por lo tanto, el el dominio son todos los valores de x excepto x = 2.

Para encontrar el rango, dependeré en gran medida del gráfico en sí. Es posible dibujarlo a mano utilizando técnicas gráficas más avanzadas, pero lo dejo para otra lección. De todos modos, el gráfico muestra que cubre todos los valores de y posibles: sube y baja sin límites y no hay interrupciones en el medio. Por lo tanto, los el rango son todos los valores de y.

El dominio y el rango escritos de dos formas.

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