Matriz cuadrada: explicación y ejemplos

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Matriz cuadrada: explicación y ejemplos

A matriz cuadrada es un tipo especial de matriz en la que el número de filas es igual al número de columnas. En estética, toma la forma de un cuadrado. En primer lugar, verifiquemos la definición formal de una matriz cuadrada.



Una matriz que tiene el mismo número de filas y columnas se conoce como matriz cuadrada.

En este artículo, veremos de cerca qué son las matrices cuadradas, cómo cuadrar una matriz, las propiedades de la matriz cuadrada y el determinante de una matriz cuadrada. ¡Empecemos!


¿Qué es una matriz cuadrada?

Una matriz cuadrada es un tipo especial de matriz en la que el número de filas es igual al número de columnas. Si una matriz cuadrada tiene $ n $ filas y $ n $ columnas, se dice que es del orden $ n $.

Estéticamente, como sugiere el nombre, la matriz parece un cuadrado. Las matrices cuadradas pueden ser del orden de $ 1 $, $ 2 $ o cualquier número, $ n $. ¡Teóricamente podemos tener una matriz cuadrada del orden de $ 100 $! Pero en la práctica, es difícil trabajar con matrices cuadradas del orden de $ 11 $ o más.

A continuación, mostramos algunas de las matrices cuadradas más comunes.

$ begin {bmatrix} a end {bmatrix} $


Esta es una matriz de $ 1 por 1 $. Tiene $ 1 $ fila y $ 1 $ columna. Esta es la matriz cuadrada más simple.

Siguiente,

$ begin {bmatrix} s & t u & {v} end {bmatrix} $

Esta es una matriz de $ 2 por 2 $. Tiene filas de $ 2 $ y columnas de $ 2 $. Esta matriz es del orden de $ 2 $.

Por último, tenemos:

$ begin {bmatrix} 3 & 4 & 5 {- 1} & {-3} & 4 {- 2} & {- 8} & 1 end {bmatrix} $

Esta es una matriz de $ 3 por 3 $. Tiene filas de $ 3 $ y columnas de $ 3 $. Esta matriz es del orden de $ 3 $.

Por supuesto, podemos tener matrices cuadradas de orden $ 4 $, $ 5 $ o más, pero no se encuentran hasta el álgebra lineal de orden superior. Para el propósito de este artículo, nos ceñiremos únicamente a matrices cuadradas del orden $ 1 $, $ 2 $ y $ 3 $.


Matriz de identidad

Este es un tipo especial de matriz cuadrada donde los valores de una matriz cuadrada, además de su diagonal, son ceros. A continuación mostramos matrices de identidad de orden $ 1 $, $ 2 $ y $ 3 $.

Matriz de identidad del pedido $ 1 $

$ begin {bmatrix} 1 end {bmatrix} $

Matriz de identidad del pedido $ 2 $


$ begin {bmatrix} 1 & {0} {0} & 1 end {bmatrix} $

Matriz de identidad del pedido $ 3 $

$ begin {bmatrix} 1 & {0} & {0} {0} & 1 & {0} {0} & {0} & 1 end {bmatrix} $

El matriz de identidad es la matriz equivalente del número "1".

Cómo cuadrar una matriz

Square Matrix es una tipo de matriz.

Pero cuando hablamos de cuadratura una matriz, en realidad estamos haciendo una operación de multiplicar una matriz por sí misma. Entonces, ¿cómo cuadramos una matriz?

Si cuadráramos una matriz $ A $, multiplicaríamos la matriz $ A $ por sí misma. Seguirá el proceso de multiplicación de matrices. Mostramos el cuadrado de una matriz de $ 2 por 2 $ a continuación.

Tenemos Matrix $ A $:

$ A = begin {bmatrix} 1 & 1 3 & {-2} end {bmatrix} $

Vamos cuadrado la Matriz $ A $.

$ A ^ {2} = begin {bmatrix} 1 & 1 3 & {-2} end {bmatrix} tiempos comienzan {bmatrix} 1 & 1 3 & {-2} end {bmatrix} $


$ A ^ {2} = comenzar {bmatriz} (1 * 1 + 1 * 3) & (1 * 1 + 1 * -2) (3 * 1 + -2 * 3) & (3 * 1 + -2 * -2) final {bmatrix} $

$ A ^ {2} = begin {bmatrix} 4 & {- 1} {- 3} & {7} end {bmatrix} $


Si quieres saber cómo hicimos la multiplicación, lee el artículo multiplicación de matrices.

Propiedades de la matriz cuadrada

Hay varias propiedades de las matrices cuadradas, pero para el propósito de este artículo, veremos algunas de las propiedades que caen dentro del alcance de esta lección.

Propiedad 1:

Una matriz cuadrada se llama matriz simétrica si los elementos de la matriz son simétricos con respecto a la diagonal principal.

Ejemplos de $ 2 por 2 $ y $ 3 por 3 $ matrices simétricas se muestran a continuación:

$ begin {bmatrix} 1 & 7 7 & 5 end {bmatrix} $

$ begin {bmatrix} 1 & 1 & 5 1 & 3 & 4 5 & 4 & 2 end {bmatrix} $

Propiedad 2:

Una matriz cuadrada se llama matriz simétrica sesgada si los elementos de la matriz son negativamente simétrico con respecto a la diagonal principal.

Ejemplos de $ 2 por 2 $ y $ 3 por 3 $ matrices simétricas sesgadas se muestran a continuación:

$ begin {bmatrix} 1 & {- 1} 1 & 3 end {bmatrix} $

$ begin {bmatrix} 1 & 3 & {- 2} {- 3} & 1 & {0} 2 & {0} & 4 end {bmatrix} $

Propiedad 3:

Se dice que una matriz cuadrada es diagonal si los elementos de la matriz, distintos de los elementos diagonales principales, son ceros.

A continuación se muestra un ejemplo de una matriz diagonal de $ 3 por 3 $.

$ begin {bmatrix} 1 & {0} & {0} {0} & 4 & {0} {0} & {0} & {- 2} end {bmatrix} $

Propiedad 4:

Una matriz cuadrada $ B $ se llama ortogonal si $ BB ^ {T} = I $, donde $ B ^ {T} $ es la transposición de la matriz y $ I $ es la matriz identidad.

Propiedad 5:

Si $ B $ es una matriz cuadrada del orden $ n $, entonces es rastrear, denotado por $ tr (B) $, es la suma de los elementos en su diagonal principal.

Determinante de una matriz cuadrada

El determinante de una matriz cuadrada es un valor escalar que se puede calcular a partir de los elementos de la matriz. Veamos el determinante de una matriz de $ 2 por 2 $.

Tomemos la matriz $ A $, que se muestra a continuación:

$ A = comenzar {bmatrix} a & b c & d end {bmatrix} $

Entonces, el determinante de esta matriz es:

$ det (A) = anuncio - bc $

El determinante de una matriz de $ 3 por 3 $ es un poco complicado y lo deja para que lo vea aquí.

Revisemos algunos ejemplos para aclarar nuestra comprensión de las matrices cuadradas.

ejemplo 1

Dé un ejemplo de una matriz cuadrada con un pedido de $ 4 $.

Solución

No hemos mirado una matriz cuadrada de orden $ 4 $. Pero es bastante sencillo escribir uno. Simplemente escriba una matriz con filas de $ 4 $ y columnas de $ 4 $ con dieciséis elementos en su interior. Mostrado a continuación:

$ T = comenzar {pmatrix} a & b & c & d e & f & g & h i & j & k & l m & n & o & p end {pmatrix} $

ejemplo 2

A continuación se muestra una matriz cuadrada $ B $:

$ B = comenzar {bmatrix} {0} & 4 {- 4} & 2 end {bmatrix} $

¿Cuál es el cuadrado de la matriz $ B $?

Solución

Para cuadrar una matriz, la multiplicamos por sí misma. Mostrado a continuación:

$ B ^ {2} = begin {bmatrix} {0} & 4 {- 4} & 2 end {bmatrix} tiempos comienzan {bmatrix} {0} & 4 {- 4} & 2 end {bmatrix} $

$ B ^ {2} = comenzar {bmatrix} (0 * 0 + 4 * {- 4}) & (0 * 4 + 4 * 2) ({- 4} * 0 + 2 * {- 4}) & ({- 4} * 4 + 2 * 2) final {bmatrix} $

$ B ^ {2} = begin {bmatrix} {- 16} & 8 {- 8} & {- 12} end {bmatrix} $

ejemplo 3

Calcule el determinante de la matriz $ P $.

$ P = begin {bmatrix} {- 9} & {- 5} {0} & 4 end {bmatrix} $

Solución

La matriz $ P $ es una matriz cuadrada de orden $ 2 $. Calculamos el determinante de la matriz $ P $ usando la fórmula del determinante de una matriz de $ 2 por 2 $.

$ det (P) = ({- 9}) (4) - ({0}) ({- 5}) $

$ = {- 36} $

Preguntas de práctica

  1. Escriba un ejemplo de cada uno de los siguientes:
    1. $ 4 por 4 $ matriz diagonal
    2. $ 3 por 3 $ matriz de identidad
    3. $ 3 por 3 $ matriz simétrica
    4. $ 2 por 2 $ matriz simétrica sesgada
  2. ¿Qué es cuadrado de la matriz $ C $ que se muestra a continuación:
    $ C = begin {bmatrix} 1 & {0} {- 2} & 8 end {bmatrix} $
  3. ¿Qué es rastrear de la matriz de $ 3 por 3 $ que se muestra a continuación:
    $ S = begin {bmatrix} 1 & {- 1} & 9 {0} & {- 4} & 1 11 & {- 3} & 1 end {bmatrix} $
  4. Calcula el determinante de la matriz de $ 2 por 2 $ que se muestra a continuación:
    $ G = begin {pmatrix} 3 & 6 {- 2} & 8 end {pmatrix} $

respuestas

  1. A continuación, se muestra un ejemplo de cada uno de los siguientes:
    1. $ begin {pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 0 & 4 & 0 & 0 0 & 0 & {- 9} & 0 0 & 0 & 0 & 11 end {pmatrix} $
    2. $ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 end {bmatrix} $
    3. $ begin {bmatrix} 1 & 1 & 7 1 & 4 & 2 7 & 2 & 3 end {bmatrix} $
    4. $ begin {bmatrix} {3} & {4} {-4} & {- 3} end {bmatrix} $
  2. Calculemos el cuadrado de la matriz $ C $ multiplicando C por sí mismo. Mostrado a continuación:

    $ C ^ {2} = begin {bmatrix} 1 & {0} {- 2} & 8 end {bmatrix} tiempos comienzan {bmatrix} 1 & {0} {- 2} & 8 end {bmatrix} $

    $ C ^ {2} = comenzar {bmatrix} (1 * 1 + 0 * {- 2}) & (1 * 0 + 0 * 8) (1 * {- 2} + {- 2} * 8) & ({- 2} * 0 + 8 * 8) final {bmatrix} $

    $ C ^ {2} = begin {bmatrix} 1 & {0} {- 18} & {64} end {bmatrix} $

  3. Sabemos que la traza es la suma de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada. Por lo tanto, calculamos la traza como se muestra a continuación:

    $ tr (S) = 1 + ({- 4}) + 1 = {- 2} $

    El el rastro de Matrix $ S $ es 2.

  4. La matriz $ G $ es una matriz cuadrada de orden $ 2 $. Calculamos el determinante de la Matriz $ G $ usando la fórmula del determinante de una matriz de $ 2 por 2 $.

    $ det (G) = (3) (8) - ({- 2}) (6) $
    $ det (G) = 24 + 12 $
    $ det (G) = 36 $



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