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    Notación de función: explicación y ejemplos

    Quien soy
    Martí Micolau
    @martímicolau

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    Notación de función: explicación y ejemplos

    El concepto de funciones se desarrolló en el siglo XVII cuando René Descartes utilizó la idea para modelar relaciones matemáticas en su libro Geometría. El término "función" fue introducido por Gottfried Wilhelm Leibniz cincuenta años después de la publicación de Geometry.



    Más tarde, Leonhard Euler formalizó el uso de funciones cuando introdujo el concepto de notación de funciones; y = f (x). Fue hasta 1837 cuando Peter Dirichlet, un matemático alemán, dio la definición moderna de función.


    ¿Qué es una función?

    En matemáticas, una función es un conjunto de entradas con una única salida en cada caso. Cada función tiene un dominio y un rango. El dominio es el conjunto de valores independientes de la variable x para una relación o función definida. En palabras simples, el dominio es un conjunto de valores de x que generan los valores reales de y cuando se sustituyen en la función.

    Por otro lado, el rango es un conjunto de todos los valores posibles que puede producir una función. El rango de una función se puede expresar en notación de intervalo o informar de desigualdades.

    ¿Qué es una notación de función?

    La notación se puede definir como un sistema de símbolos o signos que denotan elementos como frases, números, palabras, etc.


    Por lo tanto, la notación de funciones es una forma en la que una función se puede representar mediante símbolos y signos. La notación de funciones es un método más simple de describir una función sin una explicación extensa por escrito.

    La notación de función más utilizada es f (x), que se lee como "f" de "x". En este caso, la letra x, colocada entre paréntesis y el símbolo completo f (x), representan el conjunto de dominios y el conjunto de rangos, respectivamente.

    Aunque f es la letra más utilizada al escribir la notación de funciones, cualquier otra letra del alfabeto también se puede utilizar en mayúsculas o minúsculas.

    Ventajas de usar la notación de funciones

    • Dado que la mayoría de las funciones se representan con varias variables como; a, f, g, h, k, etc., usamos f (x) para evitar confusiones en cuanto a qué función se está evaluando.
    • La notación de funciones permite identificar la variable independiente con facilidad.
    • La notación de funciones también nos ayuda a identificar el elemento de una función que debe examinarse.

    Considere una función lineal y = 3x + 7. Para escribir dicha función en notación de función, simplemente reemplazamos la variable y con la frase f (x) para obtener;


    f (x) = 3x + 7. Esta función f (x) = 3x + 7 se lee como el valor de f en xo como f de x.

    Tipos de funciones

    Hay varios tipos de funciones en Álgebra.

    Los tipos de funciones más comunes incluyen:


    • Función lineal

    Una función lineal es un polinomio de primer grado. Una función lineal tiene la forma general de f (x) = ax + b, donde ayb son valores numéricos y a ≠ 0.

    • Función cuadrática

    Una función polinomial de segundo grado se conoce como función cuadrática. La forma general de una función cuadrática es f (x) = ax2 + bx + c, donde a, byc son números enteros y a ≠ 0.

    • Función cúbica

    Esta es una función polinomial de tercer grado que tiene la forma f (x) = ax3 + bx3 + cx + d

    • Función logarítmica

    Una función logarítmica es una ecuación en la que una variable aparece como argumento de un logaritmo. El general de la función es f (x) = log a (x), donde a es la base y x es el argumento

    • Funcion exponencial

    Una función exponencial es una ecuación en la que la variable aparece como exponente. La función exponencial se representa como f (x) = ax.

    • Funcion trigonometrica

    f (x) = sin x, f (x) = cos x, etc.son ejemplos de funciones trigonométricas

    1. Función de identidad:

    Una función identidad es tal que f: A → B y f (x) = x, ∀ x ∈ A

    1. Función racional:

    Se dice que una función es racional si R (x) = P (x) / Q (x), donde Q (x) ≠ 0.



    ¿Cómo evaluar funciones?

    La evaluación de funciones es el proceso de determinar los valores de salida de una función. Esto se hace sustituyendo los valores de entrada en la notación de función dada.

    ejemplo 1

    Escriba y = x2 + 4x + 1 usando la notación de función y evalúe la función en x = 3.

    Solución

    Dado, y = x2 + 4x + 1

    Al aplicar la notación de funciones, obtenemos

    f (x) = x2 + 4x + 1

    Evaluación:

    Sustituye x por 3

    f (3) = 32 + 4 × 3 + 1 = 9 + 12 + 1 = 22

    ejemplo 2

    Evalúe la función f (x) = 3 (2x + 1) cuando x = 4.

    Solución

    Reemplaza x = 4 en la función f (x).

    f (4) = 3 [2 (4) + 1]

    f (4) = 3 [8 + 1]

    f (4) = 3 x 9

    f (4) = 27

    ejemplo 3

    Escriba la función y = 2x2 + 4x - 3 en notación de función y encuentre f (2a + 3).

    Solución

    y = 2x2 + 4x - 3 ⟹ f ​​(x) = 2x2 + 4x - 3

    Sustituye x con (2a + 3).

    f (2a + 3) = 2 (2a + 3) 2 + 4 (2a + 3) - 3

    = 2 (4a2 + 12a + 9) + 8a + 12 - 3
    = 8a2 + 24a + 18 + 8a + 12 - 3
    = 8a2 + 32a + 27

    ejemplo 4

    Represente y = x3 - 4x usando la notación de funciones y resuelva para y en x = 2.

    Solución

    Dada la función y = x3 - 4x, reemplace y con f (x) para obtener;

    f (x) = x3 - 4x

    Ahora evalúe f (x) cuando x = 2

    ⟹ f (2) = 23 - 4 × 2 = 8-8 = 0

    Por lo tanto, el valor de y en x = 2 es 0

    ejemplo 5

    Encuentre f (k + 2) dado que, f (x) = x² + 3x + 5.

    Solución

    Para evaluar f (k + 2), sustituya x con (k + 2) en la función.

    ⟹ f (k + 2) = (k + 2) ² + 3 (k + 2) + 5

    ⟹ k² + 2² + 2k (2) + 3k + 6 + 5

    ⟹ k² + 4 + 4k + 3k + 6 + 5

    = k² + 7k + 15

    ejemplo 6

    Dada la notación de la función f (x) = x2 - x - 4. Halla el valor de x cuando f (x) = 8

    Solución

    f (x) = x2 - x - 4

    Sustituye f (x) por 8.

    8 = x2 - x - 4

    x2 - x - 12 = 0

    Resuelva la ecuación cuadrática factorizando para obtener;

    ⟹ (x - 4) (x + 3) = 0

    ⟹ x - 4 = 0; x + 3 = 0

    Por lo tanto, los valores de x cuando f (x) = 8 son;

    x = 4; x = -3

    ejemplo 7

    Evalúe la función g (x) = x2 + 2 en x = −3

    Solución

    Sustituye x con -3.

    g (−3) = (−3) 2 + 2 = 9 + 2 = 11

    Ejemplos de la vida real de notación de funciones

    La notación de funciones se puede aplicar en la vida real para evaluar problemas matemáticos como se muestra en los siguientes ejemplos:

    ejemplo 8

    Para fabricar un determinado producto, una empresa gasta x dólares en materias primas y y dólares en mano de obra. Si el costo de producción se describe mediante la función f (x, y) = 36000 + 40x + 30y + xy / 100. Calcule el costo de producción cuando la empresa gaste $ 10,000 y $ 1,000 en materias primas y mano de obra, respectivamente.

    Solución

    Dado x = $ 10,000 ey = $ 1,000

    Sustituye los valores de xey en la función de costo de producción

    ⟹f (10000, 1000) = 36000 + 40 (10000) + 30 (1000) + (10000) (1000) / 100.

    ⟹ f (10000, 1000) = 36000 + 4000000 + 30000 + 100000

    ⟹ $ 4136000.

    ejemplo 9

    Mary ahorra $ 100 semanales para su próxima fiesta de cumpleaños. Si ya tiene $ 1000, ¿cuánto tendrá después de 22 semanas?

    Solución

    Sea x = número de semanas yf (x) = cantidad total. Podemos escribir este problema en notación de funciones como;

    f (x) = 100x + 1000
    Ahora evalúe la función cuando x = 22
    f (22) = 100 (22) +1000
    f (22) = 3200

    Por lo tanto, el monto total es $ 3200.

    ejemplo 10

    La tasa de tiempo de conversación de dos cargos de redes móviles A y B es $ 34 más 0.05 / min y $ 40 más 0.04 / min respectivamente.

    1. Represente este problema en notación de funciones.
    2. ¿Qué red móvil es asequible dado que la cantidad promedio de minutos utilizados cada mes es de 1,160?
    3. ¿Cuándo es igual la factura mensual de las dos redes?

    Solución

    1. Sea x el número de minutos utilizados en cada red.

    Por lo tanto, la función de la red A es f (x) = 0.05x + 34 y la red B es f (x) = 0.04x + $ 40.

    1. Para determinar qué red es asequible, sustituya x = 1160 en cada función

    Una ⟹ f (1160) = 0.05 (1160) + 34

    = 58 + 34 = $ 92

    B ⟹ f (1160) = 0.04 (1160) + 40

    = + 46.4 40

    = $ 86.4

    Por lo tanto, la red B es asequible porque su costo total de tiempo de conversación es menor que el de A.

    1. Iguala las dos funciones y resuelve x

    ⟹ 0.05x +34 = 0.04x + 40

    ⟹ 0.01x = 6

    x = 600

    La factura mensual de A y B será igual cuando el promedio de minutos sea 600.

    Prueba:

    A ⟹ 0.05 (600) +34 = $ 64

    B ⟹ 0.04 (600) + 40 = $ 64

    ejemplo 11

    Cierto número es tal que cuando se suma a 142, el resultado es 64 más que tres veces el número original. Encuentra el número.

    Solución

    Sea x = el número original yf (x) el número resultante después de sumar 142.

    f (x) = 142 + x = 3x + 64

    2x = 78

    x = 39

    ejemplo 12

    Si el producto de dos números enteros positivos consecutivos es 1122, calcule los dos números enteros.

    Solución

    Sea x el primer número entero;

    segundo entero = x + 1

    Ahora forme la función como;

    f (x) = x (x + 1)

    hallar el valor de x si f (x) = 1122

    Reemplaza la función f (x) por 1122

    1122 = x (x + 1)

    1122 = x2 + 1

    x2 = 1121

    Encuentra el cuadrado de ambos lados de la función

    x = 33

    x + 1 = 34

    Los números enteros son 33 y 34.



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