Propiedad conmutativa: propiedades y ejemplos
La palabra 'conmutativo'se toma de la palabra francesa'viajar diariamente,'lo que significa moverse. Para que los números o variables mantengan la propiedad conmutativa, pueden moverse (dentro de una expresión) como un viajero y dar el mismo resultado cuando se les aplica una operación en particular. Desde la antigüedad se conocía la propiedad conmutativa, pero los matemáticos empezaron a utilizarla a finales del siglo XVIII.
El La propiedad conmutativa está relacionada con las operaciones binarias. y funciones. Si los dos elementos siguen la propiedad conmutativa en alguna operación, se dice que se conmutan en esa operación en particular.
¿Qué es la propiedad conmutativa?
Si cambiar el orden de los números no cambia el resultado en una determinada expresión matemática, entonces la operación es conmutativa. Solo la suma y la multiplicación son conmutativas, mientras que la resta y la división son no conmutativas.
Propiedad conmutativa de la suma
Según la propiedad conmutativa de la suma, si los números se suman en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se suma al número b, y el resultado es igual a algún número p, entonces si intercambiamos las posiciones de ayb, el resultado sigue siendo igual ap.
a + b = b + a = p
Los números ayb se llaman sumandos.
Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir
a + b + c + d = d + c + b + a
ejemplo 1
Demuestre que los siguientes números obedecen a la propiedad conmutativa de la suma:
2, 4, 6 y 9
2 4 + + + 6 9 21 =
9 6 + + + 4 2 21 =
El resultado es el mismo en ambos casos. Por eso,
2 + 4 + 6 + 9 = 9 + 6 + 4 + 2
El ejemplo de la vida real es que si desea realizar una encuesta en su sociedad sobre el número de niños en cada casa, puede comenzar desde cualquier casa y contar el número de niños en cada casa y sumarlos. El orden de la casa no es importante aquí.
Los otros ejemplos de la vida real son el uso de un par de guantes, un par de zapatos y un par de calcetines que son ejemplos de propiedad conmutativa.
Propiedad conmutativa de la multiplicación
Según la propiedad conmutativa de la multiplicación, si los números se multiplican en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se multiplica por el número b, y el resultado es igual a algún número q, entonces si intercambiamos las posiciones de ayb, el resultado sigue siendo igual a q es decir
a × b = b × a = q
Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir
a × b × c × d = d × c × b × a
Las composiciones de funciones y la multiplicación de matrices tampoco son conmutativas.
ejemplo 2
Demuestre que los siguientes números obedecen a la propiedad conmutativa de la multiplicación:
2, 4, 6 y 9
2 × 4 × 6 × 9 = 432.
9 × 6 × 4 × 2 = 432.
El resultado es el mismo en ambos casos. Por eso,
2 × 4 × 6 × 9 = 9 × 6 × 4 × 2
¿Por qué la resta y la división son no conmutativas?
Para comprender por qué la resta y la división no siguen la regla conmutativa, siga los ejemplos a continuación.
ejemplo 3
Indique si la siguiente expresión es verdadera.
a - b = b - a
- Paso 1: ¿Qué necesitas mostrar?
a - b = b - a
- Paso 2: Tome el lado izquierdo e intente demostrar que es igual al lado derecho.
a - b
- Paso 3: Toma -1 común.
–1 (- a + b) = - (- a + b)
- Paso 4: invierta los sumandos.
- (b - a)
- Paso 5: vea si obtiene el resultado deseado.
a - b = - (b - a)
- Paso 6: Exprese sus hallazgos.
Ya que,
a - b = - (b - a)
Por lo tanto,
a - b ≠ b - a
Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.
ejemplo 4
Indique si la siguiente expresión es verdadera.
2a ÷ a = a ÷ 2a
- Paso 1: ¿Qué necesitas mostrar?
2a ÷ a = a ÷ 2a
- Paso 2: toma el lado izquierdo.
2a ÷ a
- Paso 3: Resuelve.
2a ÷ a = 2
- Paso 4: resuelve el lado derecho ahora.
a ÷ 2a = 1/2
- Paso 5: Exprese sus hallazgos.
Ya que,
2a ÷ a = 2
a ÷ 2a = 1/2
Por lo tanto,
2a ÷ a ≠ a ÷ 2a
Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.
Problemas de práctica
- ¿Cuál de los siguientes sigue la ley conmutativa?
- 9 + 12
- –7 × 6
- 72 ÷ 5
- –99 - 7
Respuesta
- Si b. Si c. Asentir. sí
- La siguiente tabla muestra el dinero de bolsillo de 4 estudiantes.
Si la suma del dinero de bolsillo de los estudiantes A y B es igual a la suma del dinero de bolsillo de los estudiantes C y D, calcule el valor de x.
Respuesta: 7
- Demuestre que 12% de 25 es lo mismo que 25% de 12.
- Hay dos zonas de aparcamiento en el sótano. En el área A, los autos están estacionados de tal manera que hay 6 autos estacionados cada uno en 12 filas, mientras que en el área B, hay 12 autos estacionados cada uno en las 6 filas restantes. ¿Cuántos autos hay en el estacionamiento?
Respuesta: 144
- Sam trae a casa 4 cajas de botellas. Cada caja tiene 8 filas de botellas, donde cada fila puede contener 6 botellas. ¿Cuántas botellas compró Sam?
Respuesta: 192
- Nina hizo 8 galletas y las distribuyó entre 4 amigas. Liza hizo 4 galletas y las distribuyó entre 8 amigos. ¿Esta división de cookies obedece a la ley conmutativa?
Respuesta: No, la ley conmutativa no es cierta para la división, es decir, 8/4 ≠ 4/8
- Por la mañana, Ali pasa 10 minutos en el baño, 12 minutos en el desayuno y 7 minutos en cambiarse antes de ir a la escuela. Por otro lado, James pasa 7 minutos en el baño, 12 minutos en el desayuno y 10 minutos en prepararse antes de ir a la escuela.
¿El tiempo total que dedicaron Ali y James a prepararse es igual?
Respuesta: si
