Propiedad conmutativa: propiedades y ejemplos

La palabra 'conmutativo'se toma de la palabra francesa'viajar diariamente,'lo que significa moverse. Para que los números o variables mantengan la propiedad conmutativa, pueden moverse (dentro de una expresión) como un viajero y dar el mismo resultado cuando se les aplica una operación en particular. Desde la antigüedad se conocía la propiedad conmutativa, pero los matemáticos empezaron a utilizarla a finales del siglo XVIII.

El La propiedad conmutativa está relacionada con las operaciones binarias. y funciones. Si los dos elementos siguen la propiedad conmutativa en alguna operación, se dice que se conmutan en esa operación en particular.

name="-qu--es-la-propiedad-conmutativa-">¿Qué es la propiedad conmutativa?

name="propiedad-conmutativa-de-la-suma">Propiedad conmutativa de la suma

Según la propiedad conmutativa de la suma, si los números se suman en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se suma al número b, y el resultado es igual a algún número p, entonces si intercambiamos las posiciones de ayb, el resultado sigue siendo igual ap.

a + b = b + a = p

Los números ayb se llaman sumandos.

Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir

a + b + c + d = d + c + b + a

ejemplo 1

Demuestre que los siguientes números obedecen a la propiedad conmutativa de la suma:

2, 4, 6 y 9

2 4 + + + 6 9 21 =

9 6 + + + 4 2 21 =

El resultado es el mismo en ambos casos. Por eso,

2 + 4 + 6 + 9 = 9 + 6 + 4 + 2

El ejemplo de la vida real es que si desea realizar una encuesta en su sociedad sobre el número de niños en cada casa, puede comenzar desde cualquier casa y contar el número de niños en cada casa y sumarlos. El orden de la casa no es importante aquí.

Los otros ejemplos de la vida real son el uso de un par de guantes, un par de zapatos y un par de calcetines que son ejemplos de propiedad conmutativa.

name="propiedad-conmutativa-de-la-multiplicaci-n">Propiedad conmutativa de la multiplicación

Según la propiedad conmutativa de la multiplicación, si los números se multiplican en cualquier orden, el resultado es el mismo. Supongamos que si el número a se multiplica por el número b, y el resultado es igual a algún número q, entonces si intercambiamos las posiciones de ayb, el resultado sigue siendo igual a q es decir

a × b = b × a = q

Esta propiedad también funciona para más de dos números, es decir

a × b × c × d = d × c × b × a

Las composiciones de funciones y la multiplicación de matrices tampoco son conmutativas.

ejemplo 2

Demuestre que los siguientes números obedecen a la propiedad conmutativa de la multiplicación:

2, 4, 6 y 9

2 × 4 × 6 × 9 = 432.

9 × 6 × 4 × 2 = 432.

El resultado es el mismo en ambos casos. Por eso,

2 × 4 × 6 × 9 = 9 × 6 × 4 × 2

name="-por-qu--la-resta-y-la-divisi-n-son-no-conmutativas-">¿Por qué la resta y la división son no conmutativas?

Para comprender por qué la resta y la división no siguen la regla conmutativa, siga los ejemplos a continuación.

ejemplo 3

Indique si la siguiente expresión es verdadera.

a - b = b - a

• Paso 1: ¿Qué necesitas mostrar?

a - b = b - a

• Paso 2: Tome el lado izquierdo e intente demostrar que es igual al lado derecho.

a - b

• Paso 3: Toma -1 común.

–1 (- a + b) = - (- a + b)

• Paso 4: invierta los sumandos.

- (b - a)

• Paso 5: vea si obtiene el resultado deseado.

a - b = - (b - a)

• Paso 6: Exprese sus hallazgos.

Ya que,

a - b = - (b - a)

Por lo tanto,

a - b ≠ b - a

Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.

ejemplo 4

Indique si la siguiente expresión es verdadera.

2a ÷ a = a ÷ 2a

• Paso 1: ¿Qué necesitas mostrar?

2a ÷ a = a ÷ 2a

• Paso 2: toma el lado izquierdo.

2a ÷ a

• Paso 3: Resuelve.

2a ÷ a = 2

• Paso 4: resuelve el lado derecho ahora.

a ÷ 2a = 1/2

• Paso 5: Exprese sus hallazgos.

Ya que,

2a ÷ a = 2

a ÷ 2a = 1/2

Por lo tanto,

2a ÷ a ≠ a ÷ 2a

Por lo tanto, la expresión dada es falsa y no sigue la propiedad conmutativa.

name="problemas-de-pr-ctica">Problemas de práctica

1. ¿Cuál de los siguientes sigue la ley conmutativa?
2. 9 + 12
3. –7 × 6
4. 72 ÷ 5
5. –99 - 7

Respuesta

1. Si b. Si c. Asentir. sí
2. La siguiente tabla muestra el dinero de bolsillo de 4 estudiantes.

Si la suma del dinero de bolsillo de los estudiantes A y B es igual a la suma del dinero de bolsillo de los estudiantes C y D, calcule el valor de x.

Respuesta: 7

1. Demuestre que 12% de 25 es lo mismo que 25% de 12.

1. Hay dos zonas de aparcamiento en el sótano. En el área A, los autos están estacionados de tal manera que hay 6 autos estacionados cada uno en 12 filas, mientras que en el área B, hay 12 autos estacionados cada uno en las 6 filas restantes. ¿Cuántos autos hay en el estacionamiento?

Respuesta: 144

1. Sam trae a casa 4 cajas de botellas. Cada caja tiene 8 filas de botellas, donde cada fila puede contener 6 botellas. ¿Cuántas botellas compró Sam?

Respuesta: 192

1. Nina hizo 8 galletas y las distribuyó entre 4 amigas. Liza hizo 4 galletas y las distribuyó entre 8 amigos. ¿Esta división de cookies obedece a la ley conmutativa?

Respuesta: No, la ley conmutativa no es cierta para la división, es decir, 8/4 ≠ 4/8

1. Por la mañana, Ali pasa 10 minutos en el baño, 12 minutos en el desayuno y 7 minutos en cambiarse antes de ir a la escuela. Por otro lado, James pasa 7 minutos en el baño, 12 minutos en el desayuno y 10 minutos en prepararse antes de ir a la escuela.

¿El tiempo total que dedicaron Ali y James a prepararse es igual?

Respuesta: si