close
    search Buscar

    Prueba de enésimo término: condiciones, explicación y ejemplos

    Quien soy
    Aina Martin
    @ainamartin

    Valoración del artículo:

    Advertencia de contenido


    Prueba de enésimo término: condiciones, explicación y ejemplos

    La prueba del enésimo término es una técnica útil que podemos aplicar para predecir cómo se comporta una secuencia o serie a medida que los términos se hacen más grandes. Es importante para nosotros predecir cómo se comportan las secuencias y series en matemáticas superiores y si convergen o divergen.



    La prueba del enésimo término es una técnica que utiliza el último término de la serie para determinar si la secuencia o la serie es convergente o divergente.

    Este artículo le mostrará cómo puede aplicar la prueba del enésimo término en una serie o secuencia determinada. Asegúrese de revisar sus conocimientos sobre los siguientes temas, ya que los necesitaremos para identificar si una serie determinada es divergente o convergente:


    • Revise sus conocimientos sobre cómo aplicar las leyes de límites y evaluar los límites.
    • Actualice lo que sabe sobre series y secuencias aritméticas.
    • Recuerda cómo podemos hallar la suma de una serie y sucesiones geométricas.

    Por ahora, sigamos adelante y entendamos cuándo la prueba del enésimo término es más útil y cuándo no. También revisaremos nuestro conocimiento sobre divergencia y convergencia, ¡así que comencemos por comprender la definición de prueba del enésimo término!

    ¿Qué es la prueba del enésimo término?      

    La prueba del enésimo término nos ayuda a predecir si una secuencia o serie dada es divergente o convergente. Usamos el término $ n $ ésimo de la secuencia para determinar su naturaleza, de ahí su nombre.


    Antes de sumergirnos en el método en sí, ¿por qué no seguimos adelante y revisamos lo que sabemos sobre las secuencias divergentes y convergentes?

    • Una secuencia es divergente cuando los valores de la secuencia no se estabilizan cuando la secuencia se acerca al infinito.
    • Se dice que una secuencia es convergente cuando los valores de la secuencia se estabilizan o se acercan a un valor cuando la secuencia se acerca al infinito.

    La prueba de enésimo término utiliza el límite de la suma de la secuencia para predecir si la secuencia diverge o converge.

    • Cuando usemos la prueba del enésimo término, necesitaremos expresar el último término, $ a_n $ en términos de $ n $.
    • Tendremos que encontrar el valor del límite de $ a_n $ cuando $ n $ se acerque al infinito.
    • El valor de $ lim_ {xrightarrow infty} a_n $ determinará si la secuencia o serie converge o diverge.

    Las siguientes secciones nos mostrarán cómo usar la prueba del enésimo término para determinar si una serie dada es divergente o no.


    ¿Cuál es la prueba de enésimo término para la divergencia?                

    De acuerdo con la prueba del enésimo término, una secuencia es divergente cuando la secuencia se acerca a un valor distinto de cero cuando el último término de la secuencia se acerca al infinito (en términos de términos).

    Digamos que tenemos una secuencia, $ {a_1, a_2, a_3,…, a_ {n -1}, a_n} $. La serie formada por su suma se puede expresar como $ a_1 + a_2 +… + a_ {n-1} + a_n $ o $ sum_ {n = 1} ^ {infty} a_n $.


    Si $ lim_ {xrightarrow infty} a_n $ es igual a un número distinto de cero, se dice que $ sum_ {n = 1} ^ {infty} a_n $ es divergente.

    Esto tiene sentido ya que los valores no se establecen para series divergentes (ya sea en aumento o en disminución); la secuencia en el infinito nunca debe ser cero.

    ¿Cuál es la prueba de enésimo término para la convergencia?                

    Ahora bien, ¿qué sucede cuando la prueba del enésimo término devuelve un valor de cero?

    Cuando $ lim_ {xrightarrow infty} a_n = 0 $ la suma de la serie, $ sum_ {n = 1} ^ {infty} a_n $, puede o no converger.

    ¿Qué significa esto para nuestra secuencia o serie? Tendremos que utilizar otras pruebas como una prueba de comparación o una prueba de series alternas. Pero eso es para otro artículo. Limitaremos nuestra discusión a confirmar que es posible que necesitemos usar otra prueba para pruebas convergentes.

    ¿Cuándo usar la prueba del enésimo término?

    Existen diferentes pruebas de divergencia y convergencia, pero esta prueba es la primera que se realiza para decirnos si la serie o secuencia divergen fácilmente.

    • Tenga en cuenta que la prueba del enésimo término nos ayuda a eliminar el resto de las pruebas comprobando primero si la secuencia es divergente.
    • Use la condición discutida anteriormente para concluir si la secuencia es divergente o si necesitamos usar otras pruebas para verificar si la secuencia es convergente.

    Como se mencionó en este artículo, saber cómo evaluar los límites a medida que las funciones y expresiones se acercan al infinito es esencial cuando se usa la prueba del enésimo término. Asegúrese de revisar sus notas sobre los límites o haga clic en los enlaces que le proporcionamos en las secciones anteriores.



    Por ahora, eso es todo lo que necesitamos aprender sobre la prueba del enésimo término. Es hora de que verifiquemos nuestros conocimientos y apliquemos lo que hemos aprendido sobre la prueba del enésimo término. Pruebe los problemas a continuación y vea si una secuencia determinada diverge o no.

    ejemplo 1

    Determine si la secuencia $ 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27… $ diverge utilizando la prueba del enésimo término.

    Solución

    Primero, ayuda si podemos identificar si la secuencia es algo que hemos aprendido en el pasado. Comprobando la diferencia entre dos términos consecutivos, tenemos lo siguiente:

    Podemos ver que los términos de la secuencia comparten una diferencia común de $ 4 $, por lo que la secuencia es, de hecho, una secuencia aritmética.

    Podemos expresar el último término, $ a_n $, en términos de $ n $ usando la fórmula de secuencia aritmética, $ a_n = a_1 + (n-1) d $.

    comenzar {alineado} a_n & = a_1 + (n-1) d & = 3 + (n - 1) 4 & = 3 + 4n - 4 & = 4n - 1 fin {alineado}

    Tomando el límite de $ a_n $ a medida que se acerca al infinito, tenemos el resultado a continuación.

    comenzar {alineado} lim_ {n flecha derecha infty} 4n - 1 & = infty & neq 0end {alineado}

    Podemos ver que el límite del término $ n $ ésimo, $ a_n $ cuando $ n $ se acerca a $ infty $ no es igual a $ 0 $, por lo que la secuencia diverge.

    Aquí hay un dato divertido para ti: las series y secuencias aritméticas, en general, son divergentes. ¿Por qué no intentas probar esto por tu cuenta?

    ejemplo 2

    Determine si la serie, $ sum_ {n = 1} ^ {infty} dfrac {n + 4} {5n - 1} $, es divergente.

    Solución

    Recuerde que la prueba del enésimo término puede ayudarnos a determinar si la serie es divergente al verificar el límite de $ a_n $ como $ n flecha derecha infty $.

    Podemos encontrar el límite de la expresión multiplicando primero el numerador y el denominador por $ dfrac {1} {n} $.

    begin {align} lim_ {nrightarrow infty} dfrac {n + 4} {5n - 1} & = lim_ {nrightarrow infty} dfrac {n + 4} {5n - 1} cdot dfrac {dfrac {1} {n}} { dfrac {1} {n}} & = lim_ {nrightarrow infty} dfrac {1 + dfrac {4} {n}} {5 - dfrac {1} {n}} final {alineado}

    Recuerde que $ lim_ {nrightarrow infty} dfrac {k} {n} = 0 $, donde $ k $ puede ser cualquier constante real. Por tanto, podemos evaluar el límite de la expresión ahora.

    begin {align} lim_ {nrightarrow infty} dfrac {1 + dfrac {4} {n}} {5 - dfrac {1} {n}} & = dfrac {1 + 0} {5 - 0} & = dfrac { 1} {5} final {alineado}

    Dado que el límite del enésimo término $ a_n $ es igual a $ dfrac {1} {3} $ (y, en consecuencia, no es igual a $ 0 $), la serie no es divergente.

    ejemplo 3

    ¿Verdadero o falso? Podemos mostrar que la serie, $ sum_ {n = 1} ^ {infty} dfrac {3n ^ 2 - 3} {4n ^ 4 +2} $, es convergente a través de la serie de términos n.

    Solución

    Aplicaremos un enfoque similar evaluando primero $ lim_ {n rightarrow infty} dfrac {3n ^ 2 - 3} {4n ^ 4 +2} $. Podemos comenzar multiplicando tanto el numerador como el denominador por $ dfrac {1} {n ^ 2} $.

    begin {align} lim_ {nrightarrow infty} dfrac {3n ^ 2 - 3} {4n ^ 4 +2} & = lim_ {nrightarrow infty} dfrac {3n ^ 2 - 3} {4n ^ 4 +2} cdot dfrac {dfrac {1} {n ^ 2}} {dfrac {1} {n ^ 2}} & = lim_ {nrightarrow infty} dfrac {3 - 3} {4n ^ 2 + dfrac {2} {n ^ 2}} end {alineado}

    Simplifique aún más la expresión y use el hecho de que $ lim_ {nrightarrow infty} dfrac {2} {n ^ 2} = 0 $.

    begin {align} lim_ {nrightarrow infty} dfrac {3 - 3} {4n ^ 2 + dfrac {2} {n ^ 2}} & = dfrac {0} {infty + 0} & = dfrac {0} {infty } & = 0end {alineado}

    Dado que el límite del enésimo término de la serie es $ 0 $, la secuencia es no divergente. Pero este resultado no puede concluir para nosotros si la serie es convergente. Tendremos que usar pruebas avanzadas para eso.

    Por lo tanto, la afirmación es falsa, y necesitaremos otra prueba para confirmar que la serie es convergente.

    ejemplo 4

    Utilice el hecho de que $ f (n) = dfrac {4n ^ 4 - 5n ^ 2 + 3n - 4} {n ^ 5 - 6n ^ 4 - 12n ^ 2 + 2n + 6} $?

    una. ¿Qué es $ lim_ {n rightarrow infty} f (n) $?
    B. Usando el resultado de 4a, ¿qué puedes decir acerca de $ sum_ {n = 1} ^ {infty} f (n) $?

    Solución

    Para encontrar el límite de la función cuando se acerca al infinito, podemos multiplicar el numerador y el denominador de la expresión por $ dfrac {1} {n ^ 5} $.

    comenzar {alineado} lim_ {n flecha derecha infty} f (x) & = lim_ {n flecha derecha infty} dfrac {4n ^ 4 - 5n ^ 2 + 3n - 4} {n ^ 5 - 6n ^ 4 - 12n ^ 2 + 2n + 6} cdot dfrac {dfrac {1} {n ^ 5}} {dfrac {1} {n ^ 5}} & = lim_ {n flecha derecha infty} dfrac {dfrac {4} {n} - dfrac {5} {n ^ 3} + dfrac {3} {n ^ 4} - dfrac {4} {n ^ 5}} {1 - dfrac {6} {n} - dfrac {12} {n ^ 3} + dfrac {2 } {n ^ 4} + dfrac {6} {n ^ 5}} final {alineado}

    Recuerde que el límite de las expresiones racionales a medida que su variable se aproxima al infinito es igual a cero. Utilice este hecho para evaluar el límite de $ f (x) $ cuando $ n $ se acerca a $ infty $.

    comenzar {alineado} lim_ {n flecha derecha infty} f (x) & = dfrac {0-0 + 0 - 0} {1 - 0 - 0 + 0 + 0} & = dfrac {0} {1} & = 0 final {alineado}

    una. Esto significa que el límite de $ f (x) $ cuando se acerca al infinito es igual a $ 0 $.

    La prueba del enésimo término puede confirmar si una serie es divergente cuando el límite del enésimo término no es igual a cero. Pero hemos confirmado que $ lim_ {n rightarrow infty} f (x) = 0 $, entonces, $ sum_ {n = 1} ^ {infty} f (x) $ no es divergente.

    Aparte de eso, no podemos concluir si la secuencia es convergente o no. Tendremos que usar otras pruebas para confirmarlo.  

    B. Por ahora, lo que podemos concluir es que $ sum_ {n = 1} ^ {infty} f (x) $ no será divergente.

    Preguntas de práctica

    1. Utilizando la prueba del enésimo término, demuestre que la serie aritmética $ 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27… $ es divergente.
    2. Determine si la serie $ sum_ {n = 1} ^ {infty} dfrac {3n + 5} {2n - 3} $, es divergente.
    3. ¿Verdadero o Falso? Podemos mostrar que la serie, $ sum_ {n = 1} ^ {infty} dfrac {2n ^ 2 + 5} {5n ^ 3 - 4} $, es convergente a través de la enésima serie de términos.
    4. Utilice el hecho de que $ f (n) = dfrac {12n ^ 4 –8n ^ 2 + 3n - 10} {- 6n ^ 4 - 6n ^ 2 + 10n + 6} $?
    una. ¿Qué es $ lim_ {n rightarrow infty} f (n) $?
    B. Usando el resultado de 3a, ¿qué puedes decir acerca de $ sum_ {n = 1} ^ {infty} f (n) $?

    clave de respuestas

    1. $ 3, 7, 11, 15, 19, 23, 27… = suma_ {n = 1} ^ {infty} 4n - 1 Rightarrow lim_ {nrightarrow infty} 4n - 1 = infty neq 0 $
    Esto significa que la serie es divergente.
    2. $ lim_ {nrightarrow infty} dfrac {3n + 5} {2n - 3} = dfrac {3} {2} neq 0 $
    Esto significa que la serie es divergente.
    3. Falso. Podemos mostrar que $ lim_ {nrightarrow infty} dfrac {2n ^ 2 + 5} {5n ^ 3 - 4} = 0 $.
    Pero esto no es suficiente para probar la convergencia de series.
    4.
    una. $ lim_ {nrightarrow infty} dfrac {12n ^ 4 -8n ^ 2 + 3n - 10} {- 6n ^ 4 - 6n ^ 2 + 10n + 6} = dfrac {12} {- 6} = -2 $
    B. Dado que $ lim_ {nrightarrow infty} f (n) neq 0 $, la serie es divergente.



    Añade un comentario de Prueba de enésimo término: condiciones, explicación y ejemplos
    ¡Comentario enviado con éxito! Lo revisaremos en las próximas horas.