Teorema de Pitágoras - Explicación y ejemplos

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Teorema de Pitágoras - Explicación y ejemplos

El teorema de Pitágoras, también conocido como el 'Teorema de Pitágoras,'es posiblemente el fórmula más famosa en matemáticas que define las relaciones entre los lados de un triángulo rectángulo.


El teorema se atribuye a un matemático y filósofo griego llamado Pitágoras (569-500 a. C.). Tiene muchas contribuciones a las matemáticas, pero el Teorema de Pitágoras es el más importante de ellos.

Pitágoras es acreditado con varias contribuciones en matemáticas, astronomía, música, religión, filosofía, etc. Una de sus contribuciones notables a las matemáticas es el descubrimiento del Teorema de Pitágoras. Pitágoras estudió los lados de un triángulo rectángulo y descubrió que la suma del cuadrado de los dos lados más cortos de los triángulos es igual al cuadrado del lado más largo.


Este articlDiscutiremos qué es el Teorema de Pitágoras, su inverso, y el Fórmula del teorema de Pitágoras. Antes de profundizar en el tema, recordemos el triángulo rectángulo. Un triángulo rectángulo es un triángulo con un ángulo interior igual a 90 grados. En un triángulo rectángulo, las dos patas cortas se encuentran en un ángulo de 90 grados. La hipotenusa de un triángulo es opuesta al ángulo de 90 grados.


¿Qué es el teorema de Pitágoras?

El teorema de Pitágoras es una ley matemática que establece que la suma de los cuadrados de las longitudes de los dos lados cortos del triángulo rectángulo es igual al cuadrado de la longitud de la hipotenusa..

El teorema de Pitágoras se escribe algebraicamente como:

a2 + b2 = c2

¿Cómo hacer el teorema de Pitágoras?

Considere un triángulo rectángulo arriba.

Dado que:

∠ ABC = 90 °.


Sea BD la línea perpendicular al lado AC.

∆s similares:

∆ADB y ∆ABC son triángulos similares.

De la regla de similitud,

⇒ AD / AB = AB / AC

⇒ AD × AC = (AB) 2 —————— (i)

Similar;

∆BDC y ∆ABC son triángulos similares. Por lo tanto;

⇒ DC / BC = BC / AC

⇒ CC × CA = (BC) 2 —————– (ii)

Al combinar la ecuación (i) y (ii), obtenemos,
AD × AC + DC × AC = (AB) 2 + (BC) 2

⇒ (AD + 2) × AA = (ab) 2 + (BC) XNUMX

⇒ (AC) 2 = (AB) 2 + (BC) 2

Por tanto, si dejamos AC = c; AB = by BC = b, entonces;

⇒ c2 = a2 + b2

Hay muchas demostraciones del Teorema de Pitágoras. dado por diferentes matemáticos.

Otra demostración común es dibujar los 3 cuadrados de tal manera que formen un triángulo rectángulo en el medio, y el área del cuadrado mayor (el de la hipotenusa) es igual a la suma del área de los dos cuadrados más pequeños (los dos lados).


Considere los 3 cuadrados siguientes:

Están dibujados de tal manera que forman un triángulo rectángulo. Podemos escribir sus áreas en forma de ecuación:

Área del cuadrado III = Área del cuadrado I + Área del cuadrado II

Supongamos que la longitud de los cuadrados I, II y III son a, byc, respectivamente.

Entonces,

Área del cuadrado I = a 2

Área del cuadrado II = b 2


Área del cuadrado III = c 2

Por lo tanto, podemos escribirlo como:

a 2 + b 2 = c 2

que es un teorema de Pitágoras.

 

El inverso del teorema de Pitágoras

El recíproco del teorema de Pitágoras es una regla que se usa para clasificar triángulos como triángulo rectángulo, triángulo agudo o triángulo obtuso.

Dado el Teorema de Pitágoras, a2 + b2 = c2, entonces:

  • Para un triángulo agudo, c2 <a2 + b2, donde c es el lado opuesto al ángulo agudo.
  • Para un triángulo rectángulo, c2 = a2 + b2, donde c es el lado del ángulo de 90 grados.
  • Para un triángulo obtuso, c2> a2 + b2, donde c es el lado opuesto al ángulo obtuso.

ejemplo 1

Clasifica un triángulo cuyas dimensiones son; a = 5 m, b = 7 my c = 9 m.

Solución

Según el Teorema de Pitágoras, a2 + b2 = c2 entonces;


a2 + b2 = 52 + 72 = 25 + 49 = 74

Pero, c2 = 92 = 81
Comparar: 81> 74

Por tanto, c2> a2 + b2 (triángulo obtuso).

ejemplo 2

Clasifica un triángulo cuyos lados tienen longitudes de a, b, c, 8 mm, 15 mm y 17 mm, respectivamente.

Solución
a2 + b2 = 82 + 152 = 64 + 225 = 289
Pero, c2 = 172 = 289
Comparar: 289 = 289

Por lo tanto, c2 = a2 + b2 (triángulo rectángulo).

ejemplo 3

Clasifica un triángulo cuyas longitudes de lado se dan como; 11 pulgadas, 13 pulgadas y 17 pulgadas.

Solución
a2 + b2 = 112 + 132 = 121 + 169 = 290
c2 = 172 = 289
Comparar: 289 <290

Por tanto, c2 <a2 + b2 (triángulo agudo)

La fórmula del teorema de Pitágoras

La fórmula del teorema de Pitágoras se da como:


⇒ c2 = a2 + b2

dónde;

c = Longitud de la hipotenusa;

a = longitud de un lado;

b = longitud del segundo lado.

Podemos usar esta fórmula para resolver varios problemas que involucran triángulos rectángulos. Por ejemplo, podemos usar la fórmula para determinar la tercera longitud de un triángulo cuando se conocen las longitudes de dos lados del triángulo.

Aplicación de la fórmula del teorema de Pitágoras en la vida real

  • Podemos usar el teorema de Pitágoras para comprobar si un triángulo es un triángulo rectángulo o no.
  • En oceanografía, la fórmula se utiliza para calcular la velocidad de las ondas sonoras en el agua.
  • El teorema de Pitágoras se utiliza en meteorología y aeroespacial para determinar la fuente de sonido y su alcance.
  • Podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcular componentes electrónicos como pantallas de televisión, pantallas de computadora, paneles solares, etc.
  • Podemos usar el Teorema de Pitágoras para calcular el gradiente de un determinado paisaje.
  • En navegación, el teorema se usa para calcular la distancia más corta entre puntos dados.
  • En arquitectura y construcción, podemos usar el teorema de Pitágoras para calcular la pendiente de un techo, sistema de drenaje, presa, etc.

Ejemplos resueltos del teorema de Pitágoras:

ejemplo 4

Los dos lados cortos de un triángulo rectángulo miden 5 cm y 12 cm. Encuentra la longitud del tercer lado

Solución

Dado, a = 5 cm

b = 12 cm

c =?

De la fórmula del teorema de Pitágoras; c2 = a2 + b2, tenemos;

c2 = a2 + b2

c2 = 122 + 52

c2 = 144 + 25

√c2 = √169

c = 13.

Por tanto, el tercero es igual a 13 cm.

ejemplo 5

La diagonal y la longitud de un lado de un lado triangular es de 25 cm y 24 cm, respectivamente. ¿Cuál es la dimensión del tercer lado?

Solución

Usando el teorema de Pitágoras,

c2 = a2 + b2.

Sea b = tercer lado

252 = 242 + b2
625 = 576 + b2
625 - 576 = 576 - 576 + b2
49 = b2
b 2 = 49

b = √49 = 7 cm

ejemplo 6

Calcula el tamaño de una pantalla de computadora cuyas dimensiones son de 8 pulgadas y 14 pulgadas.

Sugerencia: la diagonal de la pantalla es su tamaño.

Solución

El tamaño de la pantalla de una computadora es el mismo que la diagonal de la pantalla.

Usando el teorema de Pitágoras,

c2 = 82 + 152

Resuelve para c.

c2 = 64 + 225

c2 = 289

c = √289

c = 17

Por lo tanto, el tamaño de la pantalla de la computadora es de 17 pulgadas.

ejemplo 7

Calcula el área del triángulo rectángulo dado que la diagonal y las bases miden 8.5 cm y 7.7 cm, respectivamente.

Solución

Usando el teorema de Pitágoras,

8.52 = a2 + 7.52

Resuelve para a.

72.25 = a2 + 56.25

72.25 - 56.25 = k2 + 56.25 - 56.25

16 = a2

a = √16 = 4 cm

Área de un triángulo rectángulo = (½) x base x altura

= (½ x 7.7 x 4) cm2

= 15.4 cm2

Preguntas de práctica

  1. Una cuerda de 20 m de largo se extiende desde la copa de un árbol de 12 m hasta el suelo. ¿Cuál es la distancia entre el árbol y el extremo de la cuerda en el suelo?
  2. Una escalera de 13 m de largo está apoyada contra la pared. Si la distancia del suelo entre el pie de la escalera y la pared es de 5 m, ¿cuál es la altura de la pared?



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