Intersección de conjuntos: definición y ejemplos

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Intersección de conjuntos - Definición y ejemplos

El concepto de intersección no se limita solo a la teoría de conjuntos. De hecho, es un concepto matemático muy extendido. Es uno de los conceptos predominantes de la geometría euclidiana y la teoría de conjuntos. Hablando intuitivamente, cada vez que intersecamos dos o más objetos, generalmente resulta en un objeto más pequeño. 

Sin embargo, en la teoría de conjuntos, la intersección es otra operación. Sabemos que podemos combinar diferentes conjuntos de varias formas para producir más conjuntos. Estas combinaciones se denominan operación. Una operación es una actividad en la que podemos combinar diferentes conjuntos para formar un nuevo conjunto con propiedades específicas.



En esta conferencia, discutiremos la operación conocida como Intersección de conjuntos. 

La intersección de los conjuntos A y B se puede definir como un nuevo conjunto que contiene elementos comunes de A y B.

En este artículo, cubriremos los siguientes temas:

  • ¿Qué es la intersección de conjuntos?
  • Notación de la intersección de conjuntos. 
  • Representación de intersecciones de conjuntos mediante diagramas de Venn.
  • Intersección vs. Conjuntos disjuntos.
  • Propiedades de los conjuntos que se cruzan.
  • Ejemplos
  • Problemas de práctica

Antes de seguir adelante, puede considerar actualizar sus conocimientos sobre los siguientes requisitos previos:

  • Descripción de conjuntos
  • Establece la notación
  • Subconjunto
  • Conjunto universal

¿Qué es la intersección de conjuntos?

Siempre que hablamos de la intersección entre dos conjuntos, significa un conjunto resultante que contiene todos los elementos comunes entre estos dos conjuntos. Alternativamente, también podemos decir que contiene todos los elementos de un conjunto que también pertenecen al otro conjunto. 



Supongamos que tenemos dos conjuntos, A y B, entonces su intersección da como resultado un nuevo conjunto que contiene todos los elementos comunes entre A y B. 

Si hablamos en términos de matemáticas, cualquier elemento es parte de la intersección si y solo si es un elemento de ambos conjuntos involucrados (o más). 

Discutiremos las propiedades de la intersección más adelante en la conferencia pero por ahora, sigamos entendiendo que la intersección es una operación asociativa y conmutativa.

ejemplo 1

Se le dan dos conjuntos, definidos de la siguiente manera:

A = {1, 4, 8, 9}

B = {3, 4, 9}

Escribe la intersección de los conjuntos.

Solución:

Como sabemos, esa intersección de dos conjuntos es el conjunto que contiene los elementos comunes de ambos conjuntos; por lo tanto, nuestro nuevo conjunto será:

{4, 9}

Podemos observar que 4 y 9 son los únicos elementos comunes tanto para A como para B. Por lo tanto, el conjunto que contiene ambos elementos será la intersección de conjuntos. 

La notación para la intersección de conjuntos

Profundizando más en la intersección de conjuntos, nuestro siguiente paso es hablar sobre la notación utilizada para representar la intersección de conjuntos. La intersección entre dos conjuntos cualesquiera, A y B, está representada por el símbolo '∩'. Al igual que el símbolo utilizado para la unión de conjuntos, este símbolo se utiliza entre los operandos. Los operandos, en este caso, son los nombres que denotan los conjuntos.


Este método de notación se llama 'notación infija'. En esta notación, el operador está rodeado por los operandos. El operador, en nuestro caso, es '∩'. Se utiliza, con mayor frecuencia, para referirse a operaciones binarias. Sabemos que la intersección, como unión de conjuntos, también es una operación binaria.


Un ejemplo de esto sería el siguiente:

A = {0, 0, 0, 4}

B = {2, 6, 9}

Entonces la intersección de estos conjuntos se denota por:

A ∩ B

Entonces, siempre que queremos expresar la intersección entre dos conjuntos, así es como lo hacemos simbólicamente. Es una expresión del conjunto A que se cruza con el conjunto B. 

Resolvamos algunos ejemplos para entender la intersección de conjuntos. 

ejemplo 2

Si los conjuntos A y B se definen como:

A = {1, 12, 14, 11, 13, 7, 9, 17, 19}

B = {12, 15, 14, 2, 1, 6, 9, 0}

Encuentre la intersección de los conjuntos A y B.

Solución:

La intersección de dos conjuntos se define como el conjunto que contiene elementos en el conjunto A que también están presentes en el conjunto B; en otras palabras, los elementos comunes.

Como podemos ver, 12, 14, 1, 9 son los elementos presentes tanto en el conjunto A como en el conjunto B. Entonces, tenemos la intersección de conjuntos igual a:

A ∩ B = {12, 14, 1, 9}

Representación de la intersección mediante el diagrama de Venn

Como hemos destacado una y otra vez lo importantes que son los diagramas de Venn para visualizar conjuntos y las diferentes operaciones que podemos realizar sobre ellos.


Por lo tanto, demos una breve introducción a los diagramas de Venn. El diagrama de Venn es la herramienta más adecuada para comprender las operaciones en los conjuntos de manera integral. Se utilizan para representar conjuntos finitos únicamente. Toda la región cubierta por una curva se representa como un conjunto. Mientras que los elementos de ese conjunto en particular se representan utilizando puntos dentro de la región del diagrama. 


Digamos que U representa un conjunto universal, los conjuntos A y B son subconjuntos de este conjunto universal. Por ejemplo, si A = {a, b, c, d, e} y B = {a, e, i, o, u}, entonces su intersección es la siguiente:

A ∩ B = {a, e}

A 'y' e 'son los únicos dos elementos comunes entre los conjuntos A y B.

Para representarlos con un diagrama de Venn, usaremos dos círculos, uno para el conjunto A y otro para el conjunto B. El conjunto universal U, en este caso, es el conjunto de alfabetos al que pertenecerían ambos conjuntos A y B. A continuación se muestra la representación del diagrama de Venn de la intersección:


El área sombreada en azul representa la intersección entre A y B.

Aquí, mostramos solo dos conjuntos, un diagrama de Venn de cualquier operación se puede construir usando múltiples conjuntos, siempre que sean finitos. 

Resolvamos algunos ejemplos para aprender a construir nuestro propio diagrama de Venn.

ejemplo 3

Considere un conjunto A = {3, 6, 9, 12} y conjunto B = {0, 3, 5, 8, 12}. Muestre la intersección entre A y B a través del diagrama de Venn. Establezca U = {conjunto de números enteros hasta 20}.

Solución:

La intersección entre los dos conjuntos A y B se puede determinar como:

A = {3, 6, 9, 12}

Y, 

B = {0, 3, 5, 8, 12}

La intersección es:

A ∩ B = {3, 12}

La representación del diagrama de Venn para la intersección entre los conjuntos A y B es:

Conjuntos intersectantes vs disjuntos

La intersección entre dos conjuntos es también otra forma de utilizar la lógica "Y". Esto significa que también puede usar la palabra 'Y' para representar una intersección. Pero, ¿cómo se traduce eso en ejemplos del mundo real?

Suponga que debe encontrar la probabilidad de un evento y otro evento; esto se expresa usando la intersección de conjuntos. Si la probabilidad de que ambos eventos ocurran juntos es un número distinto de cero, podemos decir que los conjuntos se intersecan. Por el contrario, si la probabilidad de que ambos eventos ocurran juntos es cero, decimos que son conjuntos disjuntos.

Examinemos el concepto de conjuntos disjuntos con más claridad. 

Si tenemos dos conjuntos y algunos elementos presentes en un conjunto, que también están presentes en otro conjunto, llamamos conjuntos intersección.

Sin embargo, si no hay un elemento común entre los conjuntos, se denominan conjuntos disjuntos. No hay ningún elemento en la intersección entre los conjuntos. Por ejemplo, {4, 9, 10} y {1, 5} son conjuntos disjuntos porque no tienen elementos comunes entre ellos. Por tanto, su intersección es un conjunto nulo.

A ∩ B = Ⲫ

Propiedades de la intersección de conjuntos

Hemos estudiado varias propiedades de otras operaciones de conjuntos; ahora veremos las propiedades de la intersección de conjuntos:

Propiedad conmutativa:

Cualquier operación se considera conmutativa si cambia el orden de los operandos, pero este cambio no afecta el resultado. 

Es una de las propiedades más fundamentales de varias operaciones binarias. El efecto de esta propiedad es que podemos cambiar la posición de los operandos sin preocuparnos por discrepancias en el resultado.

La ley conmutativa de la intersección establece que:

El resultado no se verá afectado por el orden de los conjuntos operativos.

Entonces, si tenemos dos conjuntos, A y B, entonces matemáticamente, la propiedad conmutativa es:

A ∩ B = B ∩ A

Resolvamos un ejemplo para comprender esto. 

ejemplo 4

Dado que los conjuntos A y B son:

A = {3, 6, 9, 10}

B = {1, 3, 5, 8, 10}

Demuestre que la propiedad conmutativa de la intersección es válida para ellos.

Solución:

Nuestro primer paso es resolver el lado izquierdo de la ecuación, que es:

UNA ∩ B = {3, 6, 9, 10} ∩ {1, 3, 5, 8, 10}

A ∩ B = {3, 10}

A continuación, resolvemos el lado derecho de la ecuación, que es:

B ∩ A = {1, 3, 5, 8, 10} ∩ {3, 6, 9, 10}

B ∩ A = {3, 10}

A partir de los lados derecho e izquierdo de la ecuación, podemos probar que la propiedad conmutativa es válida para la intersección ya que ambos lados son iguales.

Propiedad asociativa:

Esta propiedad significa que puede cambiar o reposicionar los paréntesis sin preocuparse por los cambios en los resultados de la ecuación.

Como se discutió para la propiedad conmutativa, la asociatividad también es un concepto matemático más amplio y no solo se limita a la teoría de conjuntos. Como una propiedad conmutativa, también es una de las propiedades fundamentales de las operaciones binarias. Se utiliza principalmente en pruebas donde se requiere reorganizar los símbolos. Esencialmente, la asociatividad se ocupa de la disposición de los operandos en cualquier ecuación.

Sin embargo, la ley asociativa de la intersección establece que cambiar la posición de los paréntesis en cualquier expresión de conjuntos que involucren operaciones de intersección no afectará los resultados de ninguna manera.

La agrupación de conjuntos para la intersección no afectará el resultado.

De manera similar, si tenemos tres conjuntos, a saber, A, B y C, en los que se debe realizar la intersección Matemáticamente, la propiedad de asociatividad de la intersección se escribe como:

(UNA ∩ B) ∩ C = UNA ∩ (B ∩ C)

Resolvamos un ejemplo para entender esto. 

ejemplo 5

Demuestre que la propiedad de asociatividad de la intersección es válida para los siguientes conjuntos:

A = {1, 5, 8}

B = {2, 5, 8, 9}

C = {1, 8, 9}

Solución:

Resolviendo primero el lado izquierdo de la ecuación:

(UNA ∩ B) = {1, 5, 8} ∩ {2, 5, 8, 9} = {5, 8}

(UNA ∩ B) ∩ C = {5, 8} ∩ {1, 8, 9} = {8}

Ahora, resolviendo el lado derecho de la ecuación: 

(B ∩ C) = {2, 5, 8, 9} ∩ {1, 8, 9} = {8, 9}

A ∩ (B ∩ C) = {1, 5, 8} ∩ {8, 9} = {8} 

Desde los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones, podemos probar que la propiedad de asociatividad es válida para los conjuntos A, B y C.

Propiedad idempotente:

La propiedad idempotente establece que a la intersección de cualquier conjunto consigo mismo se le dará el conjunto mismo. Digamos que tenemos un conjunto A; entonces la propiedad idempotente establece que:

A ∩ A = A

Sabemos que los elementos comunes entre dos conjuntos idénticos serán los elementos originales del conjunto.

Propiedad de U:

La propiedad del conjunto universal establece que la intersección de A con el conjunto universal dará como resultado A

Esto se puede entender pensando en A como el subconjunto del conjunto universal, ya que los elementos de A estarán presentes en el conjunto universal. Podemos decir con certeza que su intersección producirá A como el conjunto de intersección.

A ∩ U = A

Propiedad de Ⲫ:

La propiedad del conjunto nulo establece que la intersección de cualquier conjunto A con un conjunto nulo dará como resultado un conjunto nulo. Matemáticamente se puede escribir como:

A ∩ Ⲫ = Ⲫ

Problemas de práctica

  1. Descubra la intersección de los siguientes conjuntos: A = {conjunto de números naturales}, B = {conjunto de números enteros}.
  2. Dibuja el diagrama de Venn de la intersección entre A = {0, 3, 5, 7, 9, 10} y B = {2, 4, 6}.
  3. Explique si los conjuntos anteriores son conjuntos disjuntos o conjuntos que se cruzan. Dar razones.
  4. El uso de U = conjunto de números naturales y A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} satisface la propiedad de U.
  5. Si A = {a, b, e, g, j}, B = {d, h, e, g} y C = {c, g, h}. Encuentra la intersección entre:
  1. A y C
  2. B y C
  3. A, B y C.

respuestas

  1. {conjunto de números naturales}
  2. Dejado para el lector
  3. Conjuntos disjuntos, sin elementos comunes
  4. Dejado para el lector
  5. (1): {g}, (2): {g, h}, (3): {g}



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