Leyes de DeMorgan: explicación y ejemplos

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Alejandra Rangel
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Leyes de DeMorgan: explicación y ejemplos

En la teoría de conjuntos, existe una amplia variedad de conjuntos. Algunos de los tipos comunes de conjuntos discutidos en nuestras lecciones anteriores incluyen conjuntos finitos, conjuntos infinitos, conjuntos universales, conjuntos iguales y conjuntos nulos. También estudiamos en profundidad múltiples operaciones de conjuntos, incluida la unión de conjuntos, la intersección de conjuntos y el complemento de conjuntos. 

En la teoría de conjuntos, además de las operaciones de conjuntos y los tipos de conjuntos, existen algunas leyes de conjuntos certificadas que simplifican las operaciones de conjuntos. Estas leyes se denominan leyes de DeMorgan. 



Antes de sumergirse en el concepto de las leyes de DeMorgan, le recomendamos que lea primero nuestras conferencias anteriores para solidificar sus conceptos de unión de conjuntos, intersección de conjuntos y complemento de conjuntos. 

Cubriremos los siguientes temas en este artículo:

  • ¿Cuáles son las leyes de DeMorgan?
  • Resumen de la unión del conjunto.
  • Resumen de la intersección establecida.
  • Resumen del complemento de conjunto.
  • Prueba de las leyes de De Morgan.
  • ¿Cómo usar las leyes de DeMorgan?
  • Ejemplos.
  • Problemas de práctica.

Antes de seguir adelante, puede considerar actualizar sus conocimientos sobre los siguientes requisitos previos:

  • Descripción de conjuntos
  • Establece la notación
  • Subconjunto
  • Conjunto universal

¿Cuáles son las leyes de DeMorgan?

Como se mencionó anteriormente, la teoría de conjuntos es una amalgama de operaciones de conjuntos y tipos de conjuntos. La comprensión de estas operaciones de conjuntos múltiples y su interrelación puede resultar bastante intimidante para los jóvenes entusiastas de las matemáticas. Por lo tanto, para comprender mejor y simplificar las relaciones entre múltiples operaciones de conjuntos, las leyes de DeMorgan se consideran las mejores herramientas.


Las leyes de DeMorgan describen la relación entre las tres operaciones fundamentales del conjunto: la unión del conjunto, la intersección del conjunto y el complemento del conjunto. Dependiendo de la interrelación entre la unión de conjuntos y la intersección de conjuntos, existen dos tipos de leyes de DeMorgan en la teoría de conjuntos. 


Estas leyes se explican a continuación.

Ley de DeMorgan tipo 1:

La ley de DeMorgan de tipo 1 establece que el complemento de la unión de dos conjuntos cualesquiera, digamos A y B, es igual a la intersección de sus complementos. 

Este tipo de ley de DeMorgan interrelaciona la unión de dos conjuntos cualesquiera con su intersección mediante la operación de complemento de conjunto. Considere dos conjuntos finitos cualesquiera, A y B. Podemos representar la relación entre la unión y la intersección de estos dos conjuntos A y B a través de la ley de DeMorgan de tipo 1, cuya forma matemática se da a continuación:

(AUB) '= A' ∩ B '

Ley de DeMorgan tipo 2:

El segundo tipo de ley de DeMorgan establece que el complemento de la intersección de dos conjuntos cualesquiera dice A y B, es igual a la unión de sus complementos. 

La ley de DeMorgan de tipo 2 se opone a la ley de tipo 1. Esta ley describe la interrelación entre la intersección y la unión de dos conjuntos cualesquiera mediante la operación de complemento de conjuntos. Considere dos conjuntos finitos cualesquiera, a saber, A y B. Su intersección puede estar relacionada con su unión a través del segundo tipo de ley de DeMorgan. La forma matemática de este tipo de ley se da a continuación:


(A ∩ B) '= A' U B. '

Antes de profundizar en las pruebas y ejemplos de las leyes de DeMorgan, hagamos una revisión rápida de las operaciones de conjuntos fundamentales.

Resumen de la unión de conjuntos

Aunque hemos cubierto el tema de la unión de conjuntos con gran detalle en nuestras lecciones anteriores, aquí hay un resumen rápido de la unión de conjuntos para evitarle problemas. 

La unión de dos conjuntos cualesquiera, digamos A y B, es un conjunto conjunto que contiene los elementos presentes tanto en A como en B. La forma matemática de la unión de conjuntos en la teoría de conjuntos se da a continuación:


AUB

La unión entre dos conjuntos cualesquiera se indica con el símbolo 'U'. El concepto de unión está restringido a dos conjuntos y también puede extenderse a múltiples conjuntos unidos por el símbolo de unión. La forma matemática de la unión de múltiples conjuntos se da a continuación:

AUBUCUD ...

Podemos expresar la unión entre dos conjuntos cualesquiera en forma pictórica con la ayuda de los diagramas de Venn. La unión entre dos conjuntos cualesquiera, digamos A y B, se representa sombreando la región completa de los conjuntos A y B. El diagrama de Venn para la operación de conjuntos de unión entre dos conjuntos A y B se muestra a continuación:


Resolvamos un ejemplo para fortalecer nuestro concepto de unión de conjuntos. 


ejemplo 1

Considere los siguientes dos conjuntos:

A = {5, 10, 15, 20}

B = {10, 20, 30, 40}

Encuentre su unión y dibuje el diagrama de Venn respectivo.

Solución

La unión entre los dos conjuntos A y B se da como:

AUB

La unión se da como:

AUB = {5, 10, 15, 20} U {10, 20, 30, 40}

AUB = {5, 10, 15, 20, 30, 40}

Esta es la unión de los dos conjuntos A y B. 

La representación del diagrama de Venn de su unión se muestra a continuación:

Toda la región sombreada muestra la unión de los dos conjuntos, A y B. 

Resumen de la intersección de conjuntos

Al igual que la unión de conjuntos, también hemos cubierto el tema de la intersección de conjuntos con gran profundidad en nuestras lecciones anteriores. Sin embargo, en este artículo, solo nos centraremos en el resumen rápido de la intersección de conjuntos. 

La intersección de dos conjuntos cualesquiera, digamos A y B, son los elementos comunes en ambos conjuntos A y B. La forma matemática de la intersección entre dos conjuntos, A y B, se da a continuación:

A ∩ B

La intersección entre dos conjuntos es opuesta a la unión. La unión entre los conjuntos se concentra en los elementos conjuntos de ambos conjuntos, pero la intersección, por otro lado, está restringida solo a los elementos comunes entre los conjuntos. 

El símbolo de intersección en la teoría de conjuntos se da como '∩'. La operación de intersección no solo se limita a dos conjuntos, sino que también se puede extender a varios conjuntos. La intersección entre múltiples conjuntos se da como:

A ∩ B ∩ C ∩ D…

La intersección entre dos conjuntos cualesquiera, a saber, A y B, se representa mediante diagramas de Venn. La intersección entre los conjuntos A y B se representa a través de la región sombreada compartida por los dos conjuntos A y B. El diagrama de Venn para la operación de intersección se muestra a continuación:

Resolvamos el mismo ejemplo para solidificar nuestro concepto de intersección de conjuntos. 

ejemplo 2

Considere los siguientes dos conjuntos:

A = {5, 10, 15, 20}

B = {10, 20, 30, 40}

Encuentre su intersección y dibuje el diagrama de Venn respectivo.

Solución

La intersección entre dos conjuntos A y B se da como:

A ∩ B

La intersección se da como:

A ∩ B = {5, 10, 15, 20} ∩ {10, 20, 30, 40}

A ∩ B = {10, 20}

Esto muestra la intersección entre los dos conjuntos, A y B.

La representación del diagrama de Venn de su intersección se da a continuación:

La región sombreada muestra la intersección de los dos conjuntos, A y B. 

Resumen del complemento del conjunto 

El complemento de un conjunto es otra operación de conjunto vital cuya comprensión es obligatoria para comprender el concepto de las leyes de DeMorgan. Como hemos cubierto ampliamente este tema antes, solo nos sumergiremos en el resumen rápido del complemento del conjunto de este artículo. 

El complemento del conjunto, supongamos un conjunto A, se define como la diferencia entre el conjunto universal y el conjunto A mismo. 

En el ámbito de la teoría de conjuntos, el conjunto universal es el conjunto padre fundamental, y todos los demás conjuntos son los subconjuntos del conjunto universal. La notación común para el conjunto universal se denota con el símbolo 'U'. 

La diferencia entre conjuntos funciona como la operación matemática de resta. La diferencia entre dos conjuntos cualesquiera, digamos A y B, se denota mediante el signo de resta. La expresión matemática de la diferencia se da a continuación:

A - B

Volviendo a la definición del complemento del conjunto, es la diferencia entre el conjunto universal y el conjunto en sí. Se indica con el símbolo ('). La expresión matemática para el complemento del conjunto se da como:

A '= U - A

También podemos denotar el complemento del conjunto mediante el diagrama de Venn. La región rectangular muestra el conjunto universal U y la región circular muestra el conjunto A. La región sombreada indica el complemento de A. El diagrama de Venn del complemento de un conjunto se muestra a continuación:

Resolvamos un ejemplo para solidificar el concepto de complemento de un conjunto.

ejemplo 3

Encuentre el complemento de un conjunto A = {5, 10, 15, 20} donde el conjunto universal es U = {x: x es un múltiplo de 5 y x <100}. Muestre el complemento a través del diagrama de Venn. 

Solución

Para resolver esto, primero simplifiquemos los conjuntos. Podemos simplificar el conjunto universal como:

U = {5, 10, 15, 20, 25,…, 100}

El complemento del conjunto A se da como:

A '= U - A

A '= {5, 10, 15, 20, 25,…, 100} - {5, 10, 15, 20}

A '= {25, 30, 35, 40,…, 100}

Donde A 'denota el complemento de A. 

El diagrama de Venn para el complemento del conjunto se da como:

La región sombreada indica el complemento de A. 

Ahora que hemos revisado nuestros conceptos de unión de conjuntos, intersección de conjuntos y complemento de conjuntos, pasemos a las pruebas de las leyes de DeMorgan.

Prueba de las leyes de DeMorgan

Las leyes de DeMorgan forman la base de la interrelación entre las operaciones de conjuntos en la teoría de conjuntos. Como se indicó anteriormente, las operaciones de conjuntos involucradas en las leyes de DeMorgan incluyen unión, intersección y complemento, por lo que comprender estas tres operaciones de conjuntos en una sola declaración matemática puede ser abrumador para los jóvenes fanáticos de las matemáticas. Por lo tanto, es necesario evaluar las pruebas de estas leyes por su facilidad y para desarrollar una comprensión simplificada de las leyes de DeMorgan. 

Anteriormente, dividimos las leyes de DeMorgan en dos tipos basados ​​en la interrelación de unión e intersección o viceversa. Un enfoque más fácil para comprender las pruebas es evaluar las pruebas individualmente para ambos tipos de leyes de DeMorgan. Dicho esto, vayamos directo a las pruebas. 

Hay dos enfoques para probar las leyes de DeMorgan. Uno de ellos es el enfoque matemático y el otro es el enfoque del diagrama de Venn. Evaluaremos las pruebas de las leyes de DeMorgan a través de estos dos enfoques. 

Prueba del tipo 1 de la ley de DeMorgan

El tipo 1 de la ley de DeMorgan describe la interrelación entre la unión de dos conjuntos cualesquiera con su intersección a través de la operación de complemento de conjuntos. El tipo 1 establece que el complemento de la unión de dos conjuntos cualesquiera, A y B, es igual a la intersección de sus complementos. 

La expresión matemática para el tipo 1 de la ley de DeMorgan se da como:

(AUB) '= A' ∩ B. '

Evaluaremos la demostración mediante el enfoque matemático y el enfoque del diagrama de Venn. Primero evaluemos la demostración a través del enfoque matemático. 

Enfoque matemático: 

Para el enfoque matemático, primero consideraremos el lado izquierdo, que es:

(AUB) '

En primer lugar, asumiremos que existe un elemento z en (AUB) '. 

Matemáticamente, podemos afirmar este supuesto como:

z ∈ (AUB) ' 

Con base en el supuesto anterior, podemos establecer las siguientes relaciones para el elemento z:

z ∉ (AUB)

Y, 

z ∉ A 

También, trabaja para  

con ∉ B

Excluyendo estas relaciones, las únicas posibilidades que existen para el elemento z son:

con ∈ A '

Y, 

con ∈ B '

Dado que z es un elemento del complemento de A y el complemento de B, entonces podemos afirmar lo siguiente:

z ∈ A '∩ B.'

Donde A '∩ B' es el lado derecho. 

Ahora, como z es tanto el miembro del lado izquierdo como del lado derecho, por lo tanto:

(AUB) '= A' ∩ B. '

Por lo tanto, esto prueba matemáticamente el tipo 1 de las leyes de DeMorgan. 

Ahora consideremos el enfoque del diagrama de Venn. 

Enfoque del diagrama de Venn:

Nuevamente, primero procederemos con el lado izquierdo, que se da como:

(AUB) '

Considere dos conjuntos, A y B. El diagrama de Venn para su unión, (AUB) viene dado por la región sombreada, que se muestra a continuación:

Asimismo, el complemento de su unión, (AUB) ', incluirá toda la región excepto la unión de A y B. Podemos ver esto en el siguiente diagrama de Venn:

Ahora, consideremos el lado derecho, que se da como:

A '∩ B'

El lado derecho se puede dividir en tres segmentos; uno representa A ', el otro muestra B' y, finalmente, el tercero indica A '∩ B'.

Consideremos primero los dos primeros segmentos. 

El diagrama de Venn para A 'viene dado por la región sombreada, como se muestra a continuación:

De manera similar, el diagrama de Venn que muestra B 'se indica mediante la región sombreada, como se muestra a continuación:

Finalmente, la intersección de los complementos de A y B se representa a través de la región sombreada que se muestra a continuación, que es el conjunto universal:

Dado que los diagramas de Venn para el lado izquierdo y el lado derecho son los mismos, por lo tanto:

(AUB) '= A' ∩ B. '

Resolvamos un ejemplo para comprender mejor el tipo 1 de las leyes de DeMorgan.

ejemplo 4

Establezcamos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, establezcamos A = {2, 4, 6, 8} y establezcamos B = {1, 3, 5, 7, 9}. Demuestre el tipo 1 de las leyes de DeMorgan.

Solución

El tipo 1 de la ley de DeMorgan se da como:

(AUB) '= A' ∩ B. '

Evaluaremos tanto el lado izquierdo como el derecho por separado. 

Lado izquierdo:

(AUB) ' 

La unión se da como:

AUB = {2, 4, 6, 8} U {1, 3, 5, 7, 9}

AUB = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

El complemento de la unión se da como:

(AUB) '= ({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9})'

(AUB) '= U - (AUB)

(AUB) '= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}

(AUB) '= {0, 10}

Ahora, evaluemos el lado derecho.

Lado derecho:
El lado derecho se da como:

A '∩ B'

Primero, busquemos los complementos.

El complemento de A es:

A '= U - A

A '= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {2, 4, 6, 8}

A '= {0, 1, 3, 5, 7, 9, 10}

El complemento de B es:

B '= U - B

B '= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {1, 3, 5, 7, 9}

B '= {0, 2, 4, 6, 8, 10}

Ahora, A '∩ B' se da como:

A '∩ B' = {0, 1, 3, 5, 7, 9, 10} ∩ {0, 2, 4, 6, 8, 10}

A '∩ B' = {0, 10}

Esto prueba que el lado izquierdo = el lado derecho y, por lo tanto:

(AUB) '= A' ∩ B. '

Prueba del tipo 2 de la ley de DeMorgan

El tipo 2 de la ley de DeMorgan describe la interrelación entre la intersección de dos conjuntos cualesquiera con su unión a través de la operación de complemento de conjuntos. El tipo 2 establece que el complemento de la intersección de dos conjuntos cualesquiera, a saber, A y B, es igual a la unión de sus complementos. 

La expresión matemática para el tipo 2 de la ley de DeMorgan se da como:

(A ∩ B) '= A' U B. '

Evaluaremos la demostración mediante el enfoque matemático y el enfoque del diagrama de Venn. Primero evaluemos la demostración a través del enfoque matemático. 

Enfoque matemático: 

Siguiendo el mismo procedimiento y los pasos que realizamos anteriormente para el tipo 1, primero tomemos el lado izquierdo, que se da como:

(A ∩ B) ' 

En primer lugar, hagamos la misma suposición que hicimos antes. Considere un elemento y que existe en (A ∩ B) '. Matemáticamente, podemos escribir esto como:

y ∈ (A ∩ B)’ 

Con base en este supuesto, podemos excluir las siguientes relaciones para el elemento y:

y ∉ (A ∩ B)

Y, 

y ∉ A

También, trabaja para  

y ∉ B

Excluyendo estas relaciones, las únicas posibilidades que existen para el elemento y son:

y ∈ A’

Y, 

y ∈ B '

Dado que z es un elemento del complemento de A y el complemento de B, entonces podemos afirmar lo siguiente:

z ∈ A 'U B.'

Donde A 'U B' es el lado derecho. 

Ahora, como y es tanto el miembro del lado izquierdo como del lado derecho, por lo tanto:

(A ∩ B) '= A' U B. '

Por lo tanto, esto prueba matemáticamente el tipo 2 de las leyes de DeMorgan. 

Ahora consideremos el enfoque del diagrama de Venn. 

Enfoque del diagrama de Venn:

Nuevamente, primero procederemos con el lado izquierdo, que se da como:

(A ∩ B) ' 

Considere dos conjuntos finitos cualesquiera, A y B. Su intersección, (A ∩ B), viene dada por la región sombreada, que se da de la siguiente manera:

De manera similar, el complemento de su intersección (A ∩ B) 'se muestra en la región sombreada, como se muestra a continuación:

Ahora, consideremos el lado derecho, que se da como A 'U B'.

El lado derecho se puede dividir en tres segmentos; uno muestra A ', el otro indica B' y el tercero muestra A 'U B'. 

El complemento de A, A 'se indica mediante la región sombreada, que se muestra a continuación:

De manera similar, el complemento de B, B 'se muestra mediante la región sombreada que se muestra a continuación:

Y finalmente, la unión del complemento, A 'U B', viene dada por la región sombreada indicada como:

Dado que los diagramas de Venn para el lado izquierdo y el lado derecho son los mismos, por lo tanto:

(A ∩ B) '= A' U B. '

Resolvamos el mismo ejemplo para comprender mejor el tipo 2 de las leyes de DeMorgan.

ejemplo 5

Establezcamos U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}, establezcamos A = {2, 4, 6, 8} y establezcamos B = {1, 3, 5, 7, 9}. Demuestre el tipo 2 de las leyes de DeMorgan.

Solución

El tipo 2 de la ley de DeMorgan se da como:

(A ∩ B) '= A' U B. '

Evaluaremos tanto el lado izquierdo como el derecho por separado. 

Lado izquierdo:

(A ∩ B) ' 

Primero veamos la intersección de A y B dada como:

(A ∩ B)

¿Entonces  

(A ∩ B) = {2, 4, 6, 8} ∩ {1, 3, 5, 7, 9}

(A ∩ B) = Ⲫ

Ahora, encontremos el complemento de la intersección, que se da como:

(A ∩ B) '= U - (A ∩ B)

(A ∩ B) '= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {Ⲫ}

(A ∩ B) '= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Ahora, evaluemos el lado derecho.

Lado derecho:

A 'U B'

Primero busquemos los complementos:

El complemento de A es:

A '= U - A

A '= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {2, 4, 6, 8}

A '= {0, 1, 3, 5, 7, 9, 10}

El complemento de B es:

B '= U - B

B '= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} - {1, 3, 5, 7, 9}

B '= {0, 2, 4, 6, 8, 10}

Ahora, la unión de los complementos se da como:

A 'U B' = {0, 1, 3, 5, 7, 9, 10} U {0, 2, 4, 6, 8, 10}

A 'U B' = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Esto prueba que el lado izquierdo = el lado derecho y, por lo tanto:

(A ∩ B) '= A' U B. '

¿Cómo utilizar las leyes de DeMorgan?

Ahora que hemos desarrollado una comprensión firme de las leyes de DeMorgan, surge la siguiente pregunta: ¿cómo y cuándo usarlas? 

Puede utilizar las leyes de DeMorgan siempre que encuentre las interrelaciones entre las operaciones de conjuntos múltiples. Las leyes de DeMorgan pueden ser beneficiosas en ese caso. En alguna literatura, estas leyes también se denominan "leyes complementarias". Ambos son iguales. La única diferencia está en sus términos. 

Los dos ejemplos resueltos anteriormente se pueden tomar como muestra para resolver las leyes de DeMorgan. Sin embargo, para fortalecer aún más el concepto, considere los siguientes problemas de práctica.

Problemas de práctica

  1. Sea U = {conjunto de alfabetos} y que haya dos conjuntos A y B dados como A = {conjunto de vocales} y B = {conjunto de constantes}. Demuestre matemáticamente la ley de DeMorgan tipo 1.
  2. Demuestre también la pregunta anterior a través del diagrama de Venn.
  3. Considere 3 conjuntos dados como U = {x: x es un múltiplo de 10 y x <50}, A = {y: y es un múltiplo de 2 y y <20} y B = {z: z es un múltiplo de 3 yz <30}. Demuestre matemáticamente la ley de DeMorgan de tipo 2.
  4. Demuestre también la pregunta anterior a través del diagrama de Venn.
  5. Piense en un problema que interrelaciona tanto la intersección como la unión de conjuntos. 

respuestas

  1. (AUB) '= A' ∩ B '[Verdadero]
  2. (AUB) '= A' ∩ B '[Verdadero]
  3. (A ∩ B) '= A' U B. ' [Cierto]
  4. (A ∩ B) '= A' U B. ' [Cierto]
  5. Leyes de DeMorgan 



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